渐近线性四阶半正边值问题正解的分歧结构

刘 瑞 宽

（西北师范大学 数学与统计学院，兰州730070）

0 引言及主要结果

四阶常微分方程在工程和物理等领域应用广泛，其中两端简单支撑的弯曲弹性梁平衡状态可用四阶边值问题

描述［1－2］，由于其应用广泛，已引起人们广泛关注［3－12］.

特别地，马如云等［3］运用Krasnoselskii锥映射不动点定理研究了四阶边值问题

本文总假设：

（H1）f：［0，1］×［0，＋∞）→ℝ连续，且对任意的t∈（0，1），f（t，0）＜0；

由文献［16］知，线性特征值问题

有主特征值λ1＞0，及对任意的t∈（0，1），其相应的特征函数φ1（t）＞0，且‖φ1‖＝1（其中‖·‖为最大模范数）.

本文的主要结果如下：

定理1 假设（H1），（H2）成立，若存在ε＞0，使得下列两种情形之一成立：

1）对任意的t∈（0，1），b（t）＞0且λ∈［λ∞－ε，λ∞）；

2）对任意的t∈（0，1），B（t）＜0且λ∈（λ∞，λ∞＋ε］.

则问题（1）至少存在一个正解.

注1 定理1可以确定λ在λ∞两侧正解无界连通分支的走向.

1 预备知识

引理1［5］若h∈C［0，1］，则问题

有唯一解x∈C4［0，1］，且

其中G（t，s）是边值问题

的Green函数，即

定义线性算子L：D（L）⊂X→X，

不难验证K∶＝L－1：X→X是紧的.

由引理1知，问题（1）等价于

若存在（μn，xn）∈ℝ×X，使得（μn，xn）满足式（5），且μn→λ∞，‖xn‖→∞，则称（λ∞，∞）为问题（5）无穷远处的分歧点.

不妨将F（t，x）简记为F（x），对任意的x∈X，定义算子Φ为

显然，对于任意给定的x＞0，若Φ（λ，x）＝0成立，则x是问题（1）的正解.

因此，（λ∞，∞）是问题（5）的从无穷远处产生的分歧点，当且仅当（λ∞，0）是Ψ（λ，·）＝0从平凡解线上发出的分歧点.

对于任意的r＞0，令

记deg（Ψ（λ，·），Br，0）为 Ψ（λ，·）在 Br上关于0的 Leray－Schauder度；记i（Φ（λ，·），x0，0）为Ψ（λ，·）＝0在零点x0处的指数.为方便，记iλ（0）∶＝deg（Ψ（λ，·），Br，0）.

引理2［17］设Ω为Banach空间E的开子集，f＝I－F：¯Ω→E是全连续场，若存在e0∈E，e0≠θ，使得f（x）≠τe0（∀τ≥0，∀x∈∂Ω），则必有deg（f，Ω，θ）＝0.

2 主要结果的证明

引理3 对于任意的紧区间Λ⊂［0，＋∞）＼｛λ∞｝及任意的λ∈Λ，存在r＞0，使得若‖x‖≥r，则Φ（λ，x）≠0.进一步：

1）若对任意的t∈［0，1］，b（t）＞0，则可取Λ＝［λ∞，λ］，∀λ＞λ∞；

2）若对任意的t∈［0，1］，B（t）＜0，则可取Λ＝［0，λ∞］.

证明：反设存在μn→μ≥0，μ≠λ∞，使得当‖xn‖→∞时，xn＝μnKF（xn）.

令vn＝xn‖xn‖－1，则

由式（7）知，对任意的t∈［0，1］有v″″（t）≥0.因此v″图像在［0，1］下凸，结合边界v″（0）＝v″（1）＝0，则

由式（8）及边界v（0）＝v（1）＝0可得

又‖v‖＝1，故Lv＝μm∞v，于是λ1＝μm∞，即μ＝λ∞，与假设矛盾.

下面证明1）成立，2）的情形类似可证.取点列｛μn｝单调递减，且μn→λ∞，n→∞.令v≥0满足

则存在η＞0，使得v＝ηφ1.

对任意的t∈（0，1），当n充分大时，xn＝‖xn‖vn→＋∞及F（t，xn）＝f（t，xn）.由Φ（μn，xn）＝0可得

对式（9）两边同时乘以φ1并从0到1积分，再结合φ″″1＝λ1φ1可得

又因μn＞λ∞，结合式（10）及Fatou引理可知

从而与b（t）＞0矛盾，故1）成立.

证明：由引理3，取Λ＝［0，λ∞］，存在r＞0，使得对任意的τ∈［0，1］，有

引理4 对任意的λ∈（λ∞，＋∞），存在r＞0，使得

证明：反设存在τn＞0，使得当‖xn‖→∞时，Φ（λ，x）＝τnφ1成立，从而

式（12）等价于下列边值问题：

又因φ1为问题（1）的第一主特征值λ1对应的特征函数，即φ1满足

故将式（13）×φ1－式（14）×xn，再从0到1积分得

推论2 对任意的λ∈（λ∞，＋∞）及ε∈（0，1／r］，有deg（Ψ（λ，·），Bε，0）＝0.

证明：由引理4可知，存在r＞0，使得Φ（λ，x）≠τ‖x‖2φ1，即对任意的τ∈［0，1］，x∈E，当‖x‖＞r时，有

令Σ＝｛（λ，x）∈［0，＋∞）×X：x≠0，Φ（λ，x）＝0｝.

引理5 （λ∞，∞）是问题（5）从无穷远处发出的分歧点，即存在从无穷远处发出的无界闭连通分支Σ∞⊂Σ.进一步，若b＞0，则Σ∞向左分歧；若B＜0，则Σ∞向右分歧.

证明：结合式（11），（16）可知，存在ε0＞0，使得对任意的λ∈（λ∞－ε0，λ∞＋ε0），有iλ∞＋ε（0）≠iλ∞－ε（0），∀ε∈（0，ε0）.于是（λ∞，0）是Ψ（λ，x）＝0从平凡解线上产生的一个分歧点.进一步，结合引理3及文献［18］中定理1.3知，当b＞0时，Σ∞向左分歧；当B＜0时，Σ∞向右分歧.

下面证明定理1.结合上述引理及推论，若当n充分大时，μn→λ∞，‖xn‖→∞，则对任意的t∈（0，1），xn＞0.

注2 定理1的证明表明，存在k＞0，使得对任意的（λ，x）∈Σ∞，若‖x‖≥k，则有x＞0在X中，因此（λ，x）是问题（1）的解.

3 应 用

例1 考虑四阶半正边值问题：

例2 考虑四阶半正边值问题：

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