分数阶半正边值问题一个正解的存在性定理

王丽颖，许晓婕

（1.白城师范学院 数学学院，吉林 白城137000；2.中国石油大学（华东）理学院，山东 青岛266555）

考虑分数阶半正边值问题：

分数阶微分方程在数学、力学、分数控制系统与分数控制器、各种电子回路以及回归模型等领域，特别是与分形维数有关的物理与工程方面应用广泛［1－8］.文献［9］应用Leray－Schauder非线性抉择、锥不动点定理和混合单调算子理论研究了奇异和非奇异边值问题多重正解的存在性，并给出了奇异问题正解的唯一性，考虑了非线性项正的结果，即f：（0，1）×［0，＋∞）→［0，＋∞）.本文考虑“半正”问题，即存在M≥0，使得f：（0，1）×［0，＋∞）→［－M，＋∞）.

下面给出分数阶微分方程边值问题的格林函数及性质.

引理1［9］给定h∈C［0，1］和3＜α≤4，方程

称为边值问题（2）－（3）的格林函数.

引理2［9］由式（4）定义的格林函数G（t，s）满足如下条件：

其中M0＝max｛α－1，（α－2）2｝.

本文主要利用Hammerstein积分方程和Krasnosel’skii锥不动点定理［10］.

引理3［10］令X是一个Banach空间，且P⊂X是X中的一个锥.假设Ω1，Ω2是X中的开子集，满足0∈Ω1⊂⊂Ω2，且令S：P→P是全连续算子，使得下列两个条件之一成立：

本文主要结果如下.

定理1 假设下列条件成立：

（H1）f：（0，1）×［0，＋∞）→（－∞，＋∞）是连续的；

（H3）存在非负函数h∈C（0，1）∩L1［0，1］，使得f（t，u）＋h（t）≥0，（t，u）∈（0，1）×［0，＋∞）；

其中

事实上，如果0≤t≤s≤1，则

2）证明T：K→K是全连续的.

由假设（H1）～（H3），Tu∈C［0，1］.如果un∈K（n＝1，2，…），使得‖un－u‖→0，则当t∈（0，1）时，

由Lebesgue控制收敛定理可得

因此，T：K→C［0，1］是连续的.

令V⊂K 是有界集，且r2＝sup｛‖u‖：u∈V｝＋‖ω0‖＋1.如果u∈V，则max｛u（t）－ω0（t），0｝≤r2，0≤t≤1.由假设（H2），存在非负函数jr2∈L1［0，1］，使得f＊（t，（u（t）－ω0（t）））≤jr2（t），0＜t＜1.因此，

从而T（V）⊂C［0，1］是一致有界的.

由1），对任意的u∈V，

表明T（V）⊂C［0，1］是等度连续的.从而由 Arzela－Ascoli定理知，T：K→C［0，1］是全连续的.

另一方面，由引理2知，

因此T（K）⊂K.

因为不动点等价于边值问题

如果u∈∂Ω（r3），则0≤max｛u（t）－ω0（t），0｝≤r3，0≤t≤1.因此f＊（t，（u（t）－ω0（t）））＋h（t）≤Φ（t），0＜t＜1.从而有

另一方面，当α≤t≤β时，

由Fatou引理可得

因此，存在一个正数r4＞r3，使得

如果u∈∂Ω（r4），则‖u‖＝r4，且

因此，

［1］Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Amsterdam：Elsevier，2006.

［2］Oldham K B，Spanier J.The Fractional Calculus［M］.New York：Academic Press，1974.

［3］Ross B.Fractional Calculus and Its Applications［M］.Lecture Notes in Mathematics.Vol.475.Berlin：Springer－Verlag，1975.

［4］Nonnenmacher T F，Metzler R.On the Riemann－Liouvile Fractional Calculus and Some Recent Applications［J］.Fractals，1995（3）：557－566.

［5］Tatom F B.The Relationship between Fractional Calculus and Fractals［J］.Fractals，1995，3（1）：217－229.

［6］Podlubny I.Fractional Differential Equations ［M］.Mathematics in Science and Engineering.Vol.198.New York：Academic Press，1999.

［7］Samko S G，Kilbas A A，Marichev O I.Fractional Integral and Derivatives：Theorey and Applications［M］.Switzerland：Gordon and Breach Science Publishers，1993.

［8］Lakshmikantham V，Leela S，Vasundhar J，de.Theory of Fractional Dynamic Systems ［M］.Cambridge：Cambridge Academic Publishers，2009.

［9］XU Xiaojie，JIANG Daqing，YUAN Chengjun.Multiple Positive Solutions for Boundary Value Problem of a Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods and Applications，2009，71：4676－4688.

［10］YAO Qingliu.An Existence Theorem of a Positive Solution to a Semipositone Sturm－Liouville Boundary Value Problem ［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23（12）：1401－1406.