关于“鸡兔同笼”教学中“假设法”的调查研究

刘慧

【摘要】 教学中发现学生在应用假设法解“鸡兔同笼”问题时的认知与众多文献上有差异，为了了解学生的真实认知及对假设法的理解与掌握程度，以三所学校六个班的273名六年级学生为研究对象，以已学过的问题作为测试题，编制问卷进行了调查.

【关键词】 鸡兔同笼；假设法；教学；调查；思考

一、问题的提出

为给五年级学生上一堂用假设法解“鸡兔同笼”问题的课外活动课，笔者抱着学习与借鉴的想法，阅读、分析了大量教学实录、设计等文章，确定以某名师的教学实录为主，融合其他设计的优点上这堂课，以期取得好的效果.可教学中发现学生的认知与众多文章上有一定的差异，主要表现在：学生并不是从“全是鸡（兔）”着手，而是从自己判断的某个数去进行探究.虽然参加过奥数辅导的几名学生作出了“全是鸡（兔）”的假设，但说不出为什么这样假设.当然，出现这种差异的主要原因可能是笔者缺乏教学经验造成的，但感到大多数学生的认知更符合常理，使我陷入了百思不得其解的痛苦之中.

二、研究測试与方法

测试与调查的问题及实施

1. 测试与调查的问题

测试题：今有鸡兔同笼，上有35 个头，下有 94只脚.问鸡、兔各多少？

这是你们课本上学过的“鸡兔同笼”问题.请你用假设法给出该题的一种解法，然后回答：

（1）你的解答中为什么这样假设？知道的请写明原因.

（2）请将你学校任课老师讲解该问题时给出的不同假设写在下面（只写“假设……”，不写解题过程）.

（3）请把你解该题时能提出的不同假设全写下来（同（2））.

（4）今有鸡兔同笼，共有35 个头.请你推测或猜测鸡和兔各有几只？把你猜测的结果写在下面.

2. 测试与调查的实施和统计

从某省会城市选取了三所公认的好学校，每个学校采取随机整体抽样，各抽取两个班，分别于2014年3月13日、14日，在任课老师的协助下进行测试与调查，答卷时间30分钟.收回答卷273份，有效问卷265份，有效率97.07%（见表一）.然后进行阅卷与简单统计，再用SPSS软件进行数据统计分析.

表一：样本人数分布及有效问卷份数分布情况

三、结果与分析

（一）测试题答对人数、百分率及差异比较

在有效问卷中，正确答案189份，正确率71.32%；错误答案76份，答错率28.68%（分布情况见表二）；经χ2检验，三校学生答题正误率的高低受学校及任课教师的影响没有明显的差异.这说明大多数学生能用“假设法”正确地写出解题过程.在近三成的错误答卷中，有18份解答几乎空白，连假设也没作出，占有效问卷的6.79%；有36份作出了假设，但过程不完善或错误，占有效问卷的13.58%；有22名学生作出了假设，过程也正确，但求出来的不知道是鸡还是兔，占有效问卷的8.30%.另外，六年级学生用列举法、画图法、假设法、方程法解答此题的总正确率为72.5%，虽无法作出明确的比较，但能说明该调查的结果还是比较科学的.

表二：解答正确的人数及有效问卷的百分率分布情况

（二）“为什么这样假设”的调查结果

统计结果显示：在247份作出假设的答卷中，回答知道自己为什么这样假设的有118份，占47.77%；不知道的有129份，占52.23%.但从回答知道的学生给出的原因来看，主要可分为三类：回答“不这样假设做不出来”的有58人，占49.15%；回答“老师教的”有36人，占30.51%；回答“这样解题简便”的有16人，占13.56%.另有8人（占6.78%）的回答什么意思也没表达出来.由此看来，回答知道的学生其实也不知道.总之，学生不知道自己解题时作出假设的原因，也说明3.1中能用“假设法”正确写出解题过程的学生，恐怕只是机械地套老师教给的方法罢了.

（三）关于“不同假设”的调查结果及相关性分析

统计结果显示，无论是老师所教，还是学生所提，不同假设有四种：假设全是鸡（头）、假设全是兔（头）、假设全是鸡腿、假设全是兔腿（分布情况见表三）.前两种假设应该是老师们教学中都教过的，也是学生解题时能提出的最多的假设，之所以达不到100%，应是个别学生不能理解与掌握造成的.而教师所教后两种假设的答卷全部来自一个班，说明只有该班的任课老师教了这两种不同的假设.学生提出的后两种假设的数量比老师教的多（经χ2检验不存在显著性差异，χ2=0.3178），估计是个别学生参加课外辅导的老师所教.老师所教与学生所提不同假设的积差相关系数r > r0.001 = 0.999，高度显著相关，说明学生提出的假设来源于老师所教，没有创新性的假设.这与不明白为何这样假设有关，印证了3.2中学生不知道为什么这样假设的结果.

表三：不同假设的总数及占有效问卷的百分率分布情况

（四）测试题放弃脚的条件限制后的猜测结果

统计显示，学生从鸡兔共有35 个头这个条件出发猜测鸡兔只数的结果，除了4名学生出现了全是鸡或兔的猜测外，其他学生给出的结果都在5和30之间.虽然该问题放弃了94只脚的条件限制，给学生留出了全是鸡或兔的思考空间，绝大多数学生还是不做极端的猜测.这说明了：若不放弃该条件，老师又不讲解，绝大多数学生不从极端的假设入手对问题进行探索.这也从反面证明了3.3中学生所提出的假设来源于老师所教的结论.

四、讨论与教学建议

由上可知，城市里好学校的学生尚且不能理解假设法，那一般学校就可想而知了.其实，这是一个较为普遍的现象，不少老师也发现了这一问题.学生很多时候是滥用套路，并没有真正理解和掌握假设法.诸如假设法等方法来得并不自然，易使学生形成对数学的错误认识，并打击学生的自信.因此，探讨其原因并提出合理化的教学建议具有重要意义.

（一）对假设法含义的理解是学生掌握该方法的关键

学生对假设法的理解和掌握与教师的教学有很大关系.不少教师所教的假设法其实是一种“术”，只是具体地解决了“如何假设”，而对于为什么要这样假设，大多未能有效地解决，从而造成了很多学生对假设法的“一知半解”和“生搬硬套”.而这一切的根源在于对假设法含义的理解.

在诸多文章中，明确界定假设法含义的并不多.有专家认为：“假设法就是先假设全都是鸡（或兔），然后根据由假设得到的腿数与实际腿数的差，就能求出兔（或鸡）的只数.”而大多数文章都是在讲完例题后，给出界定：“我们把这种先假设所有的動物都是鸡或兔的方法叫作假设法.”这样的界定显然有失偏颇，既没有抓住假设的实质，也束缚了学生的思维.

科学方法论认为，假设是在事实或科学理论的基础上，通过观察、联想、推理或直观等手段作出的初步估计与判断，是一种预见或猜想，它是理论形成和问题解决的前提.在此前提下再进行验证、推理与调整，检验其科学性或解决问题，就是人们通常所说的假设法.它是提出猜想，验证与修正猜想，并证明猜想的一个过程.其实，方法论中没有假设法，这种处理问题的方法应该是英国哲学家赫歇尔提出的假设—演绎法.

（二）教学建议——尊重学生认知，解放学生的头脑

由于学生观察问题的角度、直观感受与认知水平有差异，其在解决“鸡兔同笼”问题时作出的初步估计与判断也有差异，其预见或猜想——假设也就不尽相同.因此，教学应该尊重学生的认知，让学生展现其真实想法，促进学生创造力的培养，切莫为了解法的统一，禁锢学生的思维，真正落实陶行知先生提出的“解放儿童的头脑，使他能想”的教学建议.由此，笔者提出以下教学建议：

1.引导学生根据题目的条件，作出初步的分析，提出假设，再通过验证、推理与调整来解决问题

教师在讲清假设含义的基础上，应鼓励学生从头或脚的一个条件入手，自己作出估计性判断，提出合理的假设，并据此去推理、验证是否符合另一个条件，若不符合，就调整到符合为止.事实上，解“鸡兔同笼”问题，假设部分头（腿）数为鸡（兔）头（腿）更合情理，因为题目说的是鸡兔同笼.就本文测试题而言，假设0～35之间的任意一个整数为鸡（兔）的头（只）数，或假设0～94之间的任意一个整数为鸡（兔）的腿数（假设一个2的倍数为鸡的腿数，或4的倍数为兔的腿数更简便），均在合理范围内.前面3.4中的结果也验证了这样的假设更符合学生的认知.如测试题也可如下解：

解：假设有60只兔脚，则有34只鸡脚，共有34 ÷ 2 + 60 ÷ 4 = 32（个）头，比实际少35 - 32 = 3（个）头.把4只兔脚换成4只鸡脚多4 ÷ 2 - 4 ÷ 4 = 1（个）头，故需要把3 ÷ 1 × 4 = 12（只）兔脚换成鸡脚.故鸡有（34 + 12） ÷ 2 = 23（只），兔有35 - 23 = 12（只）.

2. 通过让学生比较不同假设下解法的优劣，引导其掌握极端假设

教师可通过让学生展示不同的假设及解题过程，使学生比较哪种假设解题更简单，引导其掌握最优方法.若有学生给出了极端假设（全是鸡或兔）更好，若没有可引导学生考虑极端情况，使其尝试解答，再与自己的解题过程进行比较.这既可培养学生的优化思想，也促使学生向“假设全是鸡（兔）”过渡.当然，学生有选择的权利，不可强求统一，只要掌握这种思想就行.

结束语：“我们现在的教学过程中，各种‘套路太多，从牵强附会的‘情境创设到画地为牢的‘合作探究，我们看到了学生太多的兴高采烈……”这一针见血地指出了当今的教学中虚假的花架子现象比较严重的现实.笔者认为：教学是一门实实在在的学问，只有我们教师尊重学生的认知，用心去做教学，众多文章中那些精彩纷呈的教学景象才会成为现实.管窥之见，请专家学者批评指正.