浅谈平面向量数量积的应用

刘景森

摘 要：在新课改的推动下，数学知识逐渐注重实际运用。作为高考数学中出现频率极高的知识点，平面向量数量积的难度系数并不高，但是学生必须熟练掌握的数学基本知识能力。通过资料整合结合教学实践的方法，对如何进行平面向量数量积的重难点学习、方法突破及其知识运用等进行简单阐述。

关键词：平面向量；最小值；几何

平面向量的数量积问题是数学平面解析几何中比较难的，也是具有一定的实际问题解决能力的数学工具。在平面向量数量积的应用中，按其主要的表达形式，坐标表达式和几何表达形式，按照其主要的应用，对其进行数学中的应用介绍。由于平面向量数量积的学习是空间几何学习的基础，鉴于此夯实基础知识是必要的。

一、平面向量数量积的基本知识

平面向量数量积的基本知识是教学中必须熟练掌握的，主要包括对定义的理解、对运算律的熟识、对公式的记忆及数量运用、以及对特殊规律的熟练掌握。首先是对两向量数量积的表达式 a·b=a·bcosθ的熟练运用，对其几何含义进行深刻理解。其次是对其投影含义a·b=aPrjab的理解。最后是对特殊规律的掌握，例如a·a=a2，该公式是在实际解题中运用极其有效的公式，可以不需要坐标直接进行模的计算，进而求长度。再如，“两个非零向量的数量积为零即表示该向量互相垂直。”的基本知识的数量应用。

二、平面向量数量积的应用

1.向量模的最小值求法

所谓向量模的最小值计算，主要是对向量的基本运算进行数量掌握后，进行与函数合并考查的出题形式。主要是对a·a=a2的掌握及其坐标表达法中模的计算公式a=ax2+ay2的掌握，再结合一元二次函数最值的求解方法进行求解。例如，已知向量a=1，1，b=2，2，c=a+tb（t∈R），求c的模的最小值。该种题型是对平面向量的基础知识的审核，难度不大但须学生提高解题效率。

2.证明两向量垂直关系

证明两向量的垂直关系是平面向量数量积在考试中最常考查的知识点，同时也是在高考数学习题中出现频率较高的知识点。鉴于此，对数量积的定义推出的定律必须记得，主要有“两个非零向量积为零，其必垂直；相反，若两向量垂直，则该向量的数量积必为零。”“零向量是与任何向量垂直的。”等重要知识点。例如，该题：若已知两个向量a=-1，-1，b=-2，-2，且c=2a+tb（t∈R），d=-2a+4tb （t∈R），求当c-d与a垂直时，t的值是多少？这类题型是对垂直定义最直接、最基本的考查，但是也是考试中出现频率最高的题型。

3.向量夹角的运算求解

在进行两向量夹角的计算时，是在平面向量两种表示方式的时候清晰合理地进行计算，尤其是在有坐标形式表达向量的时候。其基本计算的形式是将公式a·b=a·bcosθ进行合理的左右变换，将公式转换为cosθ=a·ba·b或者cosθ=axbx+aybyax2+ay2·bx2+by2的形式对题目进行的解答，并且在cosθ中θ的取值范围进行留意，其取值范围是在0到π之间，对公式的意义要有良好的把握。在考试中常见的题型会将平面向量的基本计算以及基本规律混合其中，进行综合性较高的考核，例如已知两个向量，且知道两个向量在某种关系下是相互垂直的，通过计算得知两个向量之间的数量关系，再根据另一个垂直的关系，得到两个向量的另一个关系，通过两个式子联立进行两个向量模及乘积的求解，然后进一步考查学生对夹角公式的理解，提问两个向量的夹角是多少。该种问题主要是要求对知识点清晰地把握，通过比较多的练习，对解题的逻辑进行培养，最后进行耐心细致的解题。

4.对平面图形形状的判断

所谓对平面图形的形状判断，就是指直接给出或间接给出平面图形的几个端点，令考生根据向量的加减关系，求得每个边的方向向量，然后根据平行及垂直的关系进行进一步论证是否具有该种关系，然后根据向量的模进行对边长的确定，最终对图形进行一定的判断。该种题型的难度系数不高，考题中出现的频率不大。

5.证明等式成立

在平面向量数量积的应用中，对等式的证明是该知识点的重点及难点。所谓证明题，既是对知识的理解能力考查，又是对学生熟练运用和知识逻辑的考核。因此在利用平面向量的数量积进行等式左右成立的证明时，需要对数量积的运算定律进行一定的熟识，包括其交换律、结合律、分配律以及模的运算。其中对a·a=a2知识点的运用是十分常见的。例如，對三角形余弦定理的证明或推倒的题目。再如，对某个式子的证明，例题a+b2+a+c2+b+c2=a2+b2+c2+a+b+c2等这种在练习题中出现频率极高并且极其需要耐性解题的题目。因此在证明等式成立时一定要夯实好基础知识。

综上所述，对平面向量数量积的定义、几何含义、运算方法等的全面理解及掌握，突出掌握平面向量的重点，对其难点进行深度的学习，是对平面向量数量积知识全面学习的基础。作为高考数学考试中时常出现或者说出现频率比较高的知识点来说，对其进行深刻掌握是必要的，重点是对学生进行解题方式上的提升与突破，对基本运算中的定义、模、夹角等公式必须进行熟练性训练。

参考文献：

尹光辉.由平面向量的数量积判断三角形形状[J].中学生数理化：学研版，2011（8）：14.

编辑 李建军