高中三种数学思想方法在导数中的应用

申峰

【摘要】本文着重介绍数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想这三种数学思想方法在解决导数问题时，特别是在处理高考试题时如何进行应用.

【关键词】导数问題;数形结合思想;分类讨论思想;等价转化思想

数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想，这是高中数学的三种常用数学思想方法，而这三种数学思想方法对于我们解决导数问题却起着举足轻重的作用，同时“导数的应用”这一节内容也为我们培养这些数学思想方法提供了丰富的素材.

一、数形结合思想

由于导数往往和函数图像紧密联系，所以以图像为载体，考查导数应用的问题屡见不鲜，这些题往往需要从函数图像的升降状态，对应导数值的正负.

例1 若函数f（x）在定义域内可导

f（x）图像如图所示，则导函数y=f′（x）的图像可能为（ ）.

解析 由原函数图像可知当x<0时，f（x）递增，故f′（x）>0;当x>0时，f（x）先增后减再增，f′（x）先正后负再正.故选D.

例2 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图像如图所示，则y= f（x）的图像最有可能是（ ）.

解析 由图像可知：

当x∈（-∞，0）时，f′（x）>0 ，f（x）递增;

x∈（0，2）时，f′（x）<0，f（x）递减;

x∈（2，+∞）时，f

′（x）>0，f（x）递增，

且在x=2点处，左减右增，故x=2是极小值点.故选C.

二、分类讨论思想

对于含参函数的单调性、极值、最值问题，要根据参数的取值范围进行讨论.

例3 已知f（x）=x3-3ax2-3a2+ a（a为常数），讨论函数f（x）的单调区间.

解析 f′（x）=3x2-6ax2=3x（x-2a），

故f′（x）=0的两根为x1=0，x2=2a.

①a=0时，f′（x）=3x2≥0恒成立，所以函数f（x）在定义域R内单增.

②当a<0时，f′（x）>0得x<2a或x>0;f′（x）<0得 2a

故f（x）的递增区间为（-∞，2a），（0，+∞），

f（x）的递减区间为（2a，0）.

③当a>0时，

f′（x）>0得x<0或x>2a;f′（x）<0得0

故 f（x）的单增区间为（-∞，0），（2a，+∞），

f（x）的单减区间为（0，2a）.

从这道题我们可以看出，对含参的函数进行参数的分类讨论，依然是教学的难点.

三、等价转化思想

相等关系与不等关系的转化，变量与常量的转化，直接法与间接法的转化等等，都在导数题中有所体现.

例4 利用函数的单调性，证明不等式ex> 1 + x.

解析 设f（x）=ex-x-1，

则 f′（x）=ex-1.

当x>0时，f′（x）=ex-1>0，∴f（x）单增.

∴ f（x）=ex-1-x> f（0）=0.

即ex >1 + x.

当x<0时，f′（x）=ex-1<0 ，∴ f（x）递减.

∴ f（x）=ex-1-x >f（0）=0.

即ex >1+ x.

综上，ex >1+ x.

对于一些不等式的证明问题，直接求解不太容易时，可以考虑通过构造等间接手段，再利用函数的单调性，从而证明不等式成立.

当然，导数应用中蕴含的数学思想方法远不止这三种，函数与方程思想（极值点就是导数为零的方程的根）、化归思想（把问题转化为二次函数问题加以解决）等等，这其中的任何一种思想方法都值得我们细细地体会.