关于正四面体的“点点滴滴”

张永纯

【摘要】正四面体是一种简单、对称的多面体，由于它的各条棱都相等，所以有十分多的性质，也正因为它的特殊性，正四面体也成为历年高考的重点考查内容.关于正四面体的计算很复杂，牵扯到空间与平面，如果掌握了一些基本的性质和正四面体的有关数据，这会大大减少计算量，增加了正确的可能性.下面我会为大家介绍一些关于正四面体的基本定义、基本性质、基本性质的有关推导、典型例题的解法.

【关键词】正四面体;基本性质;例题讲解;证明

一、正四面体的基本定义

正四面体是由四个完全相同的正三角形组成的空間封闭图形，它有四个面、四个顶点、六条棱，并且所有的棱长都相等，正四面体是最简单的正多面体.由于正四面体又符合正三棱锥的性质，所以它又是正三棱锥，但它又很特殊，正三棱锥要求底面为正三角形，其余三个面是等腰三角形即可，所以说正四面体是特殊的正三棱锥.

二、正四面体的基本性质

1.正四面体的重心，外接球、内切球的球心，四条高的交点为一个点，这个点就称为中心.

2.正四面体的对边相互垂直.

3.正四面体有七个与四个面都相切的旁切球和一个在其内部的内切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处.

4.正四面体的体积等于相应的正方体体积的13，正四面体的高等于相应的正方体体对角线的23.

5.若某个正四面体的棱长为L，则正四面体的全面积S=L2，体积V=L312.

6.正四面体对棱中点连线的长D=a2.

7.正四面体的内切球半径V=/12，外接球半径R=/4.

8.每个四面体都有内切球，球心O是四面体的各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于球半径.正四面体的内切球的半径是正四面体中心与正四面体的面中心的连线段.

9.每个正四面体都有外接球，也是正四面体外接正方体的外接球，故该外接球的直径就是正方体的体对角线，也即外接球的半径等于正方体体对角线的一半.每个四面体外接球的球心O是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点距离等于球半径.

10.正四面体的高为正方体对角线长的三分之二.

11.正四面体的高为a3（正四面体的棱长为a），中心点将高分为1∶3两部分.

12.对棱中点的连线段长为棱长的12.

三、基本性质的有关推导

1.正四面体的相对棱的两条异面直线垂直

证明：过点S在面SBC上作SE垂直于BC，同时E也是BC的中点，连接AE，可证AE垂直于，可证BC垂直于面AES，所以BC垂直于AS，即对棱垂直.同理也可以证明出其他几组对棱垂直.

2.设正四面体的边长为a，则对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为/2.

证明：设E，F分别为AS，BC的中点，连接EF，则SF，AF相等且值为/2，E为AS的中点，可推出EF垂直于AS，同理可证EF垂直于BC，所以EF为AS，BC的公垂线，所以SF=/2，SE=a2，可根据勾股定理知EF=a2.

3.相邻的两个面的二面角相等且余弦值为13.

证明：此余弦值可用射影面积法求.cosA=S射影S侧面=S三角形AOBS三角形ASB=S三角形ABC3S三角形SAB=13.

4.同样设正方体的棱长为a，正四面体的外接球的半径与正四面体的棱长的关系是：R=a4.

证明：设AS，BC的中点分别为E，D，连接DE，则DE为AS，BC的公垂线，且与高SO的交点O′是外接球的球心，连接AO′，AD.在直角三角形ADE中，由于AD=a2，AE=a2，可知DE=a2，所以EO′=a4，由勾股定理得，外接球的半径R=AO′=a4.

四、典型例题的基本解法

例1 已知一个正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角为（ ）.

A.90° B.60° C.45° D.30°

解析 由题目“侧棱与底面边长相等”可知，S-ABC为正四面体，这个正四面体可以补成一个正方体，这时，EF在正方体的两底面的中心连线上，与正方体的侧棱SD平行，因为∠ASD=45°，所以选C.注意这种题目最好画图，可以帮助分析.

例2 棱长为2的正四面体的体积为（ ）.

解析 可能大家看到这个题，一般做法就是画出图形，然后一点一点计算，但是如果你掌握了正四面体的有关性质，那么计算起来就简单了很多，最典型的做法就是将其补成一个正方体，这样就会简化很多，这样正方体的棱长就可以求出来，从而求出正方体的体积，这样正四面体的体积就可以求出来了.这种方法要比单纯计算简单很多.

五、小 结

在解有关正四面体的题目时，要记得将正四面体与正方体、球结合起来，运用有关知识，记住以上基本性质与有关数据，就能快速且正确地解出有关题目，这样既节省了时间，也增加了准确率.