求解函数值域的常用方法

张昌俭

【摘要】复合函数直接求得值域很困难，求值域的方法很多，本文列举了七种经典的解法.

【关键词】反函数;常数分离;判别式法;数形结合;换元法;有界性

直接求解复合函数的值域比较困难，本文主要解决不能用直接法求解值域的复合函数，本文主要讲解了七种常用的经典方法，分别是求导法、反函数法、常数分离法、判别式法、数形结合法、换元法和有界性.

一、形如y=x-kx（k>0）与y=x+kx（k>0）两类函数的值域

y=x-kx（k>0）与y=x+kx（k>0）两个函数形式很像，但是性质差异却很大，下面我们来分别讲解下这两种函数求解值域的方法.

对于y=x-kx（k>0），我们用直接法去求解它的值域，可以把它看成两个单调递增函数y=x与y=-kx（k>0）的和，其中y=x在实数上单调递增，y=-kx（k>0）在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别单调递增的，因此两个函数的和在（-∞，0）上和（0，+∞）两个区间上分别也是单调递增的.

例1 求y=x-6x在[1，7]上的值域.

解析 因为y=x-6x在x≠0上是单调递增函数，因此它在[1，7]的值域为-5，437.

对于y=x+kx（k>0），它在定义域x≠0上没有单调性，可求导判断单调性.

y′=1-kx2，当y′>0时，x∈（-∞，-k）∪[k，+∞）.当y′<0时，x∈[-k，0）∪（0，k].也就是说单调递增区间是（-∞，-k]和[k，+∞），单调递减区间是[-k，0）和（0，k]，它不是連续函数，在零点间断，所以分别在各区间上单调递增和单调递减.

例2 求y=x+6x在（-∞，-1]上的值域.

解析 因为y=x+6x在（-∞，-6]上单调递增，在这个区间上的值域是（-∞，-26]，在[-6，-1]上单调递减，在这个区间上的值域也是[-7，-26]，所以在整个定义域上的值域是（-∞，-26].

点评 这种类型的题，主要看x和1x前面的系数是否同号，如果异号就直接判断它的单调性，如果同号就是分段的单调性.同样地，y=-x+kx（k>0）两个系数异号，直接考虑单调性，它相当于y=x-kx（k>0）函数取负，所以它在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别单调递减;y=-x-kx（k>0）两个系数同号，所以考虑分段单调性，它相当于y=x+kx（k>0）函数取负，所以它的单调递减区间是（-∞，-k]和[k，+∞），单调递增区间是[-k，0]和（0，k].一般形式，y=ax+kx，其中a，k为任意常数，如果a，k异号，则直接判断函数的单调性;如果a，k同号，则可以变形为y=ax+kax，然后分别得出单增区间和单减区间.

二、反函数法和分离常数法求解形如y=cx+dax+b（a≠0）的值域

首先介绍反函数法.

若f（x）与g（x）互为反函数，则f（x）的定义域就是g（x）的值域，而f（x）的值域就是g（x）的定义域，所以如果要求一个函数的值域，可以通过求它的反函数的定义域得到.

例3 求y=x-12x+3的值域.

解析 f（x）=x-12x+3，求它的反函数.

2xy+3y=x-1，

（1-2y）x=3y+1，

x=3y+11-2y.

所以反函数为f-1（x）=3x+11-2x，可得反函数的定义域为-∞，12∪12，+∞，所以原函数的值域为-∞，12∪12，+∞.

现在介绍分离常数法.

y=cx+dax+b可以经过一系列变形，首先把分子和分母上x的系数提出来，如y=ca·x+dcx+ba，然后变形为y=ca·x+ba+dc-bax+ba，最后分离得y=ca·1+dc-bax+ba，dc-bax+ba不可能为零，所以函数值不可能为ca，所以值域为-∞，ca∪ca，+∞.在例3中，a=2，c=1，所以值域为-∞，12∪12，+∞.

点评 对于此类题目，分离常数法比较容易，计算量小并且速度快，y=cx+dax+b的值域只与a，c两个常数有关，与b，d两个常数无关.

三、判别式法和分离常数法求解形如y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2（a21+a22≠0）的值域

例4 求y=x2-x+3x的值域.

解析 y=x2-x+3x把它变形为关于x的二次方程yx=x2-x+3，

然后变形为x2-（1+y）x+3=0.

当x=0时，y∈R.

当x≠0时，Δ=（1+y）2-12≥0，也就是（1+y）2≥12，所以1+y≥23或者1+y≤-23，所以值域为（-∞，-23-1]∪[23-1，+∞）.

当a1和a2其中有一个为0，一个不为0时，可以利用y=x+kx（k>0）的性质求解值域.

在例4中，y=x2-x+3x可以变形为y=x+3x-1，因为x+3x在（-∞，0）上的值域为（-∞，-23]，在（0，+∞）上的值域为[23，+∞），所以y=x+3x-1的值域为（-∞，-23-1]∪[23-1，+∞）.

例5 求y=x2-8x+17x-4在[7，+∞）上的值域.

解析 除了判别式法，还可以联合分离常数法和y=x+kx（k>0）的性质求解.

原函数可变形为y=（x-4）2+1x-4，则y=（x-4）+1x-4.

令t=x-4，因此y=t+1t，t≥3，y在t∈[3，+∞）上单调递增，

所以y∈103，+∞.

点评 注意分子和分母的函数形式.当分子和分母至少有一项为二次函数时均可用判别式法求值域，其中如果分子和分母一个是二次函数，一个是正比例函数，则可利用y=x+kx（k>0）的性质求解值域问题，如果分子和分母一个是二次函数，一个是一次函数，则利用分离函数法和y=x+kx（k>0）的性质求解值域问题.当分子和分母都是一次函数，则用分离常数法求值域.

四、数形结合法求解函数的值域

形如y2-y1x2-x1可聯想两点（x1，y1）与（x2，y2）连线的斜率，而形如y=（x-x1）2+（y-y1）2+（x-x2）2+（y-y2）2可联想到一个点分别与（x1，y1）和（x2，y2）的连线和.

例6 求y=sinx2-cosx的值域.

解析 可把原来的函数看成y=0-（-sinx）2-cosx，可看作（2，0）和（cosx，-sinx）连线的斜率，而点（cosx-sinx）的轨迹方程为x2+y2=1，是圆心在原点，半径为1的圆，而（2，0）与圆上的点连成的直线方程，斜率取到最大值和最小值是过（2，0）这个点引圆的两条切线方程的斜率，所以问题就转化为求过（2，0）点引圆的两条切线的斜率为多少，设斜率为k，切线方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0.因为圆心到切线的距离为1，所以|-2k|1+k2=1，解得k=±33，所以（2，0）和（cosx，-sinx）连线的斜率最大值为33，最小值为-33.所以原函数的值域为-33，33.

例7 已知x，y满足5x+12y-60=0，求x2+y2的取值范围.

解析 x2+y2可看成（x-0）2+（y-0）2，可看作直线5x+12y-60=0上的点到原点的距离，易知这个距离可以无限大，而距离最小就是过（0，0）引垂线交于直线5x+12y-60=0，这条垂线段距离最短，即|-60|52+122=6013，所以x2+y2的范围是6013，+∞.

五、换元法求解函数的值域

利用代数或三角换元求解值域.形如y=ax+b±cx+d，其中a，b，c，d均为常数，并且ac≠0，令cx+d=t.形如a2-x2，可用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0，π].

例8 求y=x-1-2x的值域.

解析 令t=1-2x，t≥0，所以x=1-t22.

因此原函数变为y=1-t22-t，即y=-12（t+1）2+1，t≥0，

y=-12（t+1）2+1在[0，+∞）上单调递减，所以y∈-∞，12.

例9 求y=x+1-x2的值域.

解析 令x=cosθ，θ∈[0，π].原函数变为y=cosθ+sinθ，θ∈[0，π].

变形为y=2sinθ+π4，θ∈[0，π]，所以θ+π4∈π4，5π4

，sinθ+π4∈-1，22.因此y∈[-2，1].

六、利用有界性求解函数的值域

例10 求y=sinx1+cosx的值域.

解析 原函数可变形为y+y·cosx=sinx，sinx-y·cosx=y，

1+y2sin（x-φ）=y，其中tanφ=y，

所以sin（x-φ）=y1+y2.又因为|sin（x-φ）|≤1，

则y1+y2≤1， y2≤1+y2，所以y∈R.

求解复合函数的值域不仅仅只有以上七种方法，很多时候是结合使用的.一般情况，当不能用直接法求解的时候，首先考虑的是求导法，如果求导法过于复杂或者不能求解出来，这个时候就会考虑这几种方法或者它们的组合.