收敛常数项级数和的求法

邹莉

【摘要】本文归纳总结了利用收敛定义，已知函数的展开式及级数的运算，幂级数的和函数，函数的傅里叶展式等几种方法求常数项级数和的方法.

【关键词】常数项级数;收敛;幂级数;和函数;傅里叶展开式

一、利用收敛定义求和

当常数项级数的一般项为或可化为相邻两项代数和的表示式时，可用收敛定义求其和.

例1 ∑∞n=1lnn2-1n2.

解 Un=∑∞n=1lnn2-1n2= [ln（n-1）-lnn]+[ln（n+1）-lnn].

Sn=∑∞n=2[ln（n-1）-lnn]+[ln（n+1）-lnn]= [ln1-ln2]+[ln3-ln2]+ [ln2-ln3]+[ln4-ln3]+…+[ln（n+1）-lnn]=（ln1-lnn）+ln（n+1）-ln2=lnn+1n-ln2，

limn→∞Sn=limn→∞lnn+1n-ln2=-ln2，則S=-ln2.

二、利用已知函数的展开式及级数的运算

利用已知函数的幂级数展开式或已知和的常数项级数，通过运算，将所求级数化为已知其和的级数的代数和，熟记ex，cosx，sinx，ln（1+x），（1+x）m的展开式，∑∞n=0xn=11-x （x<1）， ∑∞n=0（-1）nxn=11+x （x<1），∑∞n=1xnn=-ln（1-x）（-1≤x<1）.

例2 ∑∞n=1n2n！.

解 利用已知函数ex展开式：ex=∑∞n=1xnn！，两端对x求导ex=∑∞n=1nxn-1n！…（1）.

（1）式两边同时乘以x，xex=∑∞n=1nxnn！…（2）.

（2）式两端对x求导：

ex+xex=∑∞n=1n2xn-1n！，令x=1，则e+e=∑∞n=1n2n！，

∴S=∑∞n=1n2n！=2e.

三、利用幂级数的和函数

根据所给数项级数一般特点，找一幂级数使给定的数项级数可看作是该幂级数在x=x0处所得到的数项级数，求出该幂级数的收敛区域和S（x），代入x0得到数项级数的和S（x0）.

例3 求数项级数的和.

解 构造幂级数∑∞n=1（n+1）2n！xn，当x=1时即为所求数项级数的和.∑∞n=1（n+1）2n！xn的收敛半径R=limn→∞（n+1）2n！（n+2）2（n+1）！=∞，则收敛域（-∞，+∞）.

S（x）=∑∞n=1（n+1）2n！xn 两端积分：

∫x0S（x）dx=∑∞n=1∫x0（n+1）2n！xndx=∑∞n=1（n+1）n！xn+1=x2∑∞n=1xn-1（n-1）！+x∑∞n=1xnn！=x2ex+xex.

对等式两边求导S（x）=（x2+3x+1）ex，令x=1，则S（1）=5e.∴∑∞n=1（n+1）2n！=5e.

四、利用函数的傅里叶展开式

选定函数f（x），求f（x）的傅里叶级数，根据此级数的系数特性，选取适当的x值代入，确定所求和的数项级数.

例4 设周期函数f（x）在-π，π上的表达式为f（x）=e2x，试把它展开成傅里叶级数，并求∑∞n=1（-1）n-1n2+4的和.

解 a0=1π∫π-πe2xdx=e2π-e-2π2π，

an=1π∫π-πe2xcosnxdx=12π∫π-πcosnxdex=

12πe2xcosnxπ-π+n2π∫π-πe2xsinnxdx=（-1）n（e2π-e-2π）2π+n4πe2xsinnxπ-π-

n24π∫π-πe2xcosnxdx=-n24π∫π-πe2xcosnxdx+（-1）n（e2π-e-2π）2π，

移项得an=2（-1）nn2+4·e2π-e-2ππ.同理bn=1π∫π-πe2xsinnxdx=n（-1）n+1n2+4·e2π-e-2ππ.

f（x）=e2x在（-π，π）内连续，但f（-π+0）=e-2π≠f（π+0）=e2π.

e2x=e2π-e-2ππ14+∑∞n=1（-1）nn2+4（2cosnx-nsinnx），

x≠（2n+1）π，n=0，±1，±2，…，在上述间断点中，其级数收敛于e2π+e-2π2π.

在上述展示中取x=0得∑∞n=1（-1）n-1n2+4=18-π4sh（2π）.

【参考文献】

[1]毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2013.

[2]同济大学数学教研室编.高等数学·第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]孙清华，孙昊.高等数学疑难分析与解题方法[M].武汉：华中科技大学出版社，2009.

[4]王全迪，郭艾.高等数学教学辅导书[M].北京：高等教育出版社，2010.