一类二阶常系数线性微分方程的解法

常军

【摘要】 通过变量代换，给出一类二阶常系数线性微分方程的通解公式.

【关键词】 二阶常系数线性微分方程；通解公式

在现行的常微分教材中，求二阶常系数非齐次线性微分方程通解的一般方法是求对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解，进而求得通解. 本文利用变量代换法给出一类二阶常系数线性微分方程的通解公式，从而避免了一般解法中确立待定系数的繁琐过程.

设有二阶常系数线性微分方程

αy″ + βy′ + γy = f（x） （α≠0） （1）

其中α，β，γ为常数，若方程（1）的系数满足

α + γ = |β| 则方程（1）的通解为

y=e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2或y=e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2

解 情形1 若α + γ = β

于是方程（1）可化為

α（y′ + y）′ + γ（y′ + y） = f（x）（2）

设y′ + y = p，

于是方程（2）可化为p′ + ■p = ■f（x）.

则p = e■■■e■dx+C1e■.

即y′ + y = e■■■e■dx+C1e■ .

因此（1）式的通解为

y = e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2

情形2 若α + γ = -β于是方程（1）可化为

α（y′ - y′）′ - γ（y′ - y） = f（x）（3）

同法可得（1）式的通解为

y = e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2.

例1 求微分方程y″ - 3y′ + 2y = 2xex的通解.

解 因为α = 1，β = -3，γ = 2，f（x） = 2xex.

所以α + γ = -β因此根据通解公式得

微分方程y″ - 3y′ + 2y = 2xex的通解为

y = e■■e■■2xex·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = （-x2 - 2x）ex + C1e2x + C2ex.

例2 求微分方程y″ - 2y′ + y = ex ln x的通解.

解 因为α = 1，β = -2，γ = 1，f（x） = ex ln x，

所以α + γ = -β，因此根据通解公式得

微分方程y″ - 2y′ + y = ex ln x的通解为

y = e■■e■■exln x·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = ex■x2 ln x - ■x2 + C1x + C2.

例3 求微分方程y″ + 3y′ + 2y = e-x cos x的通解.

解 因为α = 1，β = 3，γ = 2，f（x） = e-x cos x.

所以α + γ = β，因此根据通解公式得

微分方程y″ + 3y′ + 2y = e-x cos x的通解为

y = e■■e■■e-x cos x·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = ■e-x（sin x - cos x） - C1e-2x + C2e-x .