分析建模

李娟

【摘要】 从小学到初中，应用题始终是学生学习数学的难点，难在理解题意，也难在需要从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学模型解决实际问题. 方程、不等式、函数等是数学中的重要模型，因为比较抽象，实际问题中出现的数量关系较多，运用它们解应用题让不少学生头疼. 如何帮助学生分析建模？本文就列分式方程解決实际问题阐述了笔者在教学实践中的一点思考.

【关键词】 分析；建模；应用题

《数学课程标准》中描述：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径. 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义. 这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识. ”这段话明确提出了运用方程、不等式、函数等数学模型解应用题的目标要求和教学建议.

列分式方程解应用题是初中数学教学的难点之一. 部分学生的困难是：看不清题意；不明确问题中的基本量；不会运用未知数表示与之相关的未知量；不善于抓住关键语句和关键词，寻找问题中的等量关系，列出方程等. 为此笔者在教学实践中，首先引导学生明确题意，在此前提下，着力引领学生进行分析：一是确定应用题的基本类型；二是明确这类应用题中的基本量及它们之间的数量关系；三是在设出未知数之后，辅以表格，寻找关键语句和关键词，用未知数x表示其他相关量，列出等量关系，建立分式方程. 特别是第三步分析，是突破难点的关键给力之处，也是列方程解应用题的教学智慧所在. 下面列举几例分析：

【问题1】A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度.

分析：1. 问题的类型——行程问题；

2. 行程问题中的基本量是：路程、速度、时间；

3. 基本量的确定及等量关系，以表格的形式列出.

路程 速度 时间 题中的等量关系

公共汽车 80公里 x ■

小汽车 80公里 3x ■

解：设公共汽车速度为每小时x公里，

则■ - ■ = 3 - ■.

解分式方程、检验、作答的过程这里不作赘述.

【问题2】为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程. 如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成. 现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成. 问原来规定修好这条公路需多长时间？

分析：1. 问题的类型——工程问题；

2. 工程问题中的基本量是：工作总量、工作效率、工作时间；

3. 基本量的确定及等量关系，以表格的形式列出.

一般经常设所问量为未知数. 这里，设“原来规定修好这条公路需x个月”，用未知数表示其他未知量也是一个难点，由题意可得：甲独做需要x个月，乙独做需要（x + 6）个月，则接下来可以列出以下表格帮助分析：

工作效率 工作时间 工作总量 题中的等量关系

甲 ■ 4 ■ × 4

乙 ■ x ■× x

解：设规定修好时间为x个月，

则■ × 4 + ■ × x = 1.

【问题3】北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率 = ■ × 100%）

分析 1. 问题的类型——销售问题；

2. 销售问题中的基本量及基本关系较多，有：进价、售价、数量、利润等，主要的等量关系有：利润 = 售价 - 进价，总价 = 单价 × 数量，等；

3. 题中基本量的确定及等量关系，以表格的形式列出：

考虑到问题（1）中问“两次共购进这种运动服多少套？”可以设第一批进的数量为未知数：

进价 数量 总成本 题中的等量关系

第一批 ■ x 32000元

第二批 ■ 2x 68000元

当然，这里若不设数量为未知数，也可以就“进价”来设未知数.

进价 数量 总成本 题中的等量关系

第一批 x ■ 32000元

第二批 x +10 ■ 68000元

两种不同的设未知数的方法，源于题中的两个等量关系：“所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”，其中的一个等量关系用来用未知数表示其他与之相关的未知量，另一个等量关系用来列方程.

在教学过程中，针对学生掌握知识、提升能力过程中的难点，帮助学生分步分析，用合理的方式辅助，用符号呈现问题中的数量关系和变化规律，建立数学模型来解决实际问题，形成这样的思维习惯，有助于提高学生的分析能力，初步形成模型思想，增强运用数学的意识和能力，也能提高他们学习数学的兴趣，这也是我们一线数学教师在教学实践中应该不断研究的教学智慧.