判断三角形的形状

颜廷法

【摘要】 让学生尽情享受数学美带来的愉悦感，这是每个数学教师的神圣责任和不可推卸的义务. 通过一道题目的多种解法及其引申和拓展，试图引导学生在潜移默化中去发现数学美，进而逐步提升其数学素养.

【关键词】 三角形；数学美；对称性

【摘要】 让学生尽情享受数学美带来的愉悦感，这是每个数学教师的神圣责任和不可推卸的义务. 通过一道题目的多种解法及其引申和拓展，试图引导学生在潜移默化中去发现数学美，进而逐步提升其数学素养.

【关键词】 三角形；数学美；对称性

如何让学生发现数学美？如何培养学生的创造性？如何让学生享受数学？如何培养学生正确的数学观？这绝不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要数学教师长期引导、指导、训练和培养，让学生在潜移默化中去发现新知，逐步提升自己的数学素养.

学数学就离不开解题. 解题并不是仅仅解答题目，而是应从中发现一般规律，试着提出解决问题的一般模型. 在平面几何中，三角形是最基本的图形. 以判断三角形的形状为例，该问题是初中常见题型，其解法较多，如用三角函数（如余弦定理）解三角形、用极值方法求解、用不等式求解、用数形结合求解和用对称性求解等.

下题将代数与几何相互结合，应是一道典型题目. 求解既不需要课本以外知识，也不需要特殊技巧，关键是考查学生的观察力和综合计算能力. 其奇妙之处就在于只用初中生学过的方法求解就足够了.

例1 已知三角形的三边长分别为a，b，c，而且满足b + c = 8，bc = a2 - 12a + 52，请判断三角形的形状.

解法1 由b + c = 8知，c = 8 - b，

代入bc = a2 - 12a + 52，

并移项得a2 - 12a + 52 + b2 - 8b = 0，

配方（a - 6）2 + （b - 4）2 = 0.

由于（a - 6）2，（b - 4）2都是非负数，

因而a = 6，b = 4.

易得c = 4，故该三角形是等腰三角形.

解法1可称之为“代入配方法”，是一般初中生首先尝试的方法，其技巧在于配方这一步，从两个非负数相加为0，分别得出a，b之值.

解法2 由b + c，bc之值容易联想到韦达定理，进而构造以bc为根的一元二次方程x2 - 8x + a2 - 12a + 52 = 0.

恰好可配方为

（x - 4）2 + （a - 6）2 = 0.

因而有x = 4，a = 6.

易得c = 4，b = 4.

故该三角形為等腰三角形.

解法2可称之为“韦达定理法”，也是一般初中生尝试的方法，其技巧在于构造出一元二次方程和配方过程.

解法3 由条件知，bc = a2 - 12a + 52 = （a - 6）2 + 16 ≥ 16.

再从b + c = 8可推知，bc ≤ 4 × 4 = 16，

可得b = c = 4.

而从第一等式可解得a = 6.

故此三角形为等腰三角形.

解法3可称之为“不等式法”，这是一般初中生应该掌握的方法，主要思路就是数形结合，可把b，c看作某矩形的长和宽，只有长和宽相等时，其面积最大. 作为教师，我们应该启发学生认识、理解和掌握该方法.

解法4 由b + c = 8和bc = a2 - 12a + 52可知，b，c具有对称性，因而其值相等均为4.

而a2 - 12a + 52 = 16，可得a = 6.

故该三角形为等腰三角形.

解法4可称之为“对称法”，这是一般初中生意想不到的方法，其高超之处利用式中字母的对称性，判断出其地位相等，因而其值相等. 对称性不论是在数学领域，还是在其他科学领域，都是非常重要的问题. 对称性思维不仅是一种解决实际问题的思维，而且也是美学思想和哲学思维的体现.

当我们引导学生给出某题目多种解法之后，并不是万事大吉了，还需要进一步反思，看能否可做进一步的引申和拓展. 如老师可向学生提出问题：能否根据本题，创造出新的数学问题呢？

创造新数学题目的一般方法是，通过改变已知数据或条件、未知量，采用类比方法来构建.

如可从（a - 5）2 + （b - 7）2 = 0构造出新题目：

例2 已知三角形的三边长分别为a，b，c，而且满足b + c = 14，bc = a2 - 10a + 74，请判断三角形的形状.

由等腰三角形自然联想到等边三角形，故可继续向学生提问：从此题代数角度出发，能否构造出一个等边三角形问题？

这个问题反而变得简单了，考虑（a - b）2 + （b - c）2 + （c - a）2 = 0，可构造如下数学问题：

例3 已知三角形的三边长分别为a，b，c，而且满足a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0，请判断三角形的形状.

由例1的解法4，学生应能观察这个代数方程中a，b，c的对称性，从而可以确定其地位相等，猜测到a = b = c.

正是对称性才构成了一些美丽几何图案、精美无比的建筑景观、巧夺天工的生活世界. 考量一下数学概念的对称可谓比比皆是：正数与负数、未知与已知、有限与无限、常量与变量、小于与大于、乘方与开方、直线与曲线、平行与相交、函数与反函数、奇函数与偶函数、函数递增与递减、函数连续与间断等. 数学运算的对称也可谓俯首皆是：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等. 同一命题的充分条件和必要条件也渗透着命题的对称美. 分析法与综合法、归纳法与演绎法等，各以对方为存在前提，渗透着数学方法的对称美.

至此，还可以进一步拓展，提出“边长满足类似代数方程的四边形，是个什么样的四边形？”等问题. 若是多边形呢？如此长久坚持下去，学生的思路就会拓展开来.

美丽的鲜花使人陶醉欣赏，漂亮的姑娘引人驻足赞美，亮丽的风景让人眼前一亮，同样数学之美也会动人心弦. 数学的结构、图形、布局和形式无不体现出数学之美的因素. 爱美天性在青少年时期表现得尤为突出，让学生尽情享受数学美带来的愉悦感，这是每位数学教师的神圣责任和不可推卸的义务.