老定理，新证法，新教法

摘 要：高中解析几何有一个重要的判定定理：直线。中职教材和普高教材一样，都是利用三角函数来证明此定理的，但三角函数是中职生的软肋，因此对于此定理的证明得另辟蹊径，利用向量内积来证明此定理，由于向量内积学生刚学过，因此这种方法的教学效果不错。

关键词：直线斜率；垂直；向量坐标；向量内积

一、教材中的证法和学情

笔者首先给出中职数学教材中直线垂直判定定理（以下简称定理）的证明过程，然后介绍中职生的知识掌握情况。

1.教材中的证法

2.中职生的学情

中职即职高，学生的数学基础薄弱，比不得普高学生，高一第一学期学完，中职生普遍反应三角函数的内容太过抽象，难，尤其是诱导公式。而笔者所在地区的中职学校选用的教材都一样，关于此定理的证明都如上所述。笔者想，如果课堂上就这么去证明此定理，效果肯定不好，反而会引发学生对数学的畏难情绪；但若只给定理结果不证明，那么对学生理解该定理肯定是不利的，况且这个定理是体现解析几何思想的一个好载体，我不愿就此放过。于是在备课时，笔者就想有没有另一种让中职生易接受的证明方法。

这个定理隶属教材第八章“直线和圆的方程”，前一章是平面向量，学生对向量的知识还记忆犹新，因此我寻得了一个方向，并最终确定用向量内积简洁地证明此定理，这样既解决了定理的证明问题，又体现了向量知识的应用价值，可谓一举两得。

二、定理的新证法

这三个定理都是第七章的重点内容，老师强调得多，学生掌握得也不错。

2.新证法

为简化和理解证明过程，课堂上笔者先引导学生作了一个简短的分析，然后再开始证明。

分析：两直线若垂直，平移其中的任一条，都不会改变他们的垂直关系，这说明两直线垂直与否只取决于两直线的倾斜程度即斜率，与截距无关，。那么我们就选取解析式最简单的那类直线，即过原点的直线。

定理：设直线l1与l2的斜率都存在，分别为k1和k2，那么l1⊥l2？圳k1·k2=-1

這种新证法还有一个好处，每一步都是互推的，将充要条件两个方向都证明了。而原教材中的证明只给出了充分性的证明，略了必要性的证明，必要性的证明更难。因此笔者认为在这类体系的教材中，本文的新证法较适合中职生，也具有一定的推广价值。

而对普高学生来说，这个证法亦可以作为教材证法的补充，开阔学生的思维。

作者简介：潘水军，男，就职于浙江省杭州市萧山第三中等职业学校，中学二级，主要研究方向：新教材的知识连贯和思维连续。

编辑 赵飞飞