关于金属丝的电阻：一个结论的证明和应用

2016-09-20梁继鲁代建山李军伟

物理通报 2016年9期

关键词：电阻丝金属丝阻值

梁继鲁　代建山　李军伟　王云　李洋

(博乐市高级中学　新疆博乐　833400)

关于金属丝的电阻：一个结论的证明和应用

梁继鲁代建山李军伟王云李洋

(博乐市高级中学新疆博乐833400)

讨论了金属丝电阻的一个性质并给了证明及应用.

金属丝电阻证明

将同质量(同体积)的两块同种金属材料制成两根电阻丝，这两根电阻丝长度相同，一根粗细均匀(各处横截面积一样)，阻值为R0；另一根粗细不均匀，阻值为R，则有：R>R0，以下给出证明.

1　讨论导线由两部分组成

设R是由两段粗细均匀、横截面不一样而长度相同的电阻丝串联而成，如图1所示．

图1

设这两部分长度都为L，横截面积分别为S1和S2．电阻丝的总电阻

设第一段、第二段电阻丝的体积分别为V1和V2，则有

V1=LS1V2=LS2

此时有

设电阻丝的总体积为V，有

V=V1+V2

现将这个金属电阻丝锻打加工，在总长度不变的前提下将金属电阻丝锻压使其各处粗细均匀(横截面积一样)．如图2所示，在这个加工的过程中，整个金属丝的总体积V=V1+V2保持不变(即R表达式中分子不变)，而分母中V1和V2是两个正数，加工过程中是两个变量．

图2

根据数学中的重要不等式：两个正数的和不变，当这两个正数相等时其乘积最大．

在本问题中，V1+V2是恒量，当V1=V2时，V1和V2乘积最大．

由V1=V2,L相同，可得S1=S2=S0(即两根电阻丝一样粗)．

此时V=V1+V2=2LS0;V1·V2=(LS0)2;

由此证明：由两根横截面不同(粗细不均匀)的等长的同种金属材料制成的电阻丝的阻值大于总长度、总体积相同的同种材料制成的粗细均匀电阻丝的电阻(运用二次函数求极值也可得出相同的结论)．

2　讨论一般情况

将一根粗细不均匀的金属电阻丝2N等分(N充分大)，其阻值依次为R1，R2，R3，…，R2N．将这2N个电阻丝依次按两份一组分成N个小组．

此时电阻丝的总电阻为R，有

R=(R1+R2)+(R3+R4)+…+(R2N-1+R2N)

(1) 对每一个小组的金属电阻丝进行锻压，使其在长度、体积不变的前提下变成粗细均匀的电阻丝．根据前面的结论，每一小组的总电阻将变小．所以将这N组电阻丝全部改造后，整根电阻丝的总电阻将减小，同时整根电阻丝的粗细差别将减小．

(2)将(1)所述的改造工作一次又一次地进行，电阻丝的总电阻一次又一次地减小，整根电阻丝的粗细差别一次又一次地减小．

(3)当改造的次数n充分大后，原来的电阻丝就改造成粗细均匀总长度不变的电阻丝．总电阻就变为最小．

原命题得以证明．

3　应用

【题目】如图3所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在磁场正上方有两个边长相等、质量不等的相同材料制成的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ．线圈Ⅰ粗细均匀，线圈Ⅱ粗细不均匀．两线圈从同一高处由静止开始自由下落，进入磁场后最后落在地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．整个运动过程中通过线圈Ⅰ和Ⅱ导线的横截面的电荷量分别为q1和q2，运动时间分别为t1和t2．不计空气阻力，则

A.q1和q2可能相等

B.q1一定大于q2

C.t1与t2可能相等

D.t1一定大于t2

(参考答案：A，D)