用数形结合思想解析2014年浙江省高考理科末题

甘大旺

2014年浙江省高考数学理科末题是——已知函数f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分

别为M（a）、m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对任意

x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

预备知识追根溯源，流畅解答这道高考末题需要熟悉（可用导数探究或验证）三次函数的如下相关知识——缺二次项的三次函数

S（x）=ax3+px+q的图象是关于点O′（0，q）对称的中心对称图形.

（ⅰ）若ap≥0，则三次函数S（x）不存在极值.如图1，当a>0且p≥0时，S（x）在区间（-∞，+∞）上递增；如图2，当a<0且p≤0时，S（x）在区间（-∞，+∞）上递减.

图1图2

（ⅱ）若ap<0，则三次函数S（x）在x=±-p3a处取得极大值或极小值.如图3，当a>0且p<0时，S（x）在区间-∞，--p3a上递增、在区间

--p3a，-p3a上递减、在区间-p3a，+∞上递增；如图4，当a<0且p>0时，S（x）在区间-∞，--p3a上递减、在区间--p3a，-p3a上递增、在区间-p3a，+∞上递减.

图3图4

上述预备知识破解了这道末题的命题背景，下面我们对此题就可迎刃而解了（不同于命题组提供的评卷答案）！

解法1（Ⅰ）去掉函数f（x）的绝对值符号得，f（x）=x3+3x-a=x3+3x-3a（x≥a）；

x3-3x+3a（x≤a）.（注意放宽到R上的三次函数y=x3-3x+3a的图象的两个极值点在两条平行线x=±1上滑动）.

当a<-1且-1≤x≤1时，x>a，函数f（x）=

x3+3x-3a在区间[-1，1]上递增（如图5），则

M（a）=f（1）=4-3a、m（a）=f（-1）=-4-3a，

则M（a）-m（a）=8；

图5图6

当-1≤a<0且-1≤x≤1时，函数f（x）在[-1，a]上递减、在[a，1]上递增（如图6），则M（a）

=max{f（-1），f（1）}=max{2+3a，4-3a}=4-3a，m（a）=f（a）=a3，则M（a）-m（a）=4-3a-a3；

当0≤a<1且-1≤x≤1时，函数f（x）也在区间[-1，a]上递减、在区间[a，1]上递增（如图7），则M（a）=max{f（-1），f（1）}

=max{2+3a，4-3a}=

2+3a，（13≤a<1）

4-3a，（0≤a<13）

m（a）=f（a）=a3，

则M（a）-m（a）=

2+3a-a3，（13≤a<1）

4-3a-a3，（0≤a<13）

图7图8

当a≥1且-1≤x≤1时，x≤a，函数f（x）=x3-3x+3a在区间[-1，1]上递减（如图8），则M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

则M（a）-m（a）=4；

总之根据目标式合并条件得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）依题意，不等式-2≤f（x）+b≤2对任意x∈[-1，1]恒成立，即不等式-2-b≤f（x）≤2-b对任意x∈[-1，1]恒成立，则f（x）min≥-2-b且f（x）max≤2-b.于是分四类得到

a<-1，

-4-3a≥-2-b，

4-3a≤2-b；或-1≤a<13，

a3≥-2-b，

4-3a≤2-b；

或13≤a<1，

a3≥-2-b，

2+3a≤2-b；或a≥1，

-2+3a≥-2-b，

2+3a≤2-b.

即a<-1

3a+2≤b≤3a-2（舍）；

或-1≤a<13

-a2-2≤b≤3a-2；

或13≤a<1

-a3-2≤b≤-3a；或a≥1

b=-3a.

于是，在平面直角坐标系aOb中，全体动点P（a，b）所构成的集合是如图9所示的曲边△ABC（含边界）与射线b=-3a（a≥1）.

令3a+b=m，视m为平行直线系3a+b=m的截距参数，则当该直线系经过点B（0，-2）时m取得最小值-2，当该直线系经过射线b=-3a（a≥13）时m取得最大值0.

所以，3a+b的取值范围是[-2，0].图9

解法2（Ⅰ）设y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），则移项得到关于x的方程（视y为参数）-3x-a+y=x3（x≤1）.

对函数t=x3（x≤1）求导数t′=3x2∈[0，3]，则在直角坐标系xOt中，定函数t=x3（x≤1）的图象除两端点A（-1，-1）、B（1，1）外与动折线t=-3x-a+y没有其它切点.该动折线以直线x=a为对称轴、顶点为V（a，y），如图10考虑临界情景，当a=13、y=3时，折线t=-3x-13+3恰好经过两端点A（-1，-1）、B（1，1），其中此时A为切点.

图10

当a<-1时，由动折线过点B（1，1）求得M（a）=13+31-a=1+3（1-a）=4-3a，由动折线过点A（-1，-1）求得m（a）=（-1）3+3-1-a

=-1+3（-1-a）=-4-3a，则M（a）-m（a）=8.

当-1≤a<13时，由动折线过点B（1，1）求得M（a）=4-3a，由顶点V（a，y）在曲线段t=x3（x≤1）时求得m（a）=a3，则

M（a）-m（a）=4-3a-a3；

当13≤a<1时，由动折线过点A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由顶点V（a，y）在曲线段t=x3（x≤1）时求得m（a）=a3，则M（a）-m（a）=2+3a-a3；

当a≥1时，由动折线过点A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由动折线过点B（1，1）求得m（a）=13+31-a

=1-3（1-a）=-2+3a，则M（a）-m（a）=4.

综上四类得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）同解法1（略）.

解法3提示：设y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），则移项得到关于x的方程（视y为参数）

-x3+y=3x-a（x≤1），以后类似于解法2.

评析

（1）从命题组提供这道高考数学末题（满分14分）的参考答案来看，此题旨在考查学生综合运用绝对值、导数、函数、不等式等数学知识，以及分类讨论、迁移化归、整合概括等数学方法，这样说来，此题并没有超纲；

（2）从考后几位学生找我面谈所反映的信息来看这道题，平时请教过三次函数题目、琢磨过三次函数特征的考生面对这道试卷末题比较欣喜，认为不偏、不怪、不难，而平时没有对三次函数进行专题练习、研讨的考生却“望而生畏”（注：这个“生”是动词），其实是“望生而畏”（注：这个“生”是形容词），这应验了中科院裘宗沪老先生的所推崇的名言“熟能生巧”；

（3）在本文的上述解法中，笔者把试题所隐含的数形结合思想显性化，运用不同的直角坐标系绘出函数图象、平面区域、平行线系，使原本迂回玄妙的解题思路变得相当直观、流畅.

2014年浙江省高考数学理科末题是——已知函数f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分

别为M（a）、m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对任意

x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

预备知识追根溯源，流畅解答这道高考末题需要熟悉（可用导数探究或验证）三次函数的如下相关知识——缺二次项的三次函数

S（x）=ax3+px+q的图象是关于点O′（0，q）对称的中心对称图形.

（ⅰ）若ap≥0，则三次函数S（x）不存在极值.如图1，当a>0且p≥0时，S（x）在区间（-∞，+∞）上递增；如图2，当a<0且p≤0时，S（x）在区间（-∞，+∞）上递减.

图1图2

（ⅱ）若ap<0，则三次函数S（x）在x=±-p3a处取得极大值或极小值.如图3，当a>0且p<0时，S（x）在区间-∞，--p3a上递增、在区间

--p3a，-p3a上递减、在区间-p3a，+∞上递增；如图4，当a<0且p>0时，S（x）在区间-∞，--p3a上递减、在区间--p3a，-p3a上递增、在区间-p3a，+∞上递减.

图3图4

上述预备知识破解了这道末题的命题背景，下面我们对此题就可迎刃而解了（不同于命题组提供的评卷答案）！

解法1（Ⅰ）去掉函数f（x）的绝对值符号得，f（x）=x3+3x-a=x3+3x-3a（x≥a）；

x3-3x+3a（x≤a）.（注意放宽到R上的三次函数y=x3-3x+3a的图象的两个极值点在两条平行线x=±1上滑动）.

当a<-1且-1≤x≤1时，x>a，函数f（x）=

x3+3x-3a在区间[-1，1]上递增（如图5），则

M（a）=f（1）=4-3a、m（a）=f（-1）=-4-3a，

则M（a）-m（a）=8；

图5图6

当-1≤a<0且-1≤x≤1时，函数f（x）在[-1，a]上递减、在[a，1]上递增（如图6），则M（a）

=max{f（-1），f（1）}=max{2+3a，4-3a}=4-3a，m（a）=f（a）=a3，则M（a）-m（a）=4-3a-a3；

当0≤a<1且-1≤x≤1时，函数f（x）也在区间[-1，a]上递减、在区间[a，1]上递增（如图7），则M（a）=max{f（-1），f（1）}

=max{2+3a，4-3a}=

2+3a，（13≤a<1）

4-3a，（0≤a<13）

m（a）=f（a）=a3，

则M（a）-m（a）=

2+3a-a3，（13≤a<1）

4-3a-a3，（0≤a<13）

图7图8

当a≥1且-1≤x≤1时，x≤a，函数f（x）=x3-3x+3a在区间[-1，1]上递减（如图8），则M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

则M（a）-m（a）=4；

总之根据目标式合并条件得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）依题意，不等式-2≤f（x）+b≤2对任意x∈[-1，1]恒成立，即不等式-2-b≤f（x）≤2-b对任意x∈[-1，1]恒成立，则f（x）min≥-2-b且f（x）max≤2-b.于是分四类得到

a<-1，

-4-3a≥-2-b，

4-3a≤2-b；或-1≤a<13，

a3≥-2-b，

4-3a≤2-b；

或13≤a<1，

a3≥-2-b，

2+3a≤2-b；或a≥1，

-2+3a≥-2-b，

2+3a≤2-b.

即a<-1

3a+2≤b≤3a-2（舍）；

或-1≤a<13

-a2-2≤b≤3a-2；

或13≤a<1

-a3-2≤b≤-3a；或a≥1

b=-3a.

于是，在平面直角坐标系aOb中，全体动点P（a，b）所构成的集合是如图9所示的曲边△ABC（含边界）与射线b=-3a（a≥1）.

令3a+b=m，视m为平行直线系3a+b=m的截距参数，则当该直线系经过点B（0，-2）时m取得最小值-2，当该直线系经过射线b=-3a（a≥13）时m取得最大值0.

所以，3a+b的取值范围是[-2，0].图9

解法2（Ⅰ）设y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），则移项得到关于x的方程（视y为参数）-3x-a+y=x3（x≤1）.

对函数t=x3（x≤1）求导数t′=3x2∈[0，3]，则在直角坐标系xOt中，定函数t=x3（x≤1）的图象除两端点A（-1，-1）、B（1，1）外与动折线t=-3x-a+y没有其它切点.该动折线以直线x=a为对称轴、顶点为V（a，y），如图10考虑临界情景，当a=13、y=3时，折线t=-3x-13+3恰好经过两端点A（-1，-1）、B（1，1），其中此时A为切点.

图10

当a<-1时，由动折线过点B（1，1）求得M（a）=13+31-a=1+3（1-a）=4-3a，由动折线过点A（-1，-1）求得m（a）=（-1）3+3-1-a

=-1+3（-1-a）=-4-3a，则M（a）-m（a）=8.

当-1≤a<13时，由动折线过点B（1，1）求得M（a）=4-3a，由顶点V（a，y）在曲线段t=x3（x≤1）时求得m（a）=a3，则

M（a）-m（a）=4-3a-a3；

当13≤a<1时，由动折线过点A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由顶点V（a，y）在曲线段t=x3（x≤1）时求得m（a）=a3，则M（a）-m（a）=2+3a-a3；

当a≥1时，由动折线过点A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由动折线过点B（1，1）求得m（a）=13+31-a

=1-3（1-a）=-2+3a，则M（a）-m（a）=4.

综上四类得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）同解法1（略）.

解法3提示：设y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），则移项得到关于x的方程（视y为参数）

-x3+y=3x-a（x≤1），以后类似于解法2.

评析

（1）从命题组提供这道高考数学末题（满分14分）的参考答案来看，此题旨在考查学生综合运用绝对值、导数、函数、不等式等数学知识，以及分类讨论、迁移化归、整合概括等数学方法，这样说来，此题并没有超纲；

（2）从考后几位学生找我面谈所反映的信息来看这道题，平时请教过三次函数题目、琢磨过三次函数特征的考生面对这道试卷末题比较欣喜，认为不偏、不怪、不难，而平时没有对三次函数进行专题练习、研讨的考生却“望而生畏”（注：这个“生”是动词），其实是“望生而畏”（注：这个“生”是形容词），这应验了中科院裘宗沪老先生的所推崇的名言“熟能生巧”；

（3）在本文的上述解法中，笔者把试题所隐含的数形结合思想显性化，运用不同的直角坐标系绘出函数图象、平面区域、平行线系，使原本迂回玄妙的解题思路变得相当直观、流畅.

2014年浙江省高考数学理科末题是——已知函数f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分

别为M（a）、m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对任意

x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

预备知识追根溯源，流畅解答这道高考末题需要熟悉（可用导数探究或验证）三次函数的如下相关知识——缺二次项的三次函数

S（x）=ax3+px+q的图象是关于点O′（0，q）对称的中心对称图形.

（ⅰ）若ap≥0，则三次函数S（x）不存在极值.如图1，当a>0且p≥0时，S（x）在区间（-∞，+∞）上递增；如图2，当a<0且p≤0时，S（x）在区间（-∞，+∞）上递减.

图1图2

（ⅱ）若ap<0，则三次函数S（x）在x=±-p3a处取得极大值或极小值.如图3，当a>0且p<0时，S（x）在区间-∞，--p3a上递增、在区间

--p3a，-p3a上递减、在区间-p3a，+∞上递增；如图4，当a<0且p>0时，S（x）在区间-∞，--p3a上递减、在区间--p3a，-p3a上递增、在区间-p3a，+∞上递减.

图3图4

上述预备知识破解了这道末题的命题背景，下面我们对此题就可迎刃而解了（不同于命题组提供的评卷答案）！

解法1（Ⅰ）去掉函数f（x）的绝对值符号得，f（x）=x3+3x-a=x3+3x-3a（x≥a）；

x3-3x+3a（x≤a）.（注意放宽到R上的三次函数y=x3-3x+3a的图象的两个极值点在两条平行线x=±1上滑动）.

当a<-1且-1≤x≤1时，x>a，函数f（x）=

x3+3x-3a在区间[-1，1]上递增（如图5），则

M（a）=f（1）=4-3a、m（a）=f（-1）=-4-3a，

则M（a）-m（a）=8；

图5图6

当-1≤a<0且-1≤x≤1时，函数f（x）在[-1，a]上递减、在[a，1]上递增（如图6），则M（a）

=max{f（-1），f（1）}=max{2+3a，4-3a}=4-3a，m（a）=f（a）=a3，则M（a）-m（a）=4-3a-a3；

当0≤a<1且-1≤x≤1时，函数f（x）也在区间[-1，a]上递减、在区间[a，1]上递增（如图7），则M（a）=max{f（-1），f（1）}

=max{2+3a，4-3a}=

2+3a，（13≤a<1）

4-3a，（0≤a<13）

m（a）=f（a）=a3，

则M（a）-m（a）=

2+3a-a3，（13≤a<1）

4-3a-a3，（0≤a<13）

图7图8

当a≥1且-1≤x≤1时，x≤a，函数f（x）=x3-3x+3a在区间[-1，1]上递减（如图8），则M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

则M（a）-m（a）=4；

总之根据目标式合并条件得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）依题意，不等式-2≤f（x）+b≤2对任意x∈[-1，1]恒成立，即不等式-2-b≤f（x）≤2-b对任意x∈[-1，1]恒成立，则f（x）min≥-2-b且f（x）max≤2-b.于是分四类得到

a<-1，

-4-3a≥-2-b，

4-3a≤2-b；或-1≤a<13，

a3≥-2-b，

4-3a≤2-b；

或13≤a<1，

a3≥-2-b，

2+3a≤2-b；或a≥1，

-2+3a≥-2-b，

2+3a≤2-b.

即a<-1

3a+2≤b≤3a-2（舍）；

或-1≤a<13

-a2-2≤b≤3a-2；

或13≤a<1

-a3-2≤b≤-3a；或a≥1

b=-3a.

于是，在平面直角坐标系aOb中，全体动点P（a，b）所构成的集合是如图9所示的曲边△ABC（含边界）与射线b=-3a（a≥1）.

令3a+b=m，视m为平行直线系3a+b=m的截距参数，则当该直线系经过点B（0，-2）时m取得最小值-2，当该直线系经过射线b=-3a（a≥13）时m取得最大值0.

所以，3a+b的取值范围是[-2，0].图9

解法2（Ⅰ）设y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），则移项得到关于x的方程（视y为参数）-3x-a+y=x3（x≤1）.

对函数t=x3（x≤1）求导数t′=3x2∈[0，3]，则在直角坐标系xOt中，定函数t=x3（x≤1）的图象除两端点A（-1，-1）、B（1，1）外与动折线t=-3x-a+y没有其它切点.该动折线以直线x=a为对称轴、顶点为V（a，y），如图10考虑临界情景，当a=13、y=3时，折线t=-3x-13+3恰好经过两端点A（-1，-1）、B（1，1），其中此时A为切点.

图10

当a<-1时，由动折线过点B（1，1）求得M（a）=13+31-a=1+3（1-a）=4-3a，由动折线过点A（-1，-1）求得m（a）=（-1）3+3-1-a

=-1+3（-1-a）=-4-3a，则M（a）-m（a）=8.

当-1≤a<13时，由动折线过点B（1，1）求得M（a）=4-3a，由顶点V（a，y）在曲线段t=x3（x≤1）时求得m（a）=a3，则

M（a）-m（a）=4-3a-a3；

当13≤a<1时，由动折线过点A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由顶点V（a，y）在曲线段t=x3（x≤1）时求得m（a）=a3，则M（a）-m（a）=2+3a-a3；

当a≥1时，由动折线过点A（-1，-1）求得M（a）=（-1）3+3-1-a=-1+3（1+a）=2+3a，由动折线过点B（1，1）求得m（a）=13+31-a

=1-3（1-a）=-2+3a，则M（a）-m（a）=4.

综上四类得，

M（a）-m（a）=8（a<-1）；

4-3a-a3（-1≤a<13）；

2+3a-a3（13≤a<1）；

4（a≥1）.

（Ⅱ）同解法1（略）.

解法3提示：设y=f（x）=x3+3x-a（x≤1），则移项得到关于x的方程（视y为参数）

-x3+y=3x-a（x≤1），以后类似于解法2.

评析

（1）从命题组提供这道高考数学末题（满分14分）的参考答案来看，此题旨在考查学生综合运用绝对值、导数、函数、不等式等数学知识，以及分类讨论、迁移化归、整合概括等数学方法，这样说来，此题并没有超纲；

（2）从考后几位学生找我面谈所反映的信息来看这道题，平时请教过三次函数题目、琢磨过三次函数特征的考生面对这道试卷末题比较欣喜，认为不偏、不怪、不难，而平时没有对三次函数进行专题练习、研讨的考生却“望而生畏”（注：这个“生”是动词），其实是“望生而畏”（注：这个“生”是形容词），这应验了中科院裘宗沪老先生的所推崇的名言“熟能生巧”；

（3）在本文的上述解法中，笔者把试题所隐含的数形结合思想显性化，运用不同的直角坐标系绘出函数图象、平面区域、平行线系，使原本迂回玄妙的解题思路变得相当直观、流畅.