用发展的观点思考高一数学概念课的导入

庞进发

近几年来，随着课程改革的不断深入，我们一直致力于探究提高教学效率的各种模式，寻求各种优化课堂教学的途径，最终达到数学高效课堂的目的.笔者认为应该让课堂导入这个教学环节发挥更大的作用，为整节课做好铺垫.特别是高一数学概念比较多，并且这些概念又是学生后续学习的基础.因此，如何做好高一数学概念课的导入，尤为重要.

发展性教学理论是赞科夫依据维果茨基的教学与发展的关系及最近发展区的理论，对学生在实验教学中达到的发展水平进行了长期的动态研究，同时坚持对实验教学和传统教学的做法和结果进行对照研究，不断总结研究成果，提出的教学理论.发展性教学强调教学不仅仅局限于认知能力的发展，而且要求使学生理解学习过程，教给他们学习的方法，强调使所有学生都得到不同的发展.然而，如何在高一数学概念课中更好地融入其发展性，从而提高数学教学效率，达到数学高效课堂，是值得探讨的问题.

本文结合教学实际，以《任意角的三角函数》的导入为例.在以下三个方面探索高一数学概念课的导入.

1概念的导入设置在学生“最近发展区”

“最近发展区”理论是由前苏联教育心理学家维果茨基首先提出，其理论核心是确定学生两个发展水平，第一个是现有发展水平，表现为学生能独立地、自主地完成教师提出的智力任务；第二个就是潜在发展水平，表现为学生还不能独立完成任务，但在教师帮助下，在集体活动中，通过训练和自己的努力才能完成的智力任务.这两种水平的差异就是思维的“最近发展区”.这一原理应用于概念课的导入教学中，就是要从新旧知识的联系、学生知识能力方面去考虑学生最近发展水平.

1.1新旧知识的联系

新知识与旧知识的联系，往往会决定着学生理解新知识的程度.而新知识与旧知识的内在联系是什么？连接的桥梁是什么？连接点在哪里？概念的导入就设置在新旧知识的连接点处，用新旧知识的联系来启发学生的思维，有利于促进学生对新知识的理解和掌握.导入的形式往往就是复习引入.

案例1创设情境引入：

首先引用了生活中摩天轮的实例，以及在一根铁杆上的不同位置悬挂物体；

然后提出问题：

图1

如图1，当旋转角度α后，DE与AD的长度之比和BC与AB的长度之比是否相等？

案例2复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt△ABC中，设角A对边为a，角B对边为b，角C对边为c，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切依次为sin A=ac，cos A=bc，tan A=ab.

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.

案例1设计的意图是：一方面是引导学生通过直观图形，自然联系起初中已学的锐角三角比的定义，完成对问题的判断；另一方面，随着摩天轮的旋转，角度α已经不仅仅是锐角，对于超越锐角的情形，是否还能成立？学生生成的问题也就是本节课的新知识，自然地完成了导入.

本节课涉及的旧知识就是初中所学的锐角三角函数，新知识就是任意角的三角函数.然而在初中虽然给出了锐角三角函数的定义，但初中更多地利用三角函数研究直角三角形的角与边的比值关系，进而求解直角三角形的角和边，偏向几何的研究.高中学习的三角函数主要从自变量与因变量的关系进行研究，侧重于函数.这里连接初高中三角函数的桥梁就是相似三角形的比，每一个角唯一对应一个比值.案例1的导入就是设置在这一连接点上，既回顾了旧知识，又引发了学生思维的冲突，使其自然地产生积极思考、自主探究，从而提高课堂效率.案例2的导入虽然也复习回顾了初中锐角三角函数的定义，但只是知识的呈现，然后进行推广，并没有挖掘新旧知识之间的内在联系.

1.2学生的知识能力

学生已有的知识能力，会影响着课堂导入的效果.因此在设置导入的时候要对学情进行充分的分析，学生已有了哪些知识，具备什么能力；由已有的知识能力跨越到新的知识的能力，需要做哪些的引导、帮助等. 在任意角的三角函数的学习中，学生已有初中锐角三角函数的概念，具备角的推广的能力、函数自变量与因变量对应关系的思想. 但学生对于理解三角函数的自变量与因变量的对应关系，特别是由锐角推广到任意角三角函数的理解比较困难.据调查发现，很多学生对任意角三角函数的自变量与因变量的对应关系不甚理解，只是会应用三角函数线研究三角函数公式以及图像性质.

案例3复习引入、回想再认：

（情景1）什么叫函数？

（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.

请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

图2

sinα=对边斜边，cosα=邻边斜边，tanα=对边邻边.

提问：锐角的正弦、余弦、正切值是否受斜边的影响？

回答：锐角的正弦、余弦、正切值不受斜边的影响.

引导学生用函数的思想分析：

对于确定的锐角α，这三个比值是个定值；锐角α变，这三个比值变化.这是一种特殊的函数，锐角α是自变量，比值是因变量.

案例3的导入借助了两个问题情景，情景1意图是让学生对函数概念进行回想再认，目的在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备. 情景2意图是从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数进行有针对性的复习，为定义的讲解做好铺垫.并帮助学生建立锐角三角函数中自变量α与因变量比值的对应关系，为学生跨越到任意角的三角函数做好准备.

2导入需考虑概念本质形成的需要

数学概念的教学关键是突出概念的本质，让学生经历概念本质的形成过程，理解数学概念的本质.然而概念的导入需考虑数学概念本质形成的需要，做好铺垫.对于任意角的三角函数的核心本质是反映周期变化的函数模型，因此在概念导入时就要抓住周期变化的现象，作为研究问题的开始.案例4的导入是教师引导学生回顾任意角的概念，从角的推广中发现角的终边转动这一周期变化的规律，联想到生活中摩天轮、钟表的齿轮、自行车的轮胎等周期运动的现象，激发学生探究这一周期函数模型——任意角的三角函数.紧扣三角函数的核心本质，让学生更好地理解三角函数是研究周期变化的重要函数模型.

案例4

板书

课堂导入实录：

老师T：上课.

学生S：起立.

T ：同学们好.

S ：老师您好.

T ：前面大家学习了任意角，那我现在考一个问题：

任意角在你的头脑中留下印象最深的特点是什么？

T：S1学生回答.

S1：在同一直角坐标系中，一个角可以表示无数的角，这是任意角给我留下最深刻的印象.

T：一个角可以表示无数个角.

S1：同一个角可以有无数个角度.

T：终边相同的角，相差360°的整数倍，是吧，好的.还有什么呢？

S1：还有角度可以是负数.

T：角度可以是负数，可以是正角，也可以是负角，还有吗？

S1：没有了.

T：好的，坐下.

T：其他同学还有补充的吗？

T：S2你感觉呢？

S2：就是能够用角度表示它对应的弧长.

T：角度它对应的弧长，那这是用弧度制来度量，是吧.

那这样的话，一个角可以用一个弧度数来表示它，好的，还有吗？

T：S3学生.

S3：当我们把任意角放在直角坐标系中的时候，我们可以看到那种周而复始的现象.

T：为什么？

S3：比如说，这个角的终边，它会这样地转（手在比划），转了一圈又一圈，可以这样子.

T：来大家演示下（投影）

T：其实最关键的是这个角现在是由旋转生成的，对吧，好的，坐下.

T：非常好！它还有周而复始的现象，其实任意角最主要的特点是在旋转当中生成的（板书），那我们可以看到在转动过程中，终边上的点就会绕着定点作圆周运动（板书），我想圆周运动，大家并不陌生，在生活当中，有很多圆周运动的现象，我请一位同学举些例子看，生活当中你发现哪些是圆周运动.

T：S4学生.

S4：比如说摩天轮一圈一圈地转.

T：摩天轮一圈一圈地转，好的，还有吗？

S4：还有钟表的齿轮.

T：钟表也是做圆周运动的.

S4：还有自行车的轮胎.

T：自行车的轮胎，非常多，坐下.

T：圆周运动是生活当中非常重要的运动，那么，函数是我们数学当中用来刻画客观世界变化规律的一个数学模型，那么我们现在自然有一个问题，圆周运动应该用什么样的函数来刻画呢？（板书）

T：首先大家思考一下，如果要用函数来刻画圆周运动，函数研究的对象是什么？（停顿）最直接的我想应该是数量及其数量关系，是吗？（板书）那我要用函数来研究圆周运动，我们首先来看，在这运动变化过程当中，到底有哪些变量，哪些不变量，它们的直接关系是什么？

3导入要有助于学生可持续发展

数学课程标准的理念强调以学生发展为本，为学生提供不同的发展平台，关注不同学生的发展.通过教学活动，提高学生可持续发展的能力.因此在课堂教学的各个环节中都必须关注学生的发展水平的提升，包括课堂的导入，这样才能真正落实数学课程理念，实现数学的高效课堂.

3.1关注学生学习兴趣的发展

数学学习的兴趣是学生学习内动力的源泉、保证. 著名的教育家苏霍姆林斯基曾说过：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么，这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦.”因此，在课堂的导入中，教师可以通过创设情景，激起学生要弄懂、学会数学知识和技能的欲望，激发学生学习新知识的兴趣，进而把注意力转移到新知识的学习上. 特别是高一的学生，在初中的数学学习中，很多是具体的生活实例，知识比较具体形象，学习数学兴趣较浓，在高一的数学学习应保持这样的学习兴趣，并且还要有更加深入的发展.案例2和案例4都是创设摩天轮等具有周期变化的生活情景，说明数学来源于生活，应用于生活，让学生感觉数学就在自己的身边，从而激发学生研究任意角三角函数的兴趣.案例3通过创设问题，促进学生思考函数和锐角三角函数的关系，即一般与特殊的关系，自然地进入探究任意角三角函数的学习.

3.2关注学生思维的发展

数学概念的教学过程就是学生思维的发展过程，在概念导入过程必须关注学生思维的发展.高一是学生由初中的具体形象的思维过渡到高中抽象概括的思维的关键时期.因此，在概念导入中要充分考虑学生思维由具体到抽象的发展，循着学生的思维路线，引导学生学会思维的方法，这样才能使学生顺利地探究新的知识.案例2的导入是给出相应的问题情境，提供相应的直观载体，再创设与之相应的问题，引导学生从情境信息出发层层深入.案例3引导学生从已学的锐角三角函数和函数出发，思考特殊与一般的关系，渗透特殊与一般的思维方法.案例4引导学生联想任意角的定义，挖掘其本质特征——周期变化，再通过归纳生活中的周期现象，为学生渗透透过现象看本质、分析归纳的思维方法.

3.3关注不同学生的发展

不同学生知识、能力水平的差异，在课堂学习的表现中必然有不同的发展.有些学生对原有的知识理解比较透彻，学习的经验比较丰富，比较快地建立起新旧知识的联系，提取相关的知识和方法，在概念的学习中发展比较快而且更加深入.有些学生就需要老师的启发引导.因此，在概念导入的教学环节，必须关注不同学生的发展，教师给予适当的引导，使所有学生都能进入概念学习的状态，提高整节课的教学效率.案例4的导入中，教师提问了三位同学，第一位同学回顾了任意角的定义，通过终边旋转推广角的方法；第二位同学回顾弧度制，角度与弧度的对应关系；第三位同学从生活的一些周期运动的现象中归纳出周期变化的规律，体现了三位同学的不同发展水平，在教师的启发引导下完成了概念导入的过程.

上述结合《任意角的三角函数》的导入四个不同的案例，从不同角的角度分析高一数学概念课的导入.而高一的数学概念比较多，每个数学概念如何导入，需根据数学概念的本质特点、学生的实际情况、教学的计划安排等进行选择.选择最适合的概念导入，从而提高课堂教学效率.

案例4

板书

课堂导入实录：

老师T：上课.

学生S：起立.

T ：同学们好.

S ：老师您好.

T ：前面大家学习了任意角，那我现在考一个问题：

任意角在你的头脑中留下印象最深的特点是什么？

T：S1学生回答.

S1：在同一直角坐标系中，一个角可以表示无数的角，这是任意角给我留下最深刻的印象.

T：一个角可以表示无数个角.

S1：同一个角可以有无数个角度.

T：终边相同的角，相差360°的整数倍，是吧，好的.还有什么呢？

S1：还有角度可以是负数.

T：角度可以是负数，可以是正角，也可以是负角，还有吗？

S1：没有了.

T：好的，坐下.

T：其他同学还有补充的吗？

T：S2你感觉呢？

S2：就是能够用角度表示它对应的弧长.

T：角度它对应的弧长，那这是用弧度制来度量，是吧.

那这样的话，一个角可以用一个弧度数来表示它，好的，还有吗？

T：S3学生.

S3：当我们把任意角放在直角坐标系中的时候，我们可以看到那种周而复始的现象.

T：为什么？

S3：比如说，这个角的终边，它会这样地转（手在比划），转了一圈又一圈，可以这样子.

T：来大家演示下（投影）

T：其实最关键的是这个角现在是由旋转生成的，对吧，好的，坐下.

T：非常好！它还有周而复始的现象，其实任意角最主要的特点是在旋转当中生成的（板书），那我们可以看到在转动过程中，终边上的点就会绕着定点作圆周运动（板书），我想圆周运动，大家并不陌生，在生活当中，有很多圆周运动的现象，我请一位同学举些例子看，生活当中你发现哪些是圆周运动.

T：S4学生.

S4：比如说摩天轮一圈一圈地转.

T：摩天轮一圈一圈地转，好的，还有吗？

S4：还有钟表的齿轮.

T：钟表也是做圆周运动的.

S4：还有自行车的轮胎.

T：自行车的轮胎，非常多，坐下.

T：圆周运动是生活当中非常重要的运动，那么，函数是我们数学当中用来刻画客观世界变化规律的一个数学模型，那么我们现在自然有一个问题，圆周运动应该用什么样的函数来刻画呢？（板书）

T：首先大家思考一下，如果要用函数来刻画圆周运动，函数研究的对象是什么？（停顿）最直接的我想应该是数量及其数量关系，是吗？（板书）那我要用函数来研究圆周运动，我们首先来看，在这运动变化过程当中，到底有哪些变量，哪些不变量，它们的直接关系是什么？

3导入要有助于学生可持续发展

数学课程标准的理念强调以学生发展为本，为学生提供不同的发展平台，关注不同学生的发展.通过教学活动，提高学生可持续发展的能力.因此在课堂教学的各个环节中都必须关注学生的发展水平的提升，包括课堂的导入，这样才能真正落实数学课程理念，实现数学的高效课堂.

3.1关注学生学习兴趣的发展

数学学习的兴趣是学生学习内动力的源泉、保证. 著名的教育家苏霍姆林斯基曾说过：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么，这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦.”因此，在课堂的导入中，教师可以通过创设情景，激起学生要弄懂、学会数学知识和技能的欲望，激发学生学习新知识的兴趣，进而把注意力转移到新知识的学习上. 特别是高一的学生，在初中的数学学习中，很多是具体的生活实例，知识比较具体形象，学习数学兴趣较浓，在高一的数学学习应保持这样的学习兴趣，并且还要有更加深入的发展.案例2和案例4都是创设摩天轮等具有周期变化的生活情景，说明数学来源于生活，应用于生活，让学生感觉数学就在自己的身边，从而激发学生研究任意角三角函数的兴趣.案例3通过创设问题，促进学生思考函数和锐角三角函数的关系，即一般与特殊的关系，自然地进入探究任意角三角函数的学习.

3.2关注学生思维的发展

数学概念的教学过程就是学生思维的发展过程，在概念导入过程必须关注学生思维的发展.高一是学生由初中的具体形象的思维过渡到高中抽象概括的思维的关键时期.因此，在概念导入中要充分考虑学生思维由具体到抽象的发展，循着学生的思维路线，引导学生学会思维的方法，这样才能使学生顺利地探究新的知识.案例2的导入是给出相应的问题情境，提供相应的直观载体，再创设与之相应的问题，引导学生从情境信息出发层层深入.案例3引导学生从已学的锐角三角函数和函数出发，思考特殊与一般的关系，渗透特殊与一般的思维方法.案例4引导学生联想任意角的定义，挖掘其本质特征——周期变化，再通过归纳生活中的周期现象，为学生渗透透过现象看本质、分析归纳的思维方法.

3.3关注不同学生的发展

不同学生知识、能力水平的差异，在课堂学习的表现中必然有不同的发展.有些学生对原有的知识理解比较透彻，学习的经验比较丰富，比较快地建立起新旧知识的联系，提取相关的知识和方法，在概念的学习中发展比较快而且更加深入.有些学生就需要老师的启发引导.因此，在概念导入的教学环节，必须关注不同学生的发展，教师给予适当的引导，使所有学生都能进入概念学习的状态，提高整节课的教学效率.案例4的导入中，教师提问了三位同学，第一位同学回顾了任意角的定义，通过终边旋转推广角的方法；第二位同学回顾弧度制，角度与弧度的对应关系；第三位同学从生活的一些周期运动的现象中归纳出周期变化的规律，体现了三位同学的不同发展水平，在教师的启发引导下完成了概念导入的过程.

上述结合《任意角的三角函数》的导入四个不同的案例，从不同角的角度分析高一数学概念课的导入.而高一的数学概念比较多，每个数学概念如何导入，需根据数学概念的本质特点、学生的实际情况、教学的计划安排等进行选择.选择最适合的概念导入，从而提高课堂教学效率.

案例4

板书

课堂导入实录：

老师T：上课.

学生S：起立.

T ：同学们好.

S ：老师您好.

T ：前面大家学习了任意角，那我现在考一个问题：

任意角在你的头脑中留下印象最深的特点是什么？

T：S1学生回答.

S1：在同一直角坐标系中，一个角可以表示无数的角，这是任意角给我留下最深刻的印象.

T：一个角可以表示无数个角.

S1：同一个角可以有无数个角度.

T：终边相同的角，相差360°的整数倍，是吧，好的.还有什么呢？

S1：还有角度可以是负数.

T：角度可以是负数，可以是正角，也可以是负角，还有吗？

S1：没有了.

T：好的，坐下.

T：其他同学还有补充的吗？

T：S2你感觉呢？

S2：就是能够用角度表示它对应的弧长.

T：角度它对应的弧长，那这是用弧度制来度量，是吧.

那这样的话，一个角可以用一个弧度数来表示它，好的，还有吗？

T：S3学生.

S3：当我们把任意角放在直角坐标系中的时候，我们可以看到那种周而复始的现象.

T：为什么？

S3：比如说，这个角的终边，它会这样地转（手在比划），转了一圈又一圈，可以这样子.

T：来大家演示下（投影）

T：其实最关键的是这个角现在是由旋转生成的，对吧，好的，坐下.

T：非常好！它还有周而复始的现象，其实任意角最主要的特点是在旋转当中生成的（板书），那我们可以看到在转动过程中，终边上的点就会绕着定点作圆周运动（板书），我想圆周运动，大家并不陌生，在生活当中，有很多圆周运动的现象，我请一位同学举些例子看，生活当中你发现哪些是圆周运动.

T：S4学生.

S4：比如说摩天轮一圈一圈地转.

T：摩天轮一圈一圈地转，好的，还有吗？

S4：还有钟表的齿轮.

T：钟表也是做圆周运动的.

S4：还有自行车的轮胎.

T：自行车的轮胎，非常多，坐下.

T：圆周运动是生活当中非常重要的运动，那么，函数是我们数学当中用来刻画客观世界变化规律的一个数学模型，那么我们现在自然有一个问题，圆周运动应该用什么样的函数来刻画呢？（板书）

T：首先大家思考一下，如果要用函数来刻画圆周运动，函数研究的对象是什么？（停顿）最直接的我想应该是数量及其数量关系，是吗？（板书）那我要用函数来研究圆周运动，我们首先来看，在这运动变化过程当中，到底有哪些变量，哪些不变量，它们的直接关系是什么？

3导入要有助于学生可持续发展

数学课程标准的理念强调以学生发展为本，为学生提供不同的发展平台，关注不同学生的发展.通过教学活动，提高学生可持续发展的能力.因此在课堂教学的各个环节中都必须关注学生的发展水平的提升，包括课堂的导入，这样才能真正落实数学课程理念，实现数学的高效课堂.

3.1关注学生学习兴趣的发展

数学学习的兴趣是学生学习内动力的源泉、保证. 著名的教育家苏霍姆林斯基曾说过：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么，这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦.”因此，在课堂的导入中，教师可以通过创设情景，激起学生要弄懂、学会数学知识和技能的欲望，激发学生学习新知识的兴趣，进而把注意力转移到新知识的学习上. 特别是高一的学生，在初中的数学学习中，很多是具体的生活实例，知识比较具体形象，学习数学兴趣较浓，在高一的数学学习应保持这样的学习兴趣，并且还要有更加深入的发展.案例2和案例4都是创设摩天轮等具有周期变化的生活情景，说明数学来源于生活，应用于生活，让学生感觉数学就在自己的身边，从而激发学生研究任意角三角函数的兴趣.案例3通过创设问题，促进学生思考函数和锐角三角函数的关系，即一般与特殊的关系，自然地进入探究任意角三角函数的学习.

3.2关注学生思维的发展

数学概念的教学过程就是学生思维的发展过程，在概念导入过程必须关注学生思维的发展.高一是学生由初中的具体形象的思维过渡到高中抽象概括的思维的关键时期.因此，在概念导入中要充分考虑学生思维由具体到抽象的发展，循着学生的思维路线，引导学生学会思维的方法，这样才能使学生顺利地探究新的知识.案例2的导入是给出相应的问题情境，提供相应的直观载体，再创设与之相应的问题，引导学生从情境信息出发层层深入.案例3引导学生从已学的锐角三角函数和函数出发，思考特殊与一般的关系，渗透特殊与一般的思维方法.案例4引导学生联想任意角的定义，挖掘其本质特征——周期变化，再通过归纳生活中的周期现象，为学生渗透透过现象看本质、分析归纳的思维方法.

3.3关注不同学生的发展

不同学生知识、能力水平的差异，在课堂学习的表现中必然有不同的发展.有些学生对原有的知识理解比较透彻，学习的经验比较丰富，比较快地建立起新旧知识的联系，提取相关的知识和方法，在概念的学习中发展比较快而且更加深入.有些学生就需要老师的启发引导.因此，在概念导入的教学环节，必须关注不同学生的发展，教师给予适当的引导，使所有学生都能进入概念学习的状态，提高整节课的教学效率.案例4的导入中，教师提问了三位同学，第一位同学回顾了任意角的定义，通过终边旋转推广角的方法；第二位同学回顾弧度制，角度与弧度的对应关系；第三位同学从生活的一些周期运动的现象中归纳出周期变化的规律，体现了三位同学的不同发展水平，在教师的启发引导下完成了概念导入的过程.

上述结合《任意角的三角函数》的导入四个不同的案例，从不同角的角度分析高一数学概念课的导入.而高一的数学概念比较多，每个数学概念如何导入，需根据数学概念的本质特点、学生的实际情况、教学的计划安排等进行选择.选择最适合的概念导入，从而提高课堂教学效率.