例谈与棱锥相关的三视图解题思路
2014-10-20刘欢孟红兵
刘欢++孟红兵
摘 要:三视图是高中数学新课程新增内容之一,也是高考热点题型。关于三视图,主要有两种考查形式:一是根据给定几何体判断或补画视图,二是由三视图想象出原几何体,进而计算它的面积或体积。
关键词:解题思路
中图分类号:G642 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2014)17-010-02
三视图是高中数学新课程新增内容之一,也是高考热点题型。关于三视图,主要有两种考查形式:一是根据给定几何体判断或补画视图,二是由三视图想象出原几何体,进而计算它的面积或体积。
笔者在分析第二种考查形式时发现,有一种和棱锥相关的题型,学生理解不到位,且各种参考答案讲解不够详细,导致学生一知半解。因此本文的目的是通过研究高考题,对此类问题详细分析,以期学生透彻领悟其中的缘由。
这类题最大特点有二:第一,给出三视图求原几何体的面积或体积;第二,主视图和左视图都是三角形,而俯视图为三角形或四边形。
在分析此类题目前,有必要搞清楚几个概念。
必备知识
1、三视图
从某一角度观察一个物体时,看到的图象叫做物体的一个视图。视图分为三种:
2、投影
上面提到的投影是正投影,为此我们先理解什么是投影,什么又是正投影。
①投影:光照射在物体上,在其后面屏幕上形成的物体的影子就是物体的投影。
③三视图解题中,关键是理解线的投影规律
3、三视图中的几种关系
①三种视图之间的关系
②三视图与原几何体的关系
例谈解题思路
题型一求体积
例1(2012高考·全国课标,7)如图,在网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
【分析】①此题主视图、左视图都是三角形,故原几何图形是棱锥。已学知识可知,棱锥的体积 ,故求原几何体体积的关键是确定底面积和高。②因为俯视图是原几何体底面轮廓,故原几何体底面积 ③因为主视图、左视图的高是原几何体的高,原几何体的高 ④故 ,原题选B.
【小结】①棱锥求体积,关键找底面积和高,即 ;② 由俯视图+“长对正,高平齐,宽相等”口诀联合得出;③ 与主视图、左视图高相等
练习1(2009高考,辽宁,理15文16)
设某个几何体的三
视图如下(尺寸的
长度单位为m),
则该几何体的
体积为___m?.
【提示】①底面三角形的高(宽)和左视图宽相等即为3, ;② 和左视图高相等为2;③
题型二求表面积
例2(2012高考·北京,7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
【分析】求面积关键要确定原几何体形状,即通
过三视图画出原几何体。(为了方便,俯视图标字母后如图8)
首先,确定原几何体底面形状。主视图和左视图均为三角形,故原几何体是棱锥,且棱锥的底面轮廓就是俯视图三角形轮廓,即原几何体是三棱锥,其底面轮廓为△ABC,如图9所示
②然后,找出顶点P的位置,三棱锥形状就确定了。由俯视图可知△ABC内只有一条线,则顶点在一定在点D或C的正上方(否则,俯视图投影不可能存在线段DC,读者可以举反例验证);又左视图为直角三角形,且直角在左边,故顶点一定只能在点D正上方(如果顶点P不在D的正上方,则就在C正上方,其左视图一定不是题中的形状,读者可自行举例验证)。因此原几何体如图10所示,再反过来验证其三视图是否如图所示,最终确定是图10
图10中,显然PD⊥平面ABC,线段DC即PC
在底面上的投影,亦即和图8中俯视图上的线段DC是同一条。由主视图可知,DA=2,DB=3,PD=4(三棱锥的高等于主视图高)
此题即转换成,已知一个三棱锥P-ABC中,
DA=2,DB=3,BC=4,PD=4,且AB⊥BC,PD⊥
平面ABC,求此三棱锥的面积
⑤分别求每个面面积,再相加得, ,
即答案选B.
【小结】此类题解题关键
首先,找原几何体,俯视图为底面形状
然后,由俯视图、主视图、侧视图找顶点
A.俯视图内有多条线段:顶点在内部线段交点正上方(如图11所示,顶点一定在点D正上方)
B.俯视图内有一条线段:顶点只有两种情况
(如图12,顶点一定在点D或者B的正上方)
C.俯视图内无线段:顶点在三角形顶点上
(如图13,顶点一定在点A或B或C的正上方)
顶点确定后,逆向验证该猜想是否正确。
再根据三个视图的关系,弄清楚各边数量关系
由三视图求表面积就变成已知一个棱锥和已
知条件,求其表面积的题型
练习2(2009.海南,宁夏,11)一个棱锥的三视
图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm?)为( )
【分析】①由图可知,原几何体是三棱锥,底面
是边长为6的等腰直角三角形
②如图15,是俯视图标字母后的图。因为三角形内部只有一条线段,因此三棱锥顶点一定在点D或B的正上方;又结合主视图和左视图可知,顶点不可能在点B正上方,因此一定在点D正上方。
原几何体如图16中,PD⊥平面ABC,PD=4(三
棱锥高等于主视图高),AB=BC=6,△ABC为等腰直角三角形;DG⊥BC,且DG=3,同理可知DH=3。题转化成已知上面的条件,求该三棱锥全面积
终选择答案A
练习3 (2011高考北京)某四面体三视图如图17所
示,该四面体四个面的面积中最大的是( )
【分析】观察俯视图,三角形内部无线段,故三棱锥顶点一定在三角形三顶点正上方。右分析主视图和侧视图可知,如图18所示,顶点只能在点A正上方,PA⊥平面ABC,PA=4,AB=4,BC=3,且AB⊥BC。分析得△PAC的面积最大为10,故选C以上从求棱锥体积和面积两方面举例分析,虽然三视图考察方式灵活多样,但均以课本为基础,对学生空间想象、推理论证、数形结合能力的考察永远不变。希望同学们在平时学习中,多总结多观察,深入透彻的理解每一道题的解题思路,以求以不变应万变。
参考文献:
[1] 齐邦交.刘 怡.刘世勤.高考热点——三视图.数学教学研究[J].2011年4月,第30卷第4期.
[2] 戴 三.一道与三视图相关习题的错解剖析.数学通报[J].2008年第47卷第5期,P39.
[3] 杨要兰.三视图考点分析.高中数学教与学[I].2012年第二期P26-28.
[4] 危 伟.一个三视图问题的再探究.数学通报[J].2009年第48卷第5期,P60-61.
[5] 祝要辉.从图形转换中发现三视图问题的思路.福建中学数学[J]
[6] 方华辉.高考中的三视图问题.河北理科教学研究[J].2012年第6期,P29,30
摘 要:三视图是高中数学新课程新增内容之一,也是高考热点题型。关于三视图,主要有两种考查形式:一是根据给定几何体判断或补画视图,二是由三视图想象出原几何体,进而计算它的面积或体积。
关键词:解题思路
中图分类号:G642 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2014)17-010-02
三视图是高中数学新课程新增内容之一,也是高考热点题型。关于三视图,主要有两种考查形式:一是根据给定几何体判断或补画视图,二是由三视图想象出原几何体,进而计算它的面积或体积。
笔者在分析第二种考查形式时发现,有一种和棱锥相关的题型,学生理解不到位,且各种参考答案讲解不够详细,导致学生一知半解。因此本文的目的是通过研究高考题,对此类问题详细分析,以期学生透彻领悟其中的缘由。
这类题最大特点有二:第一,给出三视图求原几何体的面积或体积;第二,主视图和左视图都是三角形,而俯视图为三角形或四边形。
在分析此类题目前,有必要搞清楚几个概念。
必备知识
1、三视图
从某一角度观察一个物体时,看到的图象叫做物体的一个视图。视图分为三种:
2、投影
上面提到的投影是正投影,为此我们先理解什么是投影,什么又是正投影。
①投影:光照射在物体上,在其后面屏幕上形成的物体的影子就是物体的投影。
③三视图解题中,关键是理解线的投影规律
3、三视图中的几种关系
①三种视图之间的关系
②三视图与原几何体的关系
例谈解题思路
题型一求体积
例1(2012高考·全国课标,7)如图,在网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
【分析】①此题主视图、左视图都是三角形,故原几何图形是棱锥。已学知识可知,棱锥的体积 ,故求原几何体体积的关键是确定底面积和高。②因为俯视图是原几何体底面轮廓,故原几何体底面积 ③因为主视图、左视图的高是原几何体的高,原几何体的高 ④故 ,原题选B.
【小结】①棱锥求体积,关键找底面积和高,即 ;② 由俯视图+“长对正,高平齐,宽相等”口诀联合得出;③ 与主视图、左视图高相等
练习1(2009高考,辽宁,理15文16)
设某个几何体的三
视图如下(尺寸的
长度单位为m),
则该几何体的
体积为___m?.
【提示】①底面三角形的高(宽)和左视图宽相等即为3, ;② 和左视图高相等为2;③
题型二求表面积
例2(2012高考·北京,7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
【分析】求面积关键要确定原几何体形状,即通
过三视图画出原几何体。(为了方便,俯视图标字母后如图8)
首先,确定原几何体底面形状。主视图和左视图均为三角形,故原几何体是棱锥,且棱锥的底面轮廓就是俯视图三角形轮廓,即原几何体是三棱锥,其底面轮廓为△ABC,如图9所示
②然后,找出顶点P的位置,三棱锥形状就确定了。由俯视图可知△ABC内只有一条线,则顶点在一定在点D或C的正上方(否则,俯视图投影不可能存在线段DC,读者可以举反例验证);又左视图为直角三角形,且直角在左边,故顶点一定只能在点D正上方(如果顶点P不在D的正上方,则就在C正上方,其左视图一定不是题中的形状,读者可自行举例验证)。因此原几何体如图10所示,再反过来验证其三视图是否如图所示,最终确定是图10
图10中,显然PD⊥平面ABC,线段DC即PC
在底面上的投影,亦即和图8中俯视图上的线段DC是同一条。由主视图可知,DA=2,DB=3,PD=4(三棱锥的高等于主视图高)
此题即转换成,已知一个三棱锥P-ABC中,
DA=2,DB=3,BC=4,PD=4,且AB⊥BC,PD⊥
平面ABC,求此三棱锥的面积
⑤分别求每个面面积,再相加得, ,
即答案选B.
【小结】此类题解题关键
首先,找原几何体,俯视图为底面形状
然后,由俯视图、主视图、侧视图找顶点
A.俯视图内有多条线段:顶点在内部线段交点正上方(如图11所示,顶点一定在点D正上方)
B.俯视图内有一条线段:顶点只有两种情况
(如图12,顶点一定在点D或者B的正上方)
C.俯视图内无线段:顶点在三角形顶点上
(如图13,顶点一定在点A或B或C的正上方)
顶点确定后,逆向验证该猜想是否正确。
再根据三个视图的关系,弄清楚各边数量关系
由三视图求表面积就变成已知一个棱锥和已
知条件,求其表面积的题型
练习2(2009.海南,宁夏,11)一个棱锥的三视
图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm?)为( )
【分析】①由图可知,原几何体是三棱锥,底面
是边长为6的等腰直角三角形
②如图15,是俯视图标字母后的图。因为三角形内部只有一条线段,因此三棱锥顶点一定在点D或B的正上方;又结合主视图和左视图可知,顶点不可能在点B正上方,因此一定在点D正上方。
原几何体如图16中,PD⊥平面ABC,PD=4(三
棱锥高等于主视图高),AB=BC=6,△ABC为等腰直角三角形;DG⊥BC,且DG=3,同理可知DH=3。题转化成已知上面的条件,求该三棱锥全面积
终选择答案A
练习3 (2011高考北京)某四面体三视图如图17所
示,该四面体四个面的面积中最大的是( )
【分析】观察俯视图,三角形内部无线段,故三棱锥顶点一定在三角形三顶点正上方。右分析主视图和侧视图可知,如图18所示,顶点只能在点A正上方,PA⊥平面ABC,PA=4,AB=4,BC=3,且AB⊥BC。分析得△PAC的面积最大为10,故选C以上从求棱锥体积和面积两方面举例分析,虽然三视图考察方式灵活多样,但均以课本为基础,对学生空间想象、推理论证、数形结合能力的考察永远不变。希望同学们在平时学习中,多总结多观察,深入透彻的理解每一道题的解题思路,以求以不变应万变。
参考文献:
[1] 齐邦交.刘 怡.刘世勤.高考热点——三视图.数学教学研究[J].2011年4月,第30卷第4期.
[2] 戴 三.一道与三视图相关习题的错解剖析.数学通报[J].2008年第47卷第5期,P39.
[3] 杨要兰.三视图考点分析.高中数学教与学[I].2012年第二期P26-28.
[4] 危 伟.一个三视图问题的再探究.数学通报[J].2009年第48卷第5期,P60-61.
[5] 祝要辉.从图形转换中发现三视图问题的思路.福建中学数学[J]
[6] 方华辉.高考中的三视图问题.河北理科教学研究[J].2012年第6期,P29,30
摘 要:三视图是高中数学新课程新增内容之一,也是高考热点题型。关于三视图,主要有两种考查形式:一是根据给定几何体判断或补画视图,二是由三视图想象出原几何体,进而计算它的面积或体积。
关键词:解题思路
中图分类号:G642 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2014)17-010-02
三视图是高中数学新课程新增内容之一,也是高考热点题型。关于三视图,主要有两种考查形式:一是根据给定几何体判断或补画视图,二是由三视图想象出原几何体,进而计算它的面积或体积。
笔者在分析第二种考查形式时发现,有一种和棱锥相关的题型,学生理解不到位,且各种参考答案讲解不够详细,导致学生一知半解。因此本文的目的是通过研究高考题,对此类问题详细分析,以期学生透彻领悟其中的缘由。
这类题最大特点有二:第一,给出三视图求原几何体的面积或体积;第二,主视图和左视图都是三角形,而俯视图为三角形或四边形。
在分析此类题目前,有必要搞清楚几个概念。
必备知识
1、三视图
从某一角度观察一个物体时,看到的图象叫做物体的一个视图。视图分为三种:
2、投影
上面提到的投影是正投影,为此我们先理解什么是投影,什么又是正投影。
①投影:光照射在物体上,在其后面屏幕上形成的物体的影子就是物体的投影。
③三视图解题中,关键是理解线的投影规律
3、三视图中的几种关系
①三种视图之间的关系
②三视图与原几何体的关系
例谈解题思路
题型一求体积
例1(2012高考·全国课标,7)如图,在网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
【分析】①此题主视图、左视图都是三角形,故原几何图形是棱锥。已学知识可知,棱锥的体积 ,故求原几何体体积的关键是确定底面积和高。②因为俯视图是原几何体底面轮廓,故原几何体底面积 ③因为主视图、左视图的高是原几何体的高,原几何体的高 ④故 ,原题选B.
【小结】①棱锥求体积,关键找底面积和高,即 ;② 由俯视图+“长对正,高平齐,宽相等”口诀联合得出;③ 与主视图、左视图高相等
练习1(2009高考,辽宁,理15文16)
设某个几何体的三
视图如下(尺寸的
长度单位为m),
则该几何体的
体积为___m?.
【提示】①底面三角形的高(宽)和左视图宽相等即为3, ;② 和左视图高相等为2;③
题型二求表面积
例2(2012高考·北京,7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
【分析】求面积关键要确定原几何体形状,即通
过三视图画出原几何体。(为了方便,俯视图标字母后如图8)
首先,确定原几何体底面形状。主视图和左视图均为三角形,故原几何体是棱锥,且棱锥的底面轮廓就是俯视图三角形轮廓,即原几何体是三棱锥,其底面轮廓为△ABC,如图9所示
②然后,找出顶点P的位置,三棱锥形状就确定了。由俯视图可知△ABC内只有一条线,则顶点在一定在点D或C的正上方(否则,俯视图投影不可能存在线段DC,读者可以举反例验证);又左视图为直角三角形,且直角在左边,故顶点一定只能在点D正上方(如果顶点P不在D的正上方,则就在C正上方,其左视图一定不是题中的形状,读者可自行举例验证)。因此原几何体如图10所示,再反过来验证其三视图是否如图所示,最终确定是图10
图10中,显然PD⊥平面ABC,线段DC即PC
在底面上的投影,亦即和图8中俯视图上的线段DC是同一条。由主视图可知,DA=2,DB=3,PD=4(三棱锥的高等于主视图高)
此题即转换成,已知一个三棱锥P-ABC中,
DA=2,DB=3,BC=4,PD=4,且AB⊥BC,PD⊥
平面ABC,求此三棱锥的面积
⑤分别求每个面面积,再相加得, ,
即答案选B.
【小结】此类题解题关键
首先,找原几何体,俯视图为底面形状
然后,由俯视图、主视图、侧视图找顶点
A.俯视图内有多条线段:顶点在内部线段交点正上方(如图11所示,顶点一定在点D正上方)
B.俯视图内有一条线段:顶点只有两种情况
(如图12,顶点一定在点D或者B的正上方)
C.俯视图内无线段:顶点在三角形顶点上
(如图13,顶点一定在点A或B或C的正上方)
顶点确定后,逆向验证该猜想是否正确。
再根据三个视图的关系,弄清楚各边数量关系
由三视图求表面积就变成已知一个棱锥和已
知条件,求其表面积的题型
练习2(2009.海南,宁夏,11)一个棱锥的三视
图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm?)为( )
【分析】①由图可知,原几何体是三棱锥,底面
是边长为6的等腰直角三角形
②如图15,是俯视图标字母后的图。因为三角形内部只有一条线段,因此三棱锥顶点一定在点D或B的正上方;又结合主视图和左视图可知,顶点不可能在点B正上方,因此一定在点D正上方。
原几何体如图16中,PD⊥平面ABC,PD=4(三
棱锥高等于主视图高),AB=BC=6,△ABC为等腰直角三角形;DG⊥BC,且DG=3,同理可知DH=3。题转化成已知上面的条件,求该三棱锥全面积
终选择答案A
练习3 (2011高考北京)某四面体三视图如图17所
示,该四面体四个面的面积中最大的是( )
【分析】观察俯视图,三角形内部无线段,故三棱锥顶点一定在三角形三顶点正上方。右分析主视图和侧视图可知,如图18所示,顶点只能在点A正上方,PA⊥平面ABC,PA=4,AB=4,BC=3,且AB⊥BC。分析得△PAC的面积最大为10,故选C以上从求棱锥体积和面积两方面举例分析,虽然三视图考察方式灵活多样,但均以课本为基础,对学生空间想象、推理论证、数形结合能力的考察永远不变。希望同学们在平时学习中,多总结多观察,深入透彻的理解每一道题的解题思路,以求以不变应万变。
参考文献:
[1] 齐邦交.刘 怡.刘世勤.高考热点——三视图.数学教学研究[J].2011年4月,第30卷第4期.
[2] 戴 三.一道与三视图相关习题的错解剖析.数学通报[J].2008年第47卷第5期,P39.
[3] 杨要兰.三视图考点分析.高中数学教与学[I].2012年第二期P26-28.
[4] 危 伟.一个三视图问题的再探究.数学通报[J].2009年第48卷第5期,P60-61.
[5] 祝要辉.从图形转换中发现三视图问题的思路.福建中学数学[J]
[6] 方华辉.高考中的三视图问题.河北理科教学研究[J].2012年第6期,P29,30