谈高考中的周期函数
2014-10-20王卫学
王卫学
周期性是函数的一个重要性质,也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度,才能在高考中游刃有余呢?对此,笔者就自己的一点认识与大家共勉。
一、定义
函数f(x)定义在数集A上,如果存在正数T,对任意x∈A有x+T∈A,且f(x+T)=f(x),称函数f(x)是周期函数,T称为函数f(x)的一个周期。
二、几点注意事项
1.如果T是函数f(x)的周期,则2T也是它的周期
事实上,f(x+2T)=f(x+T+T)=…=f(x)=f(x-2T).显然,如果T是函数f(x)的周期,则nT(n是整数)也是它的周期。如果函数f(x)有最小的正周期,通常将这个最小正周期称为函数f(x)的周期。
2.周期函数不一定有最小正周期
对一般函数而言,都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观,且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。
如:f(x)=a(a为常数)或D(x)=0 x∈R-Q1 x∈Q;
再如:函数f(x)=sinx,x∈(-∞,0),是周期函数,其最大负周期为-2π;
3.周期函数的定义域至少一端趋向∞
由周期函数的定义可知,若x∈M,只需x+T∈M,当然有(x+T)+T∈M,…,x+kT∈M。因此,周期函数的定义域一定是无限集,即定义域与区间的一端无界,但不要求定义域两端无界。
4.几个重要结论
(1)f(x+a)=-f(x),则最小正周期为|2a|;
(2)f(x+a)=+1/f(x),则最小正周期为|2a|;
(3)f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),则最小正周期为2|a-b|
三、最小正周期的求法
⒈定义法
例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。
解:∵=|sinx|+|cosx|
=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|
=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|
=f(x+π/2)
对定义域内的每一个x,当x增加到x+π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2.
2.公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求。其中Asin(ωx+?渍)、Acosωx+?渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|,Aant(ωx+?渍)正切型函数T=π/|ω|.y=f(kx+b)型类似正切型函数。若y=f(x)最小正周期为T,则y=f(kx+b)最小正周期为T/|k|.
例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。
解:y=1/tanx-tanx=(1-tanx^2)/tanx=2*(1-tanx^2)/(2tanx)=2cot2x
∴T=π/2
3.最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数。
例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。
解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=2π/3,T2=2π/5,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.
四、图象法
例4.求y=|sinx|的最小正周期。
解:由y=|sinx|的图象
可知y=|sinx|的周期T=π.
注意:(1)一个函数的周期通常是指最小正周期。
(2)常值函数是周期函数,但没有最小正周期。
五、高考题欣赏
例1.(2013山东理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
【答案】A
例2.(2013陕西理3)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图像是 ( )
■
■
【答案】B
例3.(2013全国新课标理11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ω x+φ)(ω>0,|φ|<)■的最小正周期为π,且f(-x)=f(x)则
(A)y=f(x)在(0,■)单调递减 (B)y=f(x)在(■,■)单调递减
(C)y=f(x)在(0,■)单调递增 (D)y=f(x)在(■,■)单调递增
【答案】A
例4.(2013全国大纲卷12)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中正确的是
(A)y=f(x)的图像关于(π,0)中心对称
(B)y=f(x)的图像关于x=■对称
(C)f(x)的最值为■
(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数
答案:D
周期性是函数的一个重要性质,也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度,才能在高考中游刃有余呢?对此,笔者就自己的一点认识与大家共勉。
一、定义
函数f(x)定义在数集A上,如果存在正数T,对任意x∈A有x+T∈A,且f(x+T)=f(x),称函数f(x)是周期函数,T称为函数f(x)的一个周期。
二、几点注意事项
1.如果T是函数f(x)的周期,则2T也是它的周期
事实上,f(x+2T)=f(x+T+T)=…=f(x)=f(x-2T).显然,如果T是函数f(x)的周期,则nT(n是整数)也是它的周期。如果函数f(x)有最小的正周期,通常将这个最小正周期称为函数f(x)的周期。
2.周期函数不一定有最小正周期
对一般函数而言,都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观,且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。
如:f(x)=a(a为常数)或D(x)=0 x∈R-Q1 x∈Q;
再如:函数f(x)=sinx,x∈(-∞,0),是周期函数,其最大负周期为-2π;
3.周期函数的定义域至少一端趋向∞
由周期函数的定义可知,若x∈M,只需x+T∈M,当然有(x+T)+T∈M,…,x+kT∈M。因此,周期函数的定义域一定是无限集,即定义域与区间的一端无界,但不要求定义域两端无界。
4.几个重要结论
(1)f(x+a)=-f(x),则最小正周期为|2a|;
(2)f(x+a)=+1/f(x),则最小正周期为|2a|;
(3)f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),则最小正周期为2|a-b|
三、最小正周期的求法
⒈定义法
例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。
解:∵=|sinx|+|cosx|
=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|
=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|
=f(x+π/2)
对定义域内的每一个x,当x增加到x+π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2.
2.公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求。其中Asin(ωx+?渍)、Acosωx+?渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|,Aant(ωx+?渍)正切型函数T=π/|ω|.y=f(kx+b)型类似正切型函数。若y=f(x)最小正周期为T,则y=f(kx+b)最小正周期为T/|k|.
例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。
解:y=1/tanx-tanx=(1-tanx^2)/tanx=2*(1-tanx^2)/(2tanx)=2cot2x
∴T=π/2
3.最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数。
例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。
解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=2π/3,T2=2π/5,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.
四、图象法
例4.求y=|sinx|的最小正周期。
解:由y=|sinx|的图象
可知y=|sinx|的周期T=π.
注意:(1)一个函数的周期通常是指最小正周期。
(2)常值函数是周期函数,但没有最小正周期。
五、高考题欣赏
例1.(2013山东理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
【答案】A
例2.(2013陕西理3)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图像是 ( )
■
■
【答案】B
例3.(2013全国新课标理11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ω x+φ)(ω>0,|φ|<)■的最小正周期为π,且f(-x)=f(x)则
(A)y=f(x)在(0,■)单调递减 (B)y=f(x)在(■,■)单调递减
(C)y=f(x)在(0,■)单调递增 (D)y=f(x)在(■,■)单调递增
【答案】A
例4.(2013全国大纲卷12)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中正确的是
(A)y=f(x)的图像关于(π,0)中心对称
(B)y=f(x)的图像关于x=■对称
(C)f(x)的最值为■
(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数
答案:D
周期性是函数的一个重要性质,也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度,才能在高考中游刃有余呢?对此,笔者就自己的一点认识与大家共勉。
一、定义
函数f(x)定义在数集A上,如果存在正数T,对任意x∈A有x+T∈A,且f(x+T)=f(x),称函数f(x)是周期函数,T称为函数f(x)的一个周期。
二、几点注意事项
1.如果T是函数f(x)的周期,则2T也是它的周期
事实上,f(x+2T)=f(x+T+T)=…=f(x)=f(x-2T).显然,如果T是函数f(x)的周期,则nT(n是整数)也是它的周期。如果函数f(x)有最小的正周期,通常将这个最小正周期称为函数f(x)的周期。
2.周期函数不一定有最小正周期
对一般函数而言,都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观,且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。
如:f(x)=a(a为常数)或D(x)=0 x∈R-Q1 x∈Q;
再如:函数f(x)=sinx,x∈(-∞,0),是周期函数,其最大负周期为-2π;
3.周期函数的定义域至少一端趋向∞
由周期函数的定义可知,若x∈M,只需x+T∈M,当然有(x+T)+T∈M,…,x+kT∈M。因此,周期函数的定义域一定是无限集,即定义域与区间的一端无界,但不要求定义域两端无界。
4.几个重要结论
(1)f(x+a)=-f(x),则最小正周期为|2a|;
(2)f(x+a)=+1/f(x),则最小正周期为|2a|;
(3)f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),则最小正周期为2|a-b|
三、最小正周期的求法
⒈定义法
例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。
解:∵=|sinx|+|cosx|
=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|
=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|
=f(x+π/2)
对定义域内的每一个x,当x增加到x+π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2.
2.公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求。其中Asin(ωx+?渍)、Acosωx+?渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|,Aant(ωx+?渍)正切型函数T=π/|ω|.y=f(kx+b)型类似正切型函数。若y=f(x)最小正周期为T,则y=f(kx+b)最小正周期为T/|k|.
例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。
解:y=1/tanx-tanx=(1-tanx^2)/tanx=2*(1-tanx^2)/(2tanx)=2cot2x
∴T=π/2
3.最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数。
例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。
解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=2π/3,T2=2π/5,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.
四、图象法
例4.求y=|sinx|的最小正周期。
解:由y=|sinx|的图象
可知y=|sinx|的周期T=π.
注意:(1)一个函数的周期通常是指最小正周期。
(2)常值函数是周期函数,但没有最小正周期。
五、高考题欣赏
例1.(2013山东理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
【答案】A
例2.(2013陕西理3)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图像是 ( )
■
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【答案】B
例3.(2013全国新课标理11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ω x+φ)(ω>0,|φ|<)■的最小正周期为π,且f(-x)=f(x)则
(A)y=f(x)在(0,■)单调递减 (B)y=f(x)在(■,■)单调递减
(C)y=f(x)在(0,■)单调递增 (D)y=f(x)在(■,■)单调递增
【答案】A
例4.(2013全国大纲卷12)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中正确的是
(A)y=f(x)的图像关于(π,0)中心对称
(B)y=f(x)的图像关于x=■对称
(C)f(x)的最值为■
(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数
答案:D