非参数回归模型的局部似然估计方法及应用

张东云

（河南师范大学 商学院，河南 新乡 453007）

0 引言

非参数回归模型自20世纪70年代以来，得到了飞速的发展和应用，其特点是回归均值函数的形式可以任意。正是由于这种对总体分布的假设条件较宽，非参数回归模型有着更广泛的应用前景。Stone提出了非参数回归估计的核函数估计方法，该方法引起了广泛的重视。Fan和Gijbels详细地阐述了局部多项式估计，此方法已被广泛地应用与各种回归问题的研究。

本文主要研究非参数异方差回归模型中回归均值函数和回归方差函数的局部极大似然估计，其中，我们利用的技巧是局部线性拟合。考虑到回归方差函数的非负性，我们解决的方法是对方差函数的对手进行局部线性拟合，保证了方差函数的局部估计的非负性。另外，本文利用非参数异方差回归模型的局部极大似然估计方法，对我国城镇居民消费支出与可支配收入之间的关系进行了实证研究，结果表明，非参数回归的局部似然方法比普通的最小二乘方法有更好的拟合效果。我们认为，由于改革的进一步深入，经济生活中的不确定因素日益增多，所以人们很难对未来的可支配收入作出理性的预期。因此，居民的消费行为是一个随时间变化的过程，并且在不同时期存在显著的差异性，而传统的计量模型很难解释居民消费行为的这种时变特征。本文把非参数异方差回归模型的非参数估计理论应用于我国城镇居民消费支出与可支配收入的实证研究中，能更好地捕捉居民消费行为的这种时变特征。

1 局部极大似然估计方法

考虑如下非参数异方差回归模型：

其中Y是响应变量，X是协变量，ε是标准正态随机变量，且与X独立。这里，分别称函数m(x)=E(Y|X=x)和v(x)=Var(Y|X=x)为回归模型(1)的回归均值函数和回归方差函数。下面我们利用局部极大似然估计方法来估计回归均值函数和回归方差函数。

设 {(Xi,Yi),i=1,2,…,n} 是模型(1)的样本观测值，则对给定的X=x，样本的局部对数似然函数为

其中 Kh(·)=K(·/h)/h ，h 是一个合适的带宽参数，K(·)是一个非负的权函数，称其为核函数，本文取为Epanechnikov核 ，即 ：K(x)=(1-x2)I{|x|≤1}，这 里 I{|x|≤1}=

对于(2)式中的回归均值函数和回归方差函数，我们利用局部逼近的方法。即，对给定的X=x，令

考虑到回归方差函数是一个取值为正的函数，这里我们采用局部对数线性拟合，即，对给定的X=x，令

将(4)式和(5)式代入到(3)式，得

求(6)式的最大值点的具体步骤如下：

步骤1：首先固定 v0和v1，(6)式分别关于 μ0和 μ1求偏导并令其为零，可以求得最大值点，记为

(A1)均值函数m(x)和方差函数v(x)二阶连续可导。

(A2)核函数K(·)是对称的密度函数且满足Lipschitz条件。

(A3)X的密度函数g(x)在某个区间[a,b]上可微。

(A3)带宽参数h=h(n)→0，且对某个δ＞0，nh2+δ→∞。

定理1在条件(A1)-(A4)下，当n→∞时，对[a,b]上的内点x，有

定理的证明见文献[4]。

2 城镇居民消费与收入的实证分析

本文的研究样本是我国城镇居民消费支出额及可支配收入的历史数据(如表1)，数据跨度为1990～2011年，样本容量n=22。数据来源于《中国统计年鉴》。

令Y为城镇居民的消费支出额，X为城镇居民的可支配收入。为便于比较，先用最小二乘估计法估计出我国城镇居民的消费与可支配收入的回归函数如下

Y=547.4+0.68X

然后，利用第2节的非参数回归模型的局部似然估计方法再进行非参数估计，并采用第2节所述的带宽选择方法选择最优带宽参数为hopt=317。表2分别给出了利用最小二乘方法和局部极大似然估计的方法所得到的城镇

表1 城镇居民消费支出额与可支配收入的历史数据

最小二乘法的均方误差为MSE1=174.48，局部极大似然法的均方误差为MSE2=86.50。

从表2可以看出，由局部极大似然估计方法得到的消费支出的拟合值更接近于消费支出的真实值，并且其均方误差更小。这意味着，非参数回归模型的局部极大似然估计法比普通最小二乘回归估计法的精度更高。因此，对于城镇居民消费支出与可支配收入的动态关系，利用非参数回归模型进行拟合的效果更好。

表2 1990-2011年城镇居民消费支出的拟合结果

消费的弹性系数反映了影响因素居民可支配收入的相对变化引起居民消费支出的相对变化。根据非参数异方差回归模型的局部似然估计的结果，计算出了1991～2011年城镇居民消费的弹性系数，其变化走势如图1所示。由图1可以看出，从1991～1999年，消费结构的弹性系数由明显的震荡上升趋势，这主要是由于在该阶段，虽然人们的生活水平大幅度提高，但是增加的可支配收入大多也用于消费支出。从2000年以后，弹性系数来回震荡，并稍微有下降趋势，这主要是因为2000年后，城镇居民的人均收入大幅度提高，不但可以满足居民必需的消费支出，而且还可以把一部分可支配收入用于储蓄。同时，由于资本市场的进一步完善，城镇居民也倾向于将一部分的可支配收入用于投资。

图1 1991～2011年消费结构中的弹性系数

3 结语

本文主要研究了非参数异方差回归模型的局部极大似然估计方法。考虑到我国城镇居民消费结构存在着显著的差异，本文引入了非参数异方差回归模型来描述城镇居民消费支出额与可支配收入之间的动态关系。拟合结果显示，用非参数异方差回归模型的局部似然方法比传统的最小二乘方法的拟合效果更好。在此基础上，本文对城镇居民消费的弹性系数进行了研究，发现在2000年后，城镇居民的弹性系数有略微下降的趋势。这意味着，随着城镇居民人均收入的不断提高，人们把一部分可支配收入用于储蓄和投资。

[1]Stone,C.J.Consistent Nonparametric Regression[J].The Annals of Statistics,1977，(5).

[2]Fan,J.,Gijbels,I.Local Polynomial Medelling and Its Applications[M].London：Chapman and Hall,1996.

[3]Muller,H.G.，Stadtmuller,U.Estimation of Heteroscedasticity in Regression Analysis[J].The Annals of Statistics,1987，(15).

[4]Yu,K.,Jones,M.C.Likelihood-based Local Linear Estimation of the Conditional Variance Function[J].J.Amer.Statist.Assoc.,2004，(99).

[5]龙健颜，卢索，刘金山.贝叶斯非参数回归模型及非参数似不相关回归模型的应用[J].统计与决策，2011，(16).