编好数学教学案，让学生逐步“会学”

【摘 要】本文以因式分解为例，突出了初中数学教学案的编写过程中的三个剖析：教学内容剖析、学情剖析、教学过程剖析。结合具体的教学过程，阐释了如何从帮助学生理解知识、培养思维、提升自主学习能力这三个维度去设计和实施好教学案。

【关键词】初中数学 教学案 知识 思维 自主学习能力

一、明确教学案编写目的

经过反复学习、研讨，我校数学教师逐步明确了数学教学案编写的目的：（1）理解知识——深入探究数学知识发生、发展过程中的思想方法；（2）培养思维——两种推理，即归纳与演绎的融合；（3）提升自主学习能力——从如何教会学生到如何引导学生学会学习。在明确编写理念的基础上，逐步构建教学案的框架：学习准备（课前导学、情境创设）——探索讨论（探索讨论、尝试解决）——反思检测（小结反思、自我反馈、拓展提高）。下面以苏科版《数学》七年级下册“9.5多项式的因式分解”第二课时——平方差公式为例，谈谈使用该教学案进行课堂教学的情况。

二、剖析教学的起点

（一）教学内容分析

因式分解是中学数学的基础内容，它是分式约分计算、解方程及代数恒等变形等的基础。本课是在学生已掌握多项式乘法公式和因式分解的提公因式法的基础上，通过对乘法公式中的平方差公式的再认识，用平方差公式进行因式分解。因此，本课在知识上，要使学生理解并掌握运用平方差公式因式分解；在思想方法上，要培养学生的逆向思维、整体化思想。

（二）学情分析

知识基础：学生已学会运用平方差公式进行整式乘法、计算求值，会用提公因式法进行因式分解，初步理解整式乘法和因式分解的关系。

思维基础：学生习惯于顺向思考；对公式中字母表示的意义认识还不够深刻。

自主学习能力基础：初中阶段是学生自我监控学习各方面策略发展较快和提高较多的时期。因此，根据学生在自主学习方面的已有经验和学习内容，在教学过程中应重视渗透学习策略。

（三）学习目标设计

（1）利用平方差公式进行因式分解并进行简单应用。（2）经历通过整式乘法逆向变形得出因式分解公式的过程，发展学生的逆向思考和推理问题的能力；通过因式分解具体问题的解决，培养学生的整体化思想。（3）通过实际情境及问题的具体探索过程，激发学生的学习兴趣，学生通过反思小结等，逐步学会学习。

三、设计完整的教学过程

（一）情境创设

（出示图片）这是我们学校美丽的一角。我们希望在教学楼前修一座半径为3.5m的圆形花坛，花坛中央修一个半径为1.5m的圆形喷水池，四周呈圆环形进行绿化，使得校园更美丽。你能比较快地求出圆环绿化区的面积S吗？（结果保留π）

（设计意图：由实际问题情境激发学生的兴趣，培养学生用数学的意识。）

在“情境创设”板块，设置引发学生问题意识、探究欲望的问题情境，激发学生学习的内驱力，使他们产生好奇心和学习欲望，为探索讨论作准备。

（二）探索讨论

师：解决这个数学问题，我们不需要考虑绿化、水池等具体物体，画出圆环如图，你能表示圆环面积S吗？

生：S=π（3.52-1.52）。

师：下一步如何计算？

生：把公因数提出来。

师：怎样快速求3.52-1.52这两个数的平方差？这样做的根据是什么？

生：3.52-1.52=（3.5+1.5）（3.5-1.5）。根据平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）求得的。

师：（a+b）（a-b）=a2-b2。这是我们前面学过的平方差乘法公式，但今天是如何利用这公式的呢？

生：从右至左逆用平方差乘法公式。

师：如果数字3.5和1.5看成字母a、b，得到怎样的公式？

生：可得公式a2-b2=（a+b）（a-b）。

师：平方差乘法公式逆向用，将平方差形式（多项式）化为乘积形式的变形称为什么？

生：因式分解。

师：噢，原来只要将平方差的乘法公式逆向用，就得到平方差的因式分解公式。今天我们就来学习“多项式的因式分解——平方差公式”。前面我们已经学习了因式分解的哪种方法？

生：提公因式法。

师：今天这种利用平方差公式进行因式分解的方法，你们准备给它命名为什么方法？

生：运用公式法。

师：今天学习因式分解的第二种方法“运用公式法”，请把下列A组各多项式因式分解，并说说分别把什么看作了公式中的a、b？

A组：

（1）a2-16=a2-（ ）2=（a+ ）（a- ）

（2）64-b2=（ ）2-b2=（ +b）（ -b）

（3）a2-9b2=（ ）2-（ ）2=（ ）（ ）

师：利用平方差公式填空，使B组各式等号成立。

B组：

（1）（a+7）（a-7）=（ ）2

（2）（ ）（ ）=36-25b2

（3）9m2-n2=（ ）（ ）

（4）x2y2-z2=（ ）（ ）

B组的第（1）（2）两题从左到右是什么变形？第（3）（4）两题从左到右是什么变形？因式分解与整式乘法两种变形有什么关系？

生：整式乘法、因式分解、因式分解与整式乘法是互逆的变形。

师：（1）（2）与（3）（4）是互逆的变形，但都运用了平方差公式。所以我们要养成这样的习惯——对公式既要从左至右顺着用，也要从右至左逆着用，学会逆向思考问题。

仔细观察能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？分解得到的结果有何特征？你能用文字语言来表达公式吗？

生：左边是多项式——（1）二项式；（2）两项异号；（3）每一项都是平方式。右边是乘积式——两数和与这两数差的积。文字语言表达——两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。

（设计意图：“探索讨论”板块一般采用设置问题串的方式，在一系列相关问题引领下，导疑、导思、导学，引导学生逐步深入探究。问题串中，应注意认知的层次性、形式的多样性，除了知识性问题、推理性问题外，还应有质疑性问题、引导学生提出问题的问题等，由此培养学生的创新意识和批判性思维。）

上述教学过程中，教师首先将数学对象从实际问题情境中分离出来，只考虑空间形式与数量关系，有助于培养学生的数学抽象概括能力。然后通过提取公因数，用平方差公式简化计算，复习提公因式法；通过抽象度较低的具体数字运算，引出用平方差公式把两数的平方差化为乘积式。接下来，从两条路径引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培养逆向思维；二是从具体数字到一般字母表达，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力。再正面强化，逐步让学生体会其中的a、b可以从数字、单独字母到一般单项式。在知识上，深化认识整式乘法与因式分解之间的关系；在思维上，培养学生逆向思考的意识与习惯；在微观上，引导学生学会观察——对多项式而言，主要是项数、项的符号和次数。这样，由具体问题归纳得到一般情形，培养了学生的宏观思维。

（三）尝试解决

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多项式能用平方差公式因式分解吗？为什么？如果能，请因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

师：观察第（5）题的特征，它是二项式吗？如何解决这问题？

生：把x+y看作一个整体，把它看成公式中的a，就可以看成是二项式进行因式分解了。

师：请同学们再想想看，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是单项式（单独的数字、字母，一般单项式），也可以是多项式。

师：观察多项式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你会联想用什么方法因式分解？分别把什么看成公式中的a与b？

生：分别把5（a+b）和3（a-b）整体地看成公式中的a与b。

师：你能说说运用平方差公式因式分解的一般步骤吗？你认为还要注意什么问题？

生：（1）写成平方差的形式；（2）运用公式写成两数和与差的积的形式；（3）化简各因式。注意：各因式要分解到不能再分解为止。

师：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

师：在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积。

（设计意图：在“尝试解决”板块，要精选例子，让学生在问题的尝试解决过程中深化所学的新知，检验学习的效果，从中发现存在的问题，并作出补救。也就是说，让学生通过例子进一步深化理解相关的基础知识、基本方法。）

上述教学过程，教师先进一步让学生体会公式特征，体会其中可以是单项式（包括数、字母），也可以是多项式，培养学生的整体化思想。学会拓展，是学习能力的一个重要方面。然后引导学生先观察问题特征，再联想相关公式并进行比较，最后要检验。再巩固、深化运用平方差公式进行因式分解。笔者以为，就初中数学的知识学习而言，应达到基本概念理解深刻，基本技能熟练掌握。最后将问题引向实际应用。与“情境创设”相呼应：数学来自于实际问题，应用于实际问题解决，以此提升学生用数学的意识。

（四）小结反思

师：想一想，这节课你有什么收获？学到了哪些知识？运用了哪些方法？有何感悟？

（设计意图：在“小结反思”板块，重点设置培养学生元认知水平的问题。在问题引领下，让学生通过文字语言，反思自己学习中的得与失，调节自己的学习策略与方法。在问题引领下，引导学生反思自己学习中的得与失，从知识、思维方式等方面对所学进行整理、小结。养成反思习惯，是学习能力的重要标志。）

（五）拓展提高

师：因式分解：a4-81。观察多项式的特征，你会联想运用什么方法进行因式分解？题目中出现了4次方，如何解决？分别把什么看成公式中的a和b？

（设计意图：紧扣所学知识与方法，根据学生情况，适当增加问题探究的深度与难度。本题的难点在于将a4看成（a2）2（比将4y2看成（2y）2难度大），两次运用平方差公式把各因式分解到不能再分解为止。）

（六）自我反馈

“反思检测”板块包含小结反思、自我反馈、拓展提高三个栏目，分别从文本（陈述性知识）、基础操练（程序性知识）、拓展提高（延伸性知识）对所学的知识、方法进行反思检测，由此培养学生的反思习惯、自我检测与评价能力，提升学生的元认知水平。

【参考文献】

汤炳兴，叶红.初中数学教学案编写的理念、框架与过程[J].数学通报，2012（2）.

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）

生：左边是多项式——（1）二项式；（2）两项异号；（3）每一项都是平方式。右边是乘积式——两数和与这两数差的积。文字语言表达——两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。

（设计意图：“探索讨论”板块一般采用设置问题串的方式，在一系列相关问题引领下，导疑、导思、导学，引导学生逐步深入探究。问题串中，应注意认知的层次性、形式的多样性，除了知识性问题、推理性问题外，还应有质疑性问题、引导学生提出问题的问题等，由此培养学生的创新意识和批判性思维。）

上述教学过程中，教师首先将数学对象从实际问题情境中分离出来，只考虑空间形式与数量关系，有助于培养学生的数学抽象概括能力。然后通过提取公因数，用平方差公式简化计算，复习提公因式法；通过抽象度较低的具体数字运算，引出用平方差公式把两数的平方差化为乘积式。接下来，从两条路径引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培养逆向思维；二是从具体数字到一般字母表达，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力。再正面强化，逐步让学生体会其中的a、b可以从数字、单独字母到一般单项式。在知识上，深化认识整式乘法与因式分解之间的关系；在思维上，培养学生逆向思考的意识与习惯；在微观上，引导学生学会观察——对多项式而言，主要是项数、项的符号和次数。这样，由具体问题归纳得到一般情形，培养了学生的宏观思维。

（三）尝试解决

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多项式能用平方差公式因式分解吗？为什么？如果能，请因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

师：观察第（5）题的特征，它是二项式吗？如何解决这问题？

生：把x+y看作一个整体，把它看成公式中的a，就可以看成是二项式进行因式分解了。

师：请同学们再想想看，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是单项式（单独的数字、字母，一般单项式），也可以是多项式。

师：观察多项式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你会联想用什么方法因式分解？分别把什么看成公式中的a与b？

生：分别把5（a+b）和3（a-b）整体地看成公式中的a与b。

师：你能说说运用平方差公式因式分解的一般步骤吗？你认为还要注意什么问题？

生：（1）写成平方差的形式；（2）运用公式写成两数和与差的积的形式；（3）化简各因式。注意：各因式要分解到不能再分解为止。

师：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

师：在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积。

（设计意图：在“尝试解决”板块，要精选例子，让学生在问题的尝试解决过程中深化所学的新知，检验学习的效果，从中发现存在的问题，并作出补救。也就是说，让学生通过例子进一步深化理解相关的基础知识、基本方法。）

上述教学过程，教师先进一步让学生体会公式特征，体会其中可以是单项式（包括数、字母），也可以是多项式，培养学生的整体化思想。学会拓展，是学习能力的一个重要方面。然后引导学生先观察问题特征，再联想相关公式并进行比较，最后要检验。再巩固、深化运用平方差公式进行因式分解。笔者以为，就初中数学的知识学习而言，应达到基本概念理解深刻，基本技能熟练掌握。最后将问题引向实际应用。与“情境创设”相呼应：数学来自于实际问题，应用于实际问题解决，以此提升学生用数学的意识。

（四）小结反思

师：想一想，这节课你有什么收获？学到了哪些知识？运用了哪些方法？有何感悟？

（设计意图：在“小结反思”板块，重点设置培养学生元认知水平的问题。在问题引领下，让学生通过文字语言，反思自己学习中的得与失，调节自己的学习策略与方法。在问题引领下，引导学生反思自己学习中的得与失，从知识、思维方式等方面对所学进行整理、小结。养成反思习惯，是学习能力的重要标志。）

（五）拓展提高

师：因式分解：a4-81。观察多项式的特征，你会联想运用什么方法进行因式分解？题目中出现了4次方，如何解决？分别把什么看成公式中的a和b？

（设计意图：紧扣所学知识与方法，根据学生情况，适当增加问题探究的深度与难度。本题的难点在于将a4看成（a2）2（比将4y2看成（2y）2难度大），两次运用平方差公式把各因式分解到不能再分解为止。）

（六）自我反馈

“反思检测”板块包含小结反思、自我反馈、拓展提高三个栏目，分别从文本（陈述性知识）、基础操练（程序性知识）、拓展提高（延伸性知识）对所学的知识、方法进行反思检测，由此培养学生的反思习惯、自我检测与评价能力，提升学生的元认知水平。

【参考文献】

汤炳兴，叶红.初中数学教学案编写的理念、框架与过程[J].数学通报，2012（2）.

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）

生：左边是多项式——（1）二项式；（2）两项异号；（3）每一项都是平方式。右边是乘积式——两数和与这两数差的积。文字语言表达——两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。

（设计意图：“探索讨论”板块一般采用设置问题串的方式，在一系列相关问题引领下，导疑、导思、导学，引导学生逐步深入探究。问题串中，应注意认知的层次性、形式的多样性，除了知识性问题、推理性问题外，还应有质疑性问题、引导学生提出问题的问题等，由此培养学生的创新意识和批判性思维。）

上述教学过程中，教师首先将数学对象从实际问题情境中分离出来，只考虑空间形式与数量关系，有助于培养学生的数学抽象概括能力。然后通过提取公因数，用平方差公式简化计算，复习提公因式法；通过抽象度较低的具体数字运算，引出用平方差公式把两数的平方差化为乘积式。接下来，从两条路径引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培养逆向思维；二是从具体数字到一般字母表达，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力。再正面强化，逐步让学生体会其中的a、b可以从数字、单独字母到一般单项式。在知识上，深化认识整式乘法与因式分解之间的关系；在思维上，培养学生逆向思考的意识与习惯；在微观上，引导学生学会观察——对多项式而言，主要是项数、项的符号和次数。这样，由具体问题归纳得到一般情形，培养了学生的宏观思维。

（三）尝试解决

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多项式能用平方差公式因式分解吗？为什么？如果能，请因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

师：观察第（5）题的特征，它是二项式吗？如何解决这问题？

生：把x+y看作一个整体，把它看成公式中的a，就可以看成是二项式进行因式分解了。

师：请同学们再想想看，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是单项式（单独的数字、字母，一般单项式），也可以是多项式。

师：观察多项式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你会联想用什么方法因式分解？分别把什么看成公式中的a与b？

生：分别把5（a+b）和3（a-b）整体地看成公式中的a与b。

师：你能说说运用平方差公式因式分解的一般步骤吗？你认为还要注意什么问题？

生：（1）写成平方差的形式；（2）运用公式写成两数和与差的积的形式；（3）化简各因式。注意：各因式要分解到不能再分解为止。

师：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

师：在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积。

（设计意图：在“尝试解决”板块，要精选例子，让学生在问题的尝试解决过程中深化所学的新知，检验学习的效果，从中发现存在的问题，并作出补救。也就是说，让学生通过例子进一步深化理解相关的基础知识、基本方法。）

上述教学过程，教师先进一步让学生体会公式特征，体会其中可以是单项式（包括数、字母），也可以是多项式，培养学生的整体化思想。学会拓展，是学习能力的一个重要方面。然后引导学生先观察问题特征，再联想相关公式并进行比较，最后要检验。再巩固、深化运用平方差公式进行因式分解。笔者以为，就初中数学的知识学习而言，应达到基本概念理解深刻，基本技能熟练掌握。最后将问题引向实际应用。与“情境创设”相呼应：数学来自于实际问题，应用于实际问题解决，以此提升学生用数学的意识。

（四）小结反思

师：想一想，这节课你有什么收获？学到了哪些知识？运用了哪些方法？有何感悟？

（设计意图：在“小结反思”板块，重点设置培养学生元认知水平的问题。在问题引领下，让学生通过文字语言，反思自己学习中的得与失，调节自己的学习策略与方法。在问题引领下，引导学生反思自己学习中的得与失，从知识、思维方式等方面对所学进行整理、小结。养成反思习惯，是学习能力的重要标志。）

（五）拓展提高

师：因式分解：a4-81。观察多项式的特征，你会联想运用什么方法进行因式分解？题目中出现了4次方，如何解决？分别把什么看成公式中的a和b？

（设计意图：紧扣所学知识与方法，根据学生情况，适当增加问题探究的深度与难度。本题的难点在于将a4看成（a2）2（比将4y2看成（2y）2难度大），两次运用平方差公式把各因式分解到不能再分解为止。）

（六）自我反馈

“反思检测”板块包含小结反思、自我反馈、拓展提高三个栏目，分别从文本（陈述性知识）、基础操练（程序性知识）、拓展提高（延伸性知识）对所学的知识、方法进行反思检测，由此培养学生的反思习惯、自我检测与评价能力，提升学生的元认知水平。

【参考文献】

汤炳兴，叶红.初中数学教学案编写的理念、框架与过程[J].数学通报，2012（2）.

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）