在概念学习过程中掌握数学方法

解克勤

【摘 要】概念的教学过程应该精心设计，重点放在概念的形成过程上，并通过应用使概念的感性基础得到充实。只有充分挖掘、拓展数学概念，才能将“死”知识变成“活”内容，从而激发学生兴趣，拓展学生思维，达到理想的教学效果。

【关键词】概念形成 了解方法 形成能力

一、对数学概念学习效果的反思

数学能力是建立在掌握的数学基本知识基础上的，因此，基础知识中概念的学习就显得更加重要。概念是数学内容的基本点，是导出定理、公式、法则的出发点，是建立数学理论系统的着眼点，是数学学习的核心。由于多年应试教育，我们在教学过程中，以填鸭式的教学模式为主，概念只作简单介绍，因此我们有必要对数学概念的学习重新认识、重新定位，还数学概念在数学学习中原本的地位。

二、数学概念有效学习的过程分析

学生学习数学概念的三种基本形式是：概念的形成、概念的同化、概念的形成与同化比较结合。

1.概念的形成。

在用概念形成的方式进行概念教学时，必须扎实地引导学生在概念形成过程中的每一个步骤，为学生揭示所涉及的数学思想、方法，建立新的概念，以培养学生的数学思想。

2.概念的同化。

在概念同化教学时，应该开动学生的智力，拓展概念的内涵与外延，给学生提供应用概念推理论证的机会，让学生利用自己已有的认知结构对概念进行重新建构。

3.概念的形成与同化比较结合。

在数学概念的实际学习过程中，概念的形成与概念的同化这两种方式往往是结合使用的。这既符合学生学习概念时由具体到抽象的认知规律，又能使学生在较短的时间内较快地理解概念所反映的事物的本质属性，掌握数学概念背后的丰富事实，提高学习概念的有效性。

三、例谈数学概念学习过程中对数学思想、方法的认识

数学概念学习的目的不是为了得到一个数学概念，了解一个知识点，而是充分挖掘和利用在概念产生的过程中蕴涵的许多数学条件与思想方法。这对掌握数学知识、形成数学能力、拓宽解题方法思路会有很大的帮助。

1.充分理解概念的限制条件，正确应用解题。

很多数学概念在定义的过程中都有一定的限制条件，而这些限制条件是解决数学问题首先要考虑的，否则容易扩大定义的范围，得出错误的结论。

如函数的定义域的问题：

（1）判断y=的奇偶性。

分析：先求函数定义域-1≤x<0或0

（2）求函数y=log（12x-27-x2）的单调增区间。

有学生将原式化为y=log[-（x-6）2+9]，然后得到函数的单调增区间为[6，+∞）。其实这是一个错误的答案。因为原函数中先讨论：12x-27-x2>0，解得函数的定义域为（3，9）。单调性讨论应在这个范围内进行，单调增区间应为[6，9）。

2.用概念产生过程中所隐含的“定义方法”解题。

有一些数学概念是一种方法性的定义，在解决定义的同时也提供了解决相关问题的一些方法，如能正确加以应用，问题便可迎刃而解。如：

（1）对立事件的定义反映了思考问题的正反二重性，即解决数学问题时常用的“正难则反”原则，例如：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ，则能够将此密码译出的概率为 。

分析：直接求法：至少一人译出即可，要分七种情况讨论，比较繁琐。

间接求法：由对立事件可知，密码译出事件A的对立事件是 （译不出密码）。

可求得：P（A）=··=，P（A）=1-P（A）=。

（2）单调函数概念的定义表述是：设函数f（x）的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数。

我们可根据定义总结出判断函数单调性的操作方法：

第一步：设给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，且不妨设x1

（3）圆的参数方程的定义中所显示的换元法。圆的参数方程不只是圆的一个表达式，它还提供给我们三角换元的解题方法，例如：已知x2+y2=4，求x+y，xy的取值范围。

分析：此题方法较多，但三角换元求解是比较简单的方法。

设x=2cosα，y=2sinα则x+y=2cosα+2sinα=2sin（α+），则x+y∈[-2，2]，xy=2cosα·2sinα=2sin2α，则xy∈[-2，2]。

3.利用概念定义中所隐含的数学思想方法解题。

数学概念定义的产生有其复杂的历史背景，其中不乏大量的数学思想方法，有些定义中的数学思想方法往往是解决数学问题的关键所在，如能灵活地进行运用，便能迅速地找到解决问题的入手点。如：

（1）二项式系数产生的证明过程，转化为组合求解，可用类比的方法解决下列问题。

如：求（2a-b+3c）2的展开式中a2b2c2的系数。

可将原式类似写成：（2a-b+3c）6=（2a-b+3c）……（2a-b+3c）的六式相乘，则a含项的产生是由六式中任意两式里取含a的项，剩下的四式中任意两式里取含b的项，最后两式里取含c的项，应用组合相关知识写出式子：（2a）（-b）（3c）2=1080a2b2c2，则a2b2c2的系数为1080。

（2）绝对值概念中所含的数形结合思想。

一个数（式）绝对值除了取非负值外，还有一定的几何意义，如：可看成非负数，也可看成数轴上刻度为x的点到刻度为a的点的距离，这正好与向量的模的几何特性相一致，用来解题比较快捷。如：

x+3+x-2≥a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。

x+3+x-2可看成数轴上刻度x的点到刻度为-3和2的两点的距离和，其最小值为5，若5≥a恒成立，则a的范围为a≤5。

全面而透彻地的对数学概念进行了解，是学生学好数学的基础，是学生走向数学殿堂的第一座桥梁。课本中的数学概念都蕴涵了丰富的数学思想、方法，只有充分挖掘、拓展数学概念，才能激发学生的学习兴趣，达到拓展学生思维的理想效果。

（作者单位：南京市建邺高级中学）

【摘 要】概念的教学过程应该精心设计，重点放在概念的形成过程上，并通过应用使概念的感性基础得到充实。只有充分挖掘、拓展数学概念，才能将“死”知识变成“活”内容，从而激发学生兴趣，拓展学生思维，达到理想的教学效果。

【关键词】概念形成 了解方法 形成能力

一、对数学概念学习效果的反思

数学能力是建立在掌握的数学基本知识基础上的，因此，基础知识中概念的学习就显得更加重要。概念是数学内容的基本点，是导出定理、公式、法则的出发点，是建立数学理论系统的着眼点，是数学学习的核心。由于多年应试教育，我们在教学过程中，以填鸭式的教学模式为主，概念只作简单介绍，因此我们有必要对数学概念的学习重新认识、重新定位，还数学概念在数学学习中原本的地位。

二、数学概念有效学习的过程分析

学生学习数学概念的三种基本形式是：概念的形成、概念的同化、概念的形成与同化比较结合。

1.概念的形成。

在用概念形成的方式进行概念教学时，必须扎实地引导学生在概念形成过程中的每一个步骤，为学生揭示所涉及的数学思想、方法，建立新的概念，以培养学生的数学思想。

2.概念的同化。

在概念同化教学时，应该开动学生的智力，拓展概念的内涵与外延，给学生提供应用概念推理论证的机会，让学生利用自己已有的认知结构对概念进行重新建构。

3.概念的形成与同化比较结合。

在数学概念的实际学习过程中，概念的形成与概念的同化这两种方式往往是结合使用的。这既符合学生学习概念时由具体到抽象的认知规律，又能使学生在较短的时间内较快地理解概念所反映的事物的本质属性，掌握数学概念背后的丰富事实，提高学习概念的有效性。

三、例谈数学概念学习过程中对数学思想、方法的认识

数学概念学习的目的不是为了得到一个数学概念，了解一个知识点，而是充分挖掘和利用在概念产生的过程中蕴涵的许多数学条件与思想方法。这对掌握数学知识、形成数学能力、拓宽解题方法思路会有很大的帮助。

1.充分理解概念的限制条件，正确应用解题。

很多数学概念在定义的过程中都有一定的限制条件，而这些限制条件是解决数学问题首先要考虑的，否则容易扩大定义的范围，得出错误的结论。

如函数的定义域的问题：

（1）判断y=的奇偶性。

分析：先求函数定义域-1≤x<0或0

（2）求函数y=log（12x-27-x2）的单调增区间。

有学生将原式化为y=log[-（x-6）2+9]，然后得到函数的单调增区间为[6，+∞）。其实这是一个错误的答案。因为原函数中先讨论：12x-27-x2>0，解得函数的定义域为（3，9）。单调性讨论应在这个范围内进行，单调增区间应为[6，9）。

2.用概念产生过程中所隐含的“定义方法”解题。

有一些数学概念是一种方法性的定义，在解决定义的同时也提供了解决相关问题的一些方法，如能正确加以应用，问题便可迎刃而解。如：

（1）对立事件的定义反映了思考问题的正反二重性，即解决数学问题时常用的“正难则反”原则，例如：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ，则能够将此密码译出的概率为 。

分析：直接求法：至少一人译出即可，要分七种情况讨论，比较繁琐。

间接求法：由对立事件可知，密码译出事件A的对立事件是 （译不出密码）。

可求得：P（A）=··=，P（A）=1-P（A）=。

（2）单调函数概念的定义表述是：设函数f（x）的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数。

我们可根据定义总结出判断函数单调性的操作方法：

第一步：设给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，且不妨设x1

（3）圆的参数方程的定义中所显示的换元法。圆的参数方程不只是圆的一个表达式，它还提供给我们三角换元的解题方法，例如：已知x2+y2=4，求x+y，xy的取值范围。

分析：此题方法较多，但三角换元求解是比较简单的方法。

设x=2cosα，y=2sinα则x+y=2cosα+2sinα=2sin（α+），则x+y∈[-2，2]，xy=2cosα·2sinα=2sin2α，则xy∈[-2，2]。

3.利用概念定义中所隐含的数学思想方法解题。

数学概念定义的产生有其复杂的历史背景，其中不乏大量的数学思想方法，有些定义中的数学思想方法往往是解决数学问题的关键所在，如能灵活地进行运用，便能迅速地找到解决问题的入手点。如：

（1）二项式系数产生的证明过程，转化为组合求解，可用类比的方法解决下列问题。

如：求（2a-b+3c）2的展开式中a2b2c2的系数。

可将原式类似写成：（2a-b+3c）6=（2a-b+3c）……（2a-b+3c）的六式相乘，则a含项的产生是由六式中任意两式里取含a的项，剩下的四式中任意两式里取含b的项，最后两式里取含c的项，应用组合相关知识写出式子：（2a）（-b）（3c）2=1080a2b2c2，则a2b2c2的系数为1080。

（2）绝对值概念中所含的数形结合思想。

一个数（式）绝对值除了取非负值外，还有一定的几何意义，如：可看成非负数，也可看成数轴上刻度为x的点到刻度为a的点的距离，这正好与向量的模的几何特性相一致，用来解题比较快捷。如：

x+3+x-2≥a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。

x+3+x-2可看成数轴上刻度x的点到刻度为-3和2的两点的距离和，其最小值为5，若5≥a恒成立，则a的范围为a≤5。

全面而透彻地的对数学概念进行了解，是学生学好数学的基础，是学生走向数学殿堂的第一座桥梁。课本中的数学概念都蕴涵了丰富的数学思想、方法，只有充分挖掘、拓展数学概念，才能激发学生的学习兴趣，达到拓展学生思维的理想效果。

（作者单位：南京市建邺高级中学）

【摘 要】概念的教学过程应该精心设计，重点放在概念的形成过程上，并通过应用使概念的感性基础得到充实。只有充分挖掘、拓展数学概念，才能将“死”知识变成“活”内容，从而激发学生兴趣，拓展学生思维，达到理想的教学效果。

【关键词】概念形成 了解方法 形成能力

一、对数学概念学习效果的反思

数学能力是建立在掌握的数学基本知识基础上的，因此，基础知识中概念的学习就显得更加重要。概念是数学内容的基本点，是导出定理、公式、法则的出发点，是建立数学理论系统的着眼点，是数学学习的核心。由于多年应试教育，我们在教学过程中，以填鸭式的教学模式为主，概念只作简单介绍，因此我们有必要对数学概念的学习重新认识、重新定位，还数学概念在数学学习中原本的地位。

二、数学概念有效学习的过程分析

学生学习数学概念的三种基本形式是：概念的形成、概念的同化、概念的形成与同化比较结合。

1.概念的形成。

在用概念形成的方式进行概念教学时，必须扎实地引导学生在概念形成过程中的每一个步骤，为学生揭示所涉及的数学思想、方法，建立新的概念，以培养学生的数学思想。

2.概念的同化。

在概念同化教学时，应该开动学生的智力，拓展概念的内涵与外延，给学生提供应用概念推理论证的机会，让学生利用自己已有的认知结构对概念进行重新建构。

3.概念的形成与同化比较结合。

在数学概念的实际学习过程中，概念的形成与概念的同化这两种方式往往是结合使用的。这既符合学生学习概念时由具体到抽象的认知规律，又能使学生在较短的时间内较快地理解概念所反映的事物的本质属性，掌握数学概念背后的丰富事实，提高学习概念的有效性。

三、例谈数学概念学习过程中对数学思想、方法的认识

数学概念学习的目的不是为了得到一个数学概念，了解一个知识点，而是充分挖掘和利用在概念产生的过程中蕴涵的许多数学条件与思想方法。这对掌握数学知识、形成数学能力、拓宽解题方法思路会有很大的帮助。

1.充分理解概念的限制条件，正确应用解题。

很多数学概念在定义的过程中都有一定的限制条件，而这些限制条件是解决数学问题首先要考虑的，否则容易扩大定义的范围，得出错误的结论。

如函数的定义域的问题：

（1）判断y=的奇偶性。

分析：先求函数定义域-1≤x<0或0

（2）求函数y=log（12x-27-x2）的单调增区间。

有学生将原式化为y=log[-（x-6）2+9]，然后得到函数的单调增区间为[6，+∞）。其实这是一个错误的答案。因为原函数中先讨论：12x-27-x2>0，解得函数的定义域为（3，9）。单调性讨论应在这个范围内进行，单调增区间应为[6，9）。

2.用概念产生过程中所隐含的“定义方法”解题。

有一些数学概念是一种方法性的定义，在解决定义的同时也提供了解决相关问题的一些方法，如能正确加以应用，问题便可迎刃而解。如：

（1）对立事件的定义反映了思考问题的正反二重性，即解决数学问题时常用的“正难则反”原则，例如：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ，则能够将此密码译出的概率为 。

分析：直接求法：至少一人译出即可，要分七种情况讨论，比较繁琐。

间接求法：由对立事件可知，密码译出事件A的对立事件是 （译不出密码）。

可求得：P（A）=··=，P（A）=1-P（A）=。

（2）单调函数概念的定义表述是：设函数f（x）的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数。

我们可根据定义总结出判断函数单调性的操作方法：

第一步：设给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，且不妨设x1

（3）圆的参数方程的定义中所显示的换元法。圆的参数方程不只是圆的一个表达式，它还提供给我们三角换元的解题方法，例如：已知x2+y2=4，求x+y，xy的取值范围。

分析：此题方法较多，但三角换元求解是比较简单的方法。

设x=2cosα，y=2sinα则x+y=2cosα+2sinα=2sin（α+），则x+y∈[-2，2]，xy=2cosα·2sinα=2sin2α，则xy∈[-2，2]。

3.利用概念定义中所隐含的数学思想方法解题。

数学概念定义的产生有其复杂的历史背景，其中不乏大量的数学思想方法，有些定义中的数学思想方法往往是解决数学问题的关键所在，如能灵活地进行运用，便能迅速地找到解决问题的入手点。如：

（1）二项式系数产生的证明过程，转化为组合求解，可用类比的方法解决下列问题。

如：求（2a-b+3c）2的展开式中a2b2c2的系数。

可将原式类似写成：（2a-b+3c）6=（2a-b+3c）……（2a-b+3c）的六式相乘，则a含项的产生是由六式中任意两式里取含a的项，剩下的四式中任意两式里取含b的项，最后两式里取含c的项，应用组合相关知识写出式子：（2a）（-b）（3c）2=1080a2b2c2，则a2b2c2的系数为1080。

（2）绝对值概念中所含的数形结合思想。

一个数（式）绝对值除了取非负值外，还有一定的几何意义，如：可看成非负数，也可看成数轴上刻度为x的点到刻度为a的点的距离，这正好与向量的模的几何特性相一致，用来解题比较快捷。如：

x+3+x-2≥a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。

x+3+x-2可看成数轴上刻度x的点到刻度为-3和2的两点的距离和，其最小值为5，若5≥a恒成立，则a的范围为a≤5。

全面而透彻地的对数学概念进行了解，是学生学好数学的基础，是学生走向数学殿堂的第一座桥梁。课本中的数学概念都蕴涵了丰富的数学思想、方法，只有充分挖掘、拓展数学概念，才能激发学生的学习兴趣，达到拓展学生思维的理想效果。

（作者单位：南京市建邺高级中学）