探究点的运动路径问题的教学与思考

丁卫东

在近几年各地中考中，出现了一些关于点的运动路径的问题，而在现在的初中教材中，没有明确轨迹的知识，所以学生往往只从操作等直观的方面去思考，或者画出几个特殊位置时的图形，来判断点运动可能形成的路径，但这种方法只能用于解决填空或选择和只需直接写出答案的问题，而不能说明道理.本文从如何运用现有数学知识来判断、说明和计算点的运动路径的角度提出自己在教学过程中的一些方法.

一、用几何知识探索点的运动路径

1.用平行线的性质“平行线间的距离处处相等”探索点的运动路径

【例1】

如图1，△ABC的边长分别6、8、10，一个以P为圆心且半径为1的圆在其内部滚动，且总是与△ABC的边相切，当P第一次回到它原来的位置时，P走过的路程是多少？

分析：圆在运动过程中圆心到三角形各边的距离不变，所以点P的运动路径就是在三角形内部、平行于三条边并且到三边的距离等于半径1的三条直线围成的三角形，三角形的周长就是P走过的路程.

2.用圆的定义“到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆”探索点的运动路径

【例2】

如图2，一根木棒AB长为2，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾角为60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′=-3-2，则中点P随之运动的路线有多长？

分析：抓住点P在运动过程中的特点，发现由于运动中木棒长度不变，所以P到O的距离也不变（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.所以点P的运动路径是以点O为圆心，以1为半径的圆.

3.用中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”探索点的运动路径

【例3】

如图3，已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，求点G移动路径的长.

分析：在运动过程中的CD长度不变，G为EF中点和△AEP和△PFB为等边三角形这些条件也不变，发现△ABQ是一个不变的等边三角形，而G始终是PQ中点，从而想到用三角形中位线定理找到G的运动路径.

4.用圆周角性质“直径所对的圆周角是直角”探索点的运动路径

【例4】如图4，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P（0，m）是线段OC上一个动点（点C除外）.设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点E作直线ME的垂线，垂足为H.当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动.求点H所经过的路径长.

分析：在点H随点P的运动过程中，∠OHM始终等于90°，与定点OM构成直角三角形.所以根据“直径所对的圆周角是直角”反过来，可以看出点H在以OM为直径的圆弧上运动.

二、用函数知识探索点的运动路径

【例5】

如图5，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=8，OC=4.点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA.

（1）用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.

分析：1.由（1）可知D的坐标为（2+2t，t），其中纵坐标与横坐标都含有变量t，且纵坐标与横坐标的关系为y=12x-1，是一次函数，可知顶点在直线y=12x-1上运动；2.由0≤t≤4，得出顶点的运动路径是以（2，0）和（10，4）为端点的一条线段，应用勾股定理，就可以求出这条线段的长度.

（责任编辑黄桂坚）endprint

在近几年各地中考中，出现了一些关于点的运动路径的问题，而在现在的初中教材中，没有明确轨迹的知识，所以学生往往只从操作等直观的方面去思考，或者画出几个特殊位置时的图形，来判断点运动可能形成的路径，但这种方法只能用于解决填空或选择和只需直接写出答案的问题，而不能说明道理.本文从如何运用现有数学知识来判断、说明和计算点的运动路径的角度提出自己在教学过程中的一些方法.

一、用几何知识探索点的运动路径

1.用平行线的性质“平行线间的距离处处相等”探索点的运动路径

【例1】

如图1，△ABC的边长分别6、8、10，一个以P为圆心且半径为1的圆在其内部滚动，且总是与△ABC的边相切，当P第一次回到它原来的位置时，P走过的路程是多少？

分析：圆在运动过程中圆心到三角形各边的距离不变，所以点P的运动路径就是在三角形内部、平行于三条边并且到三边的距离等于半径1的三条直线围成的三角形，三角形的周长就是P走过的路程.

2.用圆的定义“到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆”探索点的运动路径

【例2】

如图2，一根木棒AB长为2，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾角为60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′=-3-2，则中点P随之运动的路线有多长？

分析：抓住点P在运动过程中的特点，发现由于运动中木棒长度不变，所以P到O的距离也不变（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.所以点P的运动路径是以点O为圆心，以1为半径的圆.

3.用中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”探索点的运动路径

【例3】

如图3，已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，求点G移动路径的长.

分析：在运动过程中的CD长度不变，G为EF中点和△AEP和△PFB为等边三角形这些条件也不变，发现△ABQ是一个不变的等边三角形，而G始终是PQ中点，从而想到用三角形中位线定理找到G的运动路径.

4.用圆周角性质“直径所对的圆周角是直角”探索点的运动路径

【例4】如图4，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P（0，m）是线段OC上一个动点（点C除外）.设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点E作直线ME的垂线，垂足为H.当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动.求点H所经过的路径长.

分析：在点H随点P的运动过程中，∠OHM始终等于90°，与定点OM构成直角三角形.所以根据“直径所对的圆周角是直角”反过来，可以看出点H在以OM为直径的圆弧上运动.

二、用函数知识探索点的运动路径

【例5】

如图5，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=8，OC=4.点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA.

（1）用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.

分析：1.由（1）可知D的坐标为（2+2t，t），其中纵坐标与横坐标都含有变量t，且纵坐标与横坐标的关系为y=12x-1，是一次函数，可知顶点在直线y=12x-1上运动；2.由0≤t≤4，得出顶点的运动路径是以（2，0）和（10，4）为端点的一条线段，应用勾股定理，就可以求出这条线段的长度.

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在近几年各地中考中，出现了一些关于点的运动路径的问题，而在现在的初中教材中，没有明确轨迹的知识，所以学生往往只从操作等直观的方面去思考，或者画出几个特殊位置时的图形，来判断点运动可能形成的路径，但这种方法只能用于解决填空或选择和只需直接写出答案的问题，而不能说明道理.本文从如何运用现有数学知识来判断、说明和计算点的运动路径的角度提出自己在教学过程中的一些方法.

一、用几何知识探索点的运动路径

1.用平行线的性质“平行线间的距离处处相等”探索点的运动路径

【例1】

如图1，△ABC的边长分别6、8、10，一个以P为圆心且半径为1的圆在其内部滚动，且总是与△ABC的边相切，当P第一次回到它原来的位置时，P走过的路程是多少？

分析：圆在运动过程中圆心到三角形各边的距离不变，所以点P的运动路径就是在三角形内部、平行于三条边并且到三边的距离等于半径1的三条直线围成的三角形，三角形的周长就是P走过的路程.

2.用圆的定义“到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆”探索点的运动路径

【例2】

如图2，一根木棒AB长为2，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾角为60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，木棒的中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′=-3-2，则中点P随之运动的路线有多长？

分析：抓住点P在运动过程中的特点，发现由于运动中木棒长度不变，所以P到O的距离也不变（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.所以点P的运动路径是以点O为圆心，以1为半径的圆.

3.用中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”探索点的运动路径

【例3】

如图3，已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，求点G移动路径的长.

分析：在运动过程中的CD长度不变，G为EF中点和△AEP和△PFB为等边三角形这些条件也不变，发现△ABQ是一个不变的等边三角形，而G始终是PQ中点，从而想到用三角形中位线定理找到G的运动路径.

4.用圆周角性质“直径所对的圆周角是直角”探索点的运动路径

【例4】如图4，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P（0，m）是线段OC上一个动点（点C除外）.设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点E作直线ME的垂线，垂足为H.当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动.求点H所经过的路径长.

分析：在点H随点P的运动过程中，∠OHM始终等于90°，与定点OM构成直角三角形.所以根据“直径所对的圆周角是直角”反过来，可以看出点H在以OM为直径的圆弧上运动.

二、用函数知识探索点的运动路径

【例5】

如图5，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=8，OC=4.点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA.

（1）用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.

分析：1.由（1）可知D的坐标为（2+2t，t），其中纵坐标与横坐标都含有变量t，且纵坐标与横坐标的关系为y=12x-1，是一次函数，可知顶点在直线y=12x-1上运动；2.由0≤t≤4，得出顶点的运动路径是以（2，0）和（10，4）为端点的一条线段，应用勾股定理，就可以求出这条线段的长度.

（责任编辑黄桂坚）endprint