高中数学解题方法谈（上）
2014-10-10俞新龙
俞新龙
一、纠正数学解题中的三种认识错误
1. 数学是理科学科，不需要文科学科的背、记.
老话“学好数、理、化，走遍天下都不怕”，无疑是对数学作为理科性质的一种诠注，并且很大程度上也掩盖了文科属性.数学解题只有在背、记并理解数学概念、公理、定理、公式、法则、性质等基础知识才能有效开展，否则就是没有根基的“空中楼阁”“巧妇难为无米之炊”. 例如高考中三角问题和导数的应用问题一般是必考的，这两类题型常常被非常重视，做的题也不少，但实际的效果却不佳，为什么？许多同学常把原因定为是自己笨，其实不是这样的.如果分析一下解题过程，我们看到解题思路都是清晰、正确的，错误往往出现在解题的前面部分，即三角关系式化简出错与导数求错，这不就是一个基础知识没有掌握好的问题吗？本该熟记并能灵活运用的三角公式、求导公式和法则没有记清、记好；另一方面，数学解题中需要记忆的还有很多，例如一些解题中易错的、易混的情形，需要分类讨论的题型及操作规程，一些题型的模式化解题等.解题第一步：审题，需要有一定的文字理解能力；数学虽不像语文一样，经常需要咬文嚼字，但有时也必须逐字逐句的理解意思，否则就会出现是似而非的情况，例如 “没有公共点”与“不被挡住”是不同的意思，又如“在点”与“过点”的切线也是不同的，等等；我们做过的题何止成千上万，但绝大多数都是重复的，因为缺少对“不同题目”间的“相同之处”的理解：两个看似不同的问题实际上是完全一样的，例如我们初中做过的题“已知 x-y= ， x2+y2=1，求x2-y2的值”与高中三角函数中的题“已知sinx-cosx=，求sin2x-cos2x的值”.
2. 多做课外辅导书上的题，少做甚至不做课本上的例题、习题.
绝大多数同学都喜欢看参考书、做参考书上的题目，而不喜欢看课本、做课本上的例、习题，其实这是一种很严重的认识错误！同学们认为高考复习书上的问题是特高级教师、有的是高考命题专家命制的，肯定具有权威性和贴近高考真题性，其实不然！没有一本参考书能跳出课本这个纲，否则这本参考书就是超纲，是严重偏离高考方向的.而且高考命题时一定不会出复习资料上的题，否则就违反了公平公正的考试原则.“竟信参考书不如无书.”课本是数学知识和数学思想方法的载体，是课堂教学的依据，其中的例、习题是经过教材编写者再三酝酿、商讨、精挑细选决定的，具有针对性、典型性、示范性，因此，高考命题非常注重课本在命题中的作用，是高考试题的源头活水.通过对高考数学试题命题的研究可以发现，每年均有一定量的试题是以课本习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制的.以课本中例题、习题的变化为题源、以教材中概念、定理、公式等的类比、推广为题源、以教材中研究性学习课题为题源是常见的三种命题方式.现在的复习只注重回归课本基础知识的重现，对课本的例、习题仍是不够重视，甚至不屑一顾.我们知道，数学高考，不可或缺的当然是一些重要结论和基本方法.有一些结论被命名为性质、定理或公式，有些结论只是一道例题或习题，比如，“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”，又比如，“与两个定点距离的比为的点的轨迹”，这些结论本身或者推广常常被某一情境隐藏着，成为别出心裁的高考题.只有熟悉课本（例习题），才能快速识别它的原型，从而简缩思维过程.
3. 总喜欢简单的解题方法，忽视基本解法.
数学问题是数学的心脏，因此，解题能力就成为同学们学好数学的一个重要因素，在解题实践中，我们经常发现许多同学总希望能找到问题解决的快速方法、简便方法或者巧妙方法，对于按部就班的常规方法、基本方法不太有兴趣，这是一种非常不好的解题状态！实际上，基本方法是一种解决问题的通法，具有普遍性，而简单解法有局限性，实用的范围一般都比较特殊和窄小，一味追求简单解法，必然缺乏对基本思想方法的挖掘和相应的训练，产生的严重后果是，同学们能听得懂，但课后自己仍旧不会解题.这种方法在表象上看是适合的，但实质上并不是同学们能真正接受与理解的，问题解决的基本方法、通性通法等适合认知规律的方法才是同学们应该重点掌握的方法.例如问题“若cos？琢+2sin？琢=-，则tan？琢=（ ） A. B. - C. 2 D. -2”的一种非常“巧妙”的方法：求导法，（cos？琢+2sin？琢）′=（-）′，-sin？琢+2cos？琢=0，tan？琢=2.其实，这是一种巧合！因为当cos？琢+2sin？琢不等于-时也可求得tan？琢=2，这与事实不符！该方法十分简捷，同学们能听懂，但时间一长，该类问题仍旧不会解答，因为还是没有掌握解决问题的基本方法.因此，本题应该掌握的解法应该是：与同角平方关系组合求解，即由cos？琢+2sin？琢=-，cos2？琢+sin2？琢=1，得sin？琢=-，cos？琢=-，所以tan？琢=2；或两边平方后化弦为切求解，即（cos？琢+2sin？琢）2=5，=5，=5，得tan？琢=2.这样，不管题目如何变化，都容易求解了.又如问题：“ 已知函数f（x）=Acos（wx+？渍）的图像如图1所示，f（）=-，则f（0）=（ ） A. - B. - C. D. ”的一种“巧解”：由图像知，f（x）周期为2（-）=，对称中心为（+k·，0）（k∈Z），则（-，0）是对称中心，所以f（）=f（-）=f（-）=-f（0）=-，得f（0）=.该解法通过观察图像，从周期性及对称性上入手，达到了巧妙、简单解题.这样的解法有多少同学能真正学会用呢？如果改成其他的求值如f（）还可行吗？所以，简单解法虽能听懂，但不一定能真正理解，更多的可能仅停留在“欣赏”层面，因此，还是应以掌握具有普适性的基本方法为主，这样同学们才会较好的学会解题、领悟解题，从而达到举一反三、融会贯通.例如，该题实际上是三角函数中“由图像求解析式”问题，因此，解决的基本方法，还是通过图像逐步求出w、A、？渍的值，由解析式来求函数值.由图像知，f（x）周期为2（-）=，从而知w=3，又f（）=Acos（+？渍）=0，故+？渍=2k？仔-，？渍=2k？仔-，k∈Z，从而知f（x）=Acos（3x+2k？仔-）=Acos（3x-），由f（）=Acos（-）=-A=-得A=，所以f（x）=cos（3x-），故f（0）=cos（-）=.endprint
二、从具体解题实例中感悟解题方法
1. 正视主、客观题的解题差异.
数学一般分主观题和客观题，主观题需要有必要的反映推理的解题过程，客观题只需结果.因此，客观题题型解题时可以用代入验证法、特殊法、排除法等方法.
例1. 已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x>0时，f（x）=x2-x+a，若函数g（x）=f（x）-x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是（ ）
A. a<0 B. a≤0 C. a≤1 D. a≤0或a=1
解析：同学们仔细观察选择子可以发现，本题可以取特殊的a值进行检验.取a=0，则易知g（x）=x2-2x在x>0有一个零点2，由奇函数性质知另有一个零点为-2，满足题意，排除A；取a=1，则易知g（x）=x2-2x+1在x>0有一个零点1，由奇函数性质知另有一个零点-1，满足题意，排除B；C、D的差异在于0
例如问题“函数f（x）=x2-x+，x∈[0，1]，x∈N，的值域中恰有一个整数，则n的值为（ ） A.0或1 B.0或2 C.0或1或3或4 D.0或1或2或3”就可以采用同样的解决方法得答案为C，请同学们自己操练一下.
例2. 设函数y=f（x）的定义域为{x│x>0}，且f（xy）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（）________.
解析：这是一个解数解析式未知的抽象函数问题，因为是求值，所以用符合已知条件的特殊函数来代替肯定也是成立的，对于本题，同学们肯定能想到对数函数f（x）=logax，由loga8=3得a=2，故f（）=log2=.例如问题“已知定义域为R的函数满足，f（a+b）=f（a）·f（b）（a，b∈R），且f（x）>0，若f（1）=，则f（-2）______.”就可以采用同样的解决方法得答案为4，请同学们自己操练一下.
从就题解题角度讲，问题都得到了圆满解决.那么问题成为解答题的话，上述做法就行不通了，怎么办？所以，同学们还应该从主观题的角度来寻求问题解决的方法.
[对于例1]解法1：因为函数f（x）是奇函数，所以函数g（x）=f（x）-x的零点恰有两个等价于g（x）=x2-2x+a在x∈（0，+∞）恰有一个零点，因为对称轴为x=1，所以△=4-4a=0或△>0，a≤0，得a≤0或a=1.
注意到函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点（见人教版必修1教材），所以还可以考虑以下一些方解题法.
解法2：g（x）=x2-2x+a在x∈（0，+∞）恰有一个零点等价于x2-2x+a=0在x∈（0，+∞）恰有一个根，所以△=4-4a≥0，且1+=1->0或1+>0，1-≤0，解得a≤0或a=1.
解法3：函数g（x）=f（x）-x在x∈（0，+∞）恰有一个零点等价于函数y=x2-x+a图像与函数y=x图像在x∈（0，+∞）恰有一个交点，考虑这个问题比较麻烦，同学们可以用转化思想将问题变为“y=-x2+2x图像与函数y=a图像在x∈（0，+∞）恰有一个交点”，作出图像易得a≤0或a=1.
[对于例2]解法：因为f（2）=f（×）=f（）+f（）=2f（），同理f（4）=2f（2）=4f（2），所以f（8）=f（4）+f（2）=6f（）=3，故f（）=.
2. 从问题“题眼”寻找解决方法.
在解题中经常看到同学们对所谓的“难题”无法下笔解答，实在感到非常可惜！其实这些题并不难，而且还是常规的，真正的难点在于同学们不能“准确”寻找到问题的“题眼”，即解题的入口.那么，如何来撩掉入口的“遮盖物”呢？
例3. 已知1-x+x2-x3+…-x9+x10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a2= .
解析：同学们应该可以确定本题是二项式定理类问题，而且类似问题：“若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a5（x+1）5，其中a0，a1，a2，…，a5，为实数，则a3= .”肯定也做的不少了，虽然问题在继承基础上有了升级，但解决的方法应该还是差不多的.
解法1：如果将问题改成求a9，则同学们基本上都能求，用倒推法，即先求出a10，然后再求出a9，实际上肯定也会有许多同学用这个思路来求，即依次求a10，a9，a8，...，直至求出a2，但因为计算量巨大，不得不半途放弃，这就需要同学们有过硬的计算能力和坚韧的意志力.
根据x10的系数得a10=1；根据x9的系数得a9+C910=-1，a9=-11；根据x8的系数得a8-11C89+C810=1，a8=55；根据x7的系数得a7+55C78-11C79+C710=-1，a7=-165；根据x6的系数得a6-165C67+55C68-11C69+C610=1，a6=330；根据x5的系数得a5+330C56-165C57+55C58-11C59+C510=-1，a5=-562；根据x4的系数得a4-562C45+330C46-165C47+55C48-11C49+C410=1，a4=962；根据x3的系数得a3+962C34-562C35+330C36-165C37+55C38-11C39+C310=-1，a3=-1330；根据x2的系数得a2-1330C23+962C24-562C25+330C26-165C27+55C28-11C29+C210=1，a2=165.
对于考试来讲，解法1所用时间与得分比较不划算，当然，如果考试有充裕的时间也不失为一种解题方法.
解法2：因为认定本题是二项式问题，所以会把右边看成是展开式，并且从展开式结构特征可以看出是以1和（x+1）展开的，由此可以得到以下两种思路：
思路1：将左边的每一项x都等价化为（x+1）-1，即原式左边=1-[（x+1）-1]+[（x+1）-1]2-[（x+1）-1]3+…-[（x+1）-1]9+[（x+1）-1]10，从而a2=C22（-1）0-C23（-1）1+…-C29（-1）7+C210（-1）8=C22+C23+…+C29+C210，至此，我们可以分别算出C22，C23，…，C29，C210的值然后相加得a2=165，也可以利用组合数性质C mn+C mn-1=C mn+1和C mm=C nn化简得到，即a2=C22+C23+…+C29+C210=C33+C23…+C29+C210=C34+C24+…+C29+C210=…=C310+C210=C311=165.
思路2：不难发现左边1-x+x2-x3+…-x9+x10可以看成是以-x为公比的等比数列和，求和得，故1+x11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11，与思路1一样处理，由1+[（x+1）-1]11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11知，a2是[（x+1）-1]11展开式中（x+1）3前的系数，故a2=C311（-1）8=165.
解法3：我们知道，在原等式中取x=-1可以求出a0=11，那么我们能否用这种思想来求解呢？答案是肯定的，只要对原等式求2次导数就可以了.
对原等式求导数得-1+2x-3x2+4x2+…-9x8+10x9=a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，再对上面等式求导数得2-6x+12x2-20x3+30x4-42x5+56x6-72x7+90x8=2a2+6a3（x+1）+…+90a10（x+1）8，在上面式子中取x=-1，有2+6+12+20+30+42+56+72+90=2a2，得a2=165.
解法3具有一定的技巧性，比较难想到，并且在2次求导的过程中要将左边式子全部写出.
例4. 如果不等式>（a-1）x的解集为A，且A？哿{x│0 解析：本题题干精练，信息不多，但很容易对同学们解题造成很大的困难，这就需要同学们去挖掘题中蕴含的“题眼”，每一个“题眼”都是一种解决的方法. 解法1：因为A是不等式的解，所以，我们可以从解不等式入手.但首先必须保证不等式左边有意义，即必须4x-x2≥0，得0≤x≤4. ①当a-1<0，即a<1时，不等式对0≤x≤4恒成立， 所以不等式的解集为A={x│0≤x≤4}，不满足题意； ②当a-1=0，即a=1时，不等式对0 所以不等式的解集为A={x│0 ③当a-1>0，即a>1时，不等式可等价转化为0≤x≤4，4x-x2>（a-1）2x2， 则0 综上所述，a≥2. 评注：该解法应该是同学们最容易想到的方法，但在实际解题中常会因为对解的情况讨论的不完备而出错；最典型的错误是不加分类讨论就两边平方求解，从而得a≥2，或a≤0. 解法2：注意到不等式可以理解为函数y=的图像：以（2，0）为圆心，2为半径的x轴上方的半圆在x∈（0，2）上全部或部分在函数y=（a-1）x的图像的上方. 作出两函数图像如图2所示，直线l应绕原点逆时针旋转逐渐接近y轴正半轴（即l1型直线），故得斜率关系a-1≥1，即a≥2. 评注：该解法的思想来源于解方程的题型，这里进行了合理的类比迁移运用.但在解题时，同学们常会弄错旋转的方向，认为是顺时针旋转（即l2型直线），其实，这样的话原题中条件A？哿{x│0 解法3：如解法2评注后半部分，原问题实际上等价于不等式>（a-1）x在{x│0 评注：该解法的思维含量比较高，要求同学们有较强的问题分析能力和综合能力.但在分析清楚后，问题成为同学们熟悉的恒成立问题，便容易解决了. 例5. 设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，则（ ） A. 3f（ln2）>2f（ln3） B. 3f（ln2）>2f（ln3） C. 3f（ln2）<2f（ln3） D. 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定 解析：乍看本题题目，比较难找解题思路，但我们可以确定与导数有关.在一个式子中既有导数又有原函数，一般就会与积、商的导数法则有关联. 解法1：因为f′（x）>f（x）等价于f′（x）-f（x）>0， 故与求导法则中商的导数公式（）′=等可关联， 若构造函数h′（x）=[]′=>0， 只要考虑g′（x）=g（x）即可，在中学阶段这样的函数容易想到是g（x）=0或g（x）=ex， 故可以构造函数h（x）=，并且知h（x）是R上增函数， 从而h（ln2） 则3f（ln2）<2（ln3）. 解法2：我们也可以从选择子特征进行考虑. 3f（ln2）与2（ln3）的大小比较等价于与的大小比较， 从而可以考虑函数h（x）=的单调性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）==>0， 故h（x）=是增函数，由h（2） 解法3：既然该题没有具体解析式，那么可以通过特殊函数来解决. 例如取f（x）=-1，则f′（x）=0>f（x）， 而此时3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2， 所以3f（ln2）<2f（ln3）. 从以上三个例子的解答可以看出，一个问题往往可以从多角度寻求突破，真所谓“条条道路通罗马”，但同学们没有必要要求自己全部都掌握，应该理解、掌握好适合自己学情的解题方法. （作者单位：浙江省绍兴市柯桥区越崎中学） 责任编校 徐国坚
解法2：因为认定本题是二项式问题，所以会把右边看成是展开式，并且从展开式结构特征可以看出是以1和（x+1）展开的，由此可以得到以下两种思路：
思路1：将左边的每一项x都等价化为（x+1）-1，即原式左边=1-[（x+1）-1]+[（x+1）-1]2-[（x+1）-1]3+…-[（x+1）-1]9+[（x+1）-1]10，从而a2=C22（-1）0-C23（-1）1+…-C29（-1）7+C210（-1）8=C22+C23+…+C29+C210，至此，我们可以分别算出C22，C23，…，C29，C210的值然后相加得a2=165，也可以利用组合数性质C mn+C mn-1=C mn+1和C mm=C nn化简得到，即a2=C22+C23+…+C29+C210=C33+C23…+C29+C210=C34+C24+…+C29+C210=…=C310+C210=C311=165.
思路2：不难发现左边1-x+x2-x3+…-x9+x10可以看成是以-x为公比的等比数列和，求和得，故1+x11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11，与思路1一样处理，由1+[（x+1）-1]11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11知，a2是[（x+1）-1]11展开式中（x+1）3前的系数，故a2=C311（-1）8=165.
解法3：我们知道，在原等式中取x=-1可以求出a0=11，那么我们能否用这种思想来求解呢？答案是肯定的，只要对原等式求2次导数就可以了.
对原等式求导数得-1+2x-3x2+4x2+…-9x8+10x9=a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，再对上面等式求导数得2-6x+12x2-20x3+30x4-42x5+56x6-72x7+90x8=2a2+6a3（x+1）+…+90a10（x+1）8，在上面式子中取x=-1，有2+6+12+20+30+42+56+72+90=2a2，得a2=165.
解法3具有一定的技巧性，比较难想到，并且在2次求导的过程中要将左边式子全部写出.
例4. 如果不等式>（a-1）x的解集为A，且A？哿{x│0 解析：本题题干精练，信息不多，但很容易对同学们解题造成很大的困难，这就需要同学们去挖掘题中蕴含的“题眼”，每一个“题眼”都是一种解决的方法. 解法1：因为A是不等式的解，所以，我们可以从解不等式入手.但首先必须保证不等式左边有意义，即必须4x-x2≥0，得0≤x≤4. ①当a-1<0，即a<1时，不等式对0≤x≤4恒成立， 所以不等式的解集为A={x│0≤x≤4}，不满足题意； ②当a-1=0，即a=1时，不等式对0 所以不等式的解集为A={x│0 ③当a-1>0，即a>1时，不等式可等价转化为0≤x≤4，4x-x2>（a-1）2x2， 则0 综上所述，a≥2. 评注：该解法应该是同学们最容易想到的方法，但在实际解题中常会因为对解的情况讨论的不完备而出错；最典型的错误是不加分类讨论就两边平方求解，从而得a≥2，或a≤0. 解法2：注意到不等式可以理解为函数y=的图像：以（2，0）为圆心，2为半径的x轴上方的半圆在x∈（0，2）上全部或部分在函数y=（a-1）x的图像的上方. 作出两函数图像如图2所示，直线l应绕原点逆时针旋转逐渐接近y轴正半轴（即l1型直线），故得斜率关系a-1≥1，即a≥2. 评注：该解法的思想来源于解方程的题型，这里进行了合理的类比迁移运用.但在解题时，同学们常会弄错旋转的方向，认为是顺时针旋转（即l2型直线），其实，这样的话原题中条件A？哿{x│0 解法3：如解法2评注后半部分，原问题实际上等价于不等式>（a-1）x在{x│0 评注：该解法的思维含量比较高，要求同学们有较强的问题分析能力和综合能力.但在分析清楚后，问题成为同学们熟悉的恒成立问题，便容易解决了. 例5. 设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，则（ ） A. 3f（ln2）>2f（ln3） B. 3f（ln2）>2f（ln3） C. 3f（ln2）<2f（ln3） D. 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定 解析：乍看本题题目，比较难找解题思路，但我们可以确定与导数有关.在一个式子中既有导数又有原函数，一般就会与积、商的导数法则有关联. 解法1：因为f′（x）>f（x）等价于f′（x）-f（x）>0， 故与求导法则中商的导数公式（）′=等可关联， 若构造函数h′（x）=[]′=>0， 只要考虑g′（x）=g（x）即可，在中学阶段这样的函数容易想到是g（x）=0或g（x）=ex， 故可以构造函数h（x）=，并且知h（x）是R上增函数， 从而h（ln2） 则3f（ln2）<2（ln3）. 解法2：我们也可以从选择子特征进行考虑. 3f（ln2）与2（ln3）的大小比较等价于与的大小比较， 从而可以考虑函数h（x）=的单调性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）==>0， 故h（x）=是增函数，由h（2） 解法3：既然该题没有具体解析式，那么可以通过特殊函数来解决. 例如取f（x）=-1，则f′（x）=0>f（x）， 而此时3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2， 所以3f（ln2）<2f（ln3）. 从以上三个例子的解答可以看出，一个问题往往可以从多角度寻求突破，真所谓“条条道路通罗马”，但同学们没有必要要求自己全部都掌握，应该理解、掌握好适合自己学情的解题方法. （作者单位：浙江省绍兴市柯桥区越崎中学） 责任编校 徐国坚
解法2：因为认定本题是二项式问题，所以会把右边看成是展开式，并且从展开式结构特征可以看出是以1和（x+1）展开的，由此可以得到以下两种思路：
思路1：将左边的每一项x都等价化为（x+1）-1，即原式左边=1-[（x+1）-1]+[（x+1）-1]2-[（x+1）-1]3+…-[（x+1）-1]9+[（x+1）-1]10，从而a2=C22（-1）0-C23（-1）1+…-C29（-1）7+C210（-1）8=C22+C23+…+C29+C210，至此，我们可以分别算出C22，C23，…，C29，C210的值然后相加得a2=165，也可以利用组合数性质C mn+C mn-1=C mn+1和C mm=C nn化简得到，即a2=C22+C23+…+C29+C210=C33+C23…+C29+C210=C34+C24+…+C29+C210=…=C310+C210=C311=165.
思路2：不难发现左边1-x+x2-x3+…-x9+x10可以看成是以-x为公比的等比数列和，求和得，故1+x11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11，与思路1一样处理，由1+[（x+1）-1]11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11知，a2是[（x+1）-1]11展开式中（x+1）3前的系数，故a2=C311（-1）8=165.
解法3：我们知道，在原等式中取x=-1可以求出a0=11，那么我们能否用这种思想来求解呢？答案是肯定的，只要对原等式求2次导数就可以了.
对原等式求导数得-1+2x-3x2+4x2+…-9x8+10x9=a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，再对上面等式求导数得2-6x+12x2-20x3+30x4-42x5+56x6-72x7+90x8=2a2+6a3（x+1）+…+90a10（x+1）8，在上面式子中取x=-1，有2+6+12+20+30+42+56+72+90=2a2，得a2=165.
解法3具有一定的技巧性，比较难想到，并且在2次求导的过程中要将左边式子全部写出.
例4. 如果不等式>（a-1）x的解集为A，且A？哿{x│0 解析：本题题干精练，信息不多，但很容易对同学们解题造成很大的困难，这就需要同学们去挖掘题中蕴含的“题眼”，每一个“题眼”都是一种解决的方法. 解法1：因为A是不等式的解，所以，我们可以从解不等式入手.但首先必须保证不等式左边有意义，即必须4x-x2≥0，得0≤x≤4. ①当a-1<0，即a<1时，不等式对0≤x≤4恒成立， 所以不等式的解集为A={x│0≤x≤4}，不满足题意； ②当a-1=0，即a=1时，不等式对0 所以不等式的解集为A={x│0 ③当a-1>0，即a>1时，不等式可等价转化为0≤x≤4，4x-x2>（a-1）2x2， 则0 综上所述，a≥2. 评注：该解法应该是同学们最容易想到的方法，但在实际解题中常会因为对解的情况讨论的不完备而出错；最典型的错误是不加分类讨论就两边平方求解，从而得a≥2，或a≤0. 解法2：注意到不等式可以理解为函数y=的图像：以（2，0）为圆心，2为半径的x轴上方的半圆在x∈（0，2）上全部或部分在函数y=（a-1）x的图像的上方. 作出两函数图像如图2所示，直线l应绕原点逆时针旋转逐渐接近y轴正半轴（即l1型直线），故得斜率关系a-1≥1，即a≥2. 评注：该解法的思想来源于解方程的题型，这里进行了合理的类比迁移运用.但在解题时，同学们常会弄错旋转的方向，认为是顺时针旋转（即l2型直线），其实，这样的话原题中条件A？哿{x│0 解法3：如解法2评注后半部分，原问题实际上等价于不等式>（a-1）x在{x│0 评注：该解法的思维含量比较高，要求同学们有较强的问题分析能力和综合能力.但在分析清楚后，问题成为同学们熟悉的恒成立问题，便容易解决了. 例5. 设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，则（ ） A. 3f（ln2）>2f（ln3） B. 3f（ln2）>2f（ln3） C. 3f（ln2）<2f（ln3） D. 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定 解析：乍看本题题目，比较难找解题思路，但我们可以确定与导数有关.在一个式子中既有导数又有原函数，一般就会与积、商的导数法则有关联. 解法1：因为f′（x）>f（x）等价于f′（x）-f（x）>0， 故与求导法则中商的导数公式（）′=等可关联， 若构造函数h′（x）=[]′=>0， 只要考虑g′（x）=g（x）即可，在中学阶段这样的函数容易想到是g（x）=0或g（x）=ex， 故可以构造函数h（x）=，并且知h（x）是R上增函数， 从而h（ln2） 则3f（ln2）<2（ln3）. 解法2：我们也可以从选择子特征进行考虑. 3f（ln2）与2（ln3）的大小比较等价于与的大小比较， 从而可以考虑函数h（x）=的单调性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）==>0， 故h（x）=是增函数，由h（2） 解法3：既然该题没有具体解析式，那么可以通过特殊函数来解决. 例如取f（x）=-1，则f′（x）=0>f（x）， 而此时3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2， 所以3f（ln2）<2f（ln3）. 从以上三个例子的解答可以看出，一个问题往往可以从多角度寻求突破，真所谓“条条道路通罗马”，但同学们没有必要要求自己全部都掌握，应该理解、掌握好适合自己学情的解题方法. （作者单位：浙江省绍兴市柯桥区越崎中学） 责任编校 徐国坚
