数列求和综合问题解法例谈

高艳云

数列求和问题以综合性强、复杂多变、解法灵活等特征成为考查的重点内容.由于大多数数列求和问题都不是最基本的等差数列或等比数列，所以常考查的数列求和的方法有：错位相减法、倒序相加法，分组求和法和裂项相消法等.

一、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解.（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一”，这也是等比数列前和公式的推导方法之一.）

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即KSn；然后错一位，两式相减即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：两边同时乘以，得Sn=++…++，

两式相减得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等价于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

∴Sn=1+++…+-，

∴Sn=2++++…+-，

∴Sn=2+-，

∴Sn=2+1--，

∴Sn=3-.

二、倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和.（这也是等差数列前n项和公式的推导方法.）

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）.

例3：求证：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

证明：设Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右边倒转过来得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

将①式右边反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

∴S=44.5.

三、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求数列的前n项和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：设Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

当a=1时，Sn=n+=，

当a≠1时，Sn=+=+.

四、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：数列{an}的通项an=，求Sn .

分析：通项为分式的数列常考虑差分，即把通项ak化为两项之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

∴Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求数列，，…，，…的前n项和.

解：设an==-，

则Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

） =-1.

题型诠释：数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是高考常见的试题，对于等差数列或等比数列的求和主要是运用公式，求一般数列的前n项和，即非等差数列或非等比数列求和问题，可以借助错位相减法或裂项相消法转化为等差数列或等比数列求和问题.

endprint

数列求和问题以综合性强、复杂多变、解法灵活等特征成为考查的重点内容.由于大多数数列求和问题都不是最基本的等差数列或等比数列，所以常考查的数列求和的方法有：错位相减法、倒序相加法，分组求和法和裂项相消法等.

一、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解.（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一”，这也是等比数列前和公式的推导方法之一.）

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即KSn；然后错一位，两式相减即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：两边同时乘以，得Sn=++…++，

两式相减得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等价于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

∴Sn=1+++…+-，

∴Sn=2++++…+-，

∴Sn=2+-，

∴Sn=2+1--，

∴Sn=3-.

二、倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和.（这也是等差数列前n项和公式的推导方法.）

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）.

例3：求证：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

证明：设Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右边倒转过来得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

将①式右边反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

∴S=44.5.

三、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求数列的前n项和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：设Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

当a=1时，Sn=n+=，

当a≠1时，Sn=+=+.

四、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：数列{an}的通项an=，求Sn .

分析：通项为分式的数列常考虑差分，即把通项ak化为两项之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

∴Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求数列，，…，，…的前n项和.

解：设an==-，

则Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

） =-1.

题型诠释：数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是高考常见的试题，对于等差数列或等比数列的求和主要是运用公式，求一般数列的前n项和，即非等差数列或非等比数列求和问题，可以借助错位相减法或裂项相消法转化为等差数列或等比数列求和问题.

endprint

数列求和问题以综合性强、复杂多变、解法灵活等特征成为考查的重点内容.由于大多数数列求和问题都不是最基本的等差数列或等比数列，所以常考查的数列求和的方法有：错位相减法、倒序相加法，分组求和法和裂项相消法等.

一、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解.（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一”，这也是等比数列前和公式的推导方法之一.）

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即KSn；然后错一位，两式相减即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：两边同时乘以，得Sn=++…++，

两式相减得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等价于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

∴Sn=1+++…+-，

∴Sn=2++++…+-，

∴Sn=2+-，

∴Sn=2+1--，

∴Sn=3-.

二、倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和.（这也是等差数列前n项和公式的推导方法.）

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）.

例3：求证：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

证明：设Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右边倒转过来得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

将①式右边反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

∴S=44.5.

三、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求数列的前n项和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：设Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

当a=1时，Sn=n+=，

当a≠1时，Sn=+=+.

四、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：数列{an}的通项an=，求Sn .

分析：通项为分式的数列常考虑差分，即把通项ak化为两项之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

∴Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求数列，，…，，…的前n项和.

解：设an==-，

则Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

） =-1.

题型诠释：数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是高考常见的试题，对于等差数列或等比数列的求和主要是运用公式，求一般数列的前n项和，即非等差数列或非等比数列求和问题，可以借助错位相减法或裂项相消法转化为等差数列或等比数列求和问题.

endprint