换面法在直线投影中的应用

游代乔

（四川职业技术学院，四川 遂宁629000）

换面法，是保持空间几何元素位置不动，用新的投影面代替原来的投影面，使空间几何元素在新投影面中处于有利解题的位置的方法。使用换面法的要点就是确定要构造的新投影所处的投影面。

1 新投影面选择原则

如图1所示，铅垂面△ABC与V面和H面均不平行，其投影都不反映真实性。为了求出△ABC的实形，取一平行于△ABC且垂直于H面的V1面代替V面，则新的V1面和原H面构成一个新的投影体系V1/H。此时△ABC在V1/H中V1的投影△a1b1’c1’具有真实性，反映三角形的实形。

图1 投影面选择原则图

需要注意的是，新投影面的选取不是任意的，首先应使原几何元素在新投影面上的投影有利于解题，其次，新投影面体系必须构成直角坐标系，否则将违背正投影的投影原理。

2 换面法变换直线投影的基本原理

在求直线的投影的时候，我们一般是求直线上两个点的投影，然后同面投影相连得到直线的投影。在换面法的应用中，我们可以采用相同的办法，把直线的投影转化为求两个点的投影。

如图2所示，点K在V/H体系中投影分别为k’和k。若使H面不变，用新投影面V1替换原投影面V，由新投影面选择原则可知V1⊥H，则V1/H为新投影面体系，V1与H面的交线O1X1为新投影轴。将空间点K向新投影面V1投影，得到点K在V1面的正投影k1’。在正投影图中将V1面绕O1X1轴旋转到与H面重合，得到新的两面投影图，其中，kk1’必定垂直于O1X1。又因为新旧投影体系具有公共的水平投影面H，因此空间点K在这两个体系中到H面的距离相等，即k’k=k1’kx1=Kk。

图2 换面法变换直线投影基本原理图

3 换面法在直线的投影中的应用

求两相错直线AB、CD之间的最短距离。

分析：求两交错直线间的最短距离实质上是求两直线公垂线长度。欲求公垂线长度，则应先做出公垂线具有真实性的投影。由此可知，若把两已知直线的任意一条用换面法的方法变为某投影面垂直线，则公垂线必为投影面平行线，由此可得其长度。

做法如下：（如图3所示）

（1）经两次投影变换，直线AB变成V1/H2体系中的投影面垂直线a2b2，CD变成c2d2。

（2）由直角定理，过点a2做c2d2垂线m2n2，m2n2即为两直线公垂线在H2的投影，其长度就是两直线间的最短距离。

图3 换面法应用实例图

上例只是换面法的一个应用实例，在机械制图中，还有许多常规方法无法解决的问题，这时要灵活运用换面法的相关知识，选择恰当的新投影面做投影变换，达到解决问题的目的。

[1]佟献英,韩宝玲,杨薇.工程制图[M].北京：北京理工大学出版社，2012.