边边大角定理及其应用

吴迎新

一、边边大角定理

两组对应边相等，并且其中一组边的对角相等是两个三角形全等的必要条件，但不是两个三角形全等的充分条件。那么是不是对以上条件“加强”一下，可以成为充分条件呢？回答是肯定的。请看这个新的命题。

定理如果两个三角形的两组边对应相等，并且其中较大一组边的对角相等，则这两个三角形全等。

已知：在△ABC与△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。

求证：△ABC ≌△ABC。

证明：按∠B的大小分成三种情况证明

（1）∠B >90°，如图（1）

图（1）

过A作CB延长线的垂线，垂足为D，过A作CB延长线的垂线，垂足为D。

在△ABD 与△ABD 中

∵ ∠B = ∠B

∴ ∠ABD =∠ABD

又AB = AB， ∠D =∠D=90°

∴ △ABD≌△AB D

∴AD = ADDB =DB

在△ACD 与△ACD中，

AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°

∴△ACD ≌△ACD

∴DC = D C

∴BC = B C

在△ABC与△ABC中.

AB = ABAC =A CBC = B C

∴ △ABC ≌△ABC.

命题成立。

（2）∠B = 90°，如图（2）

图（2）

这里AB 、AB为直角边，正符合斜边直角边定理条件，

∴△ABC ≌△ABC

命题成立。

（3）∠B <90°，如图（3）

图（3）

∵ AC >AB

∴∠C<∠B∠C<∠B

即 ∠C<90°∠C <90°

仿（1）同理可证△ABC ≌△ABC。

综上所述，定理成立。

由于∠B、∠B分别是所述两边中较大一组所对的角，因此定理可称为边边大角定理。

二、边边大角定理的应用

下面通过斯坦纳-雷米欧司定理的证明可以看到边边大角定理的应用。

两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。这一命题简单清晰，很容易理解。早在欧几里得《几何原本》中已有论述，但是没有证明。雷米欧司求证无门，求教于斯图姆，但也不得其路，还是斯坦纳率先用反证法给出证明。因此这一定理史称“斯坦纳-雷米欧司定理”。从1840年开始，至今发表的证明不下百种，可见人们的关注程度。这个定理真可谓数学园地中深受人们喜爱的一朵奇葩。

下面请看“斯坦纳-雷米欧司定理”的海塞证法。

图（4）

已知：如图（4）在△ABC中，BD、CE分别平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。

求证：AB =AC 。

证明：（海塞）

作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，连接BF ,

∵ BD = CE

∴△BDF ≌△ECB

∴BF =BE,∠BEC =∠FBD

设∠ABD =∠DBC =α，

∠ACE =∠ECB =β

则∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α

=180°-（2α+β）+α

=180°-（α+β）

∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）

∴∠FBC =∠CDF

∵2α+2β<180°

∴α+β<90°

即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )

连结CF，又有BC =DF，CF =FC，

∴△FBC ≌△CDF( ** )

∴BF =CD

∴BE =CD

∴△EBC ≌△DBC

∴∠B =∠C

∴ AB =AC.

( * )这里说明两个对应相等的角都是钝角，因而是“大角”，很有必要。

( ** )这里证明的根据就是“边边大角定理”。

以上的证明是首个给出的直接证法，非常经典。

新的证明方法其价值不仅在于证明本身，而且在于其所展示的知识之间的联系和思维方法的启发。“斯坦纳-雷米欧司定理”的海塞证法就是一个典型。

（责任编辑 付淑霞）

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一、边边大角定理

两组对应边相等，并且其中一组边的对角相等是两个三角形全等的必要条件，但不是两个三角形全等的充分条件。那么是不是对以上条件“加强”一下，可以成为充分条件呢？回答是肯定的。请看这个新的命题。

定理如果两个三角形的两组边对应相等，并且其中较大一组边的对角相等，则这两个三角形全等。

已知：在△ABC与△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。

求证：△ABC ≌△ABC。

证明：按∠B的大小分成三种情况证明

（1）∠B >90°，如图（1）

图（1）

过A作CB延长线的垂线，垂足为D，过A作CB延长线的垂线，垂足为D。

在△ABD 与△ABD 中

∵ ∠B = ∠B

∴ ∠ABD =∠ABD

又AB = AB， ∠D =∠D=90°

∴ △ABD≌△AB D

∴AD = ADDB =DB

在△ACD 与△ACD中，

AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°

∴△ACD ≌△ACD

∴DC = D C

∴BC = B C

在△ABC与△ABC中.

AB = ABAC =A CBC = B C

∴ △ABC ≌△ABC.

命题成立。

（2）∠B = 90°，如图（2）

图（2）

这里AB 、AB为直角边，正符合斜边直角边定理条件，

∴△ABC ≌△ABC

命题成立。

（3）∠B <90°，如图（3）

图（3）

∵ AC >AB

∴∠C<∠B∠C<∠B

即 ∠C<90°∠C <90°

仿（1）同理可证△ABC ≌△ABC。

综上所述，定理成立。

由于∠B、∠B分别是所述两边中较大一组所对的角，因此定理可称为边边大角定理。

二、边边大角定理的应用

下面通过斯坦纳-雷米欧司定理的证明可以看到边边大角定理的应用。

两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。这一命题简单清晰，很容易理解。早在欧几里得《几何原本》中已有论述，但是没有证明。雷米欧司求证无门，求教于斯图姆，但也不得其路，还是斯坦纳率先用反证法给出证明。因此这一定理史称“斯坦纳-雷米欧司定理”。从1840年开始，至今发表的证明不下百种，可见人们的关注程度。这个定理真可谓数学园地中深受人们喜爱的一朵奇葩。

下面请看“斯坦纳-雷米欧司定理”的海塞证法。

图（4）

已知：如图（4）在△ABC中，BD、CE分别平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。

求证：AB =AC 。

证明：（海塞）

作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，连接BF ,

∵ BD = CE

∴△BDF ≌△ECB

∴BF =BE,∠BEC =∠FBD

设∠ABD =∠DBC =α，

∠ACE =∠ECB =β

则∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α

=180°-（2α+β）+α

=180°-（α+β）

∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）

∴∠FBC =∠CDF

∵2α+2β<180°

∴α+β<90°

即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )

连结CF，又有BC =DF，CF =FC，

∴△FBC ≌△CDF( ** )

∴BF =CD

∴BE =CD

∴△EBC ≌△DBC

∴∠B =∠C

∴ AB =AC.

( * )这里说明两个对应相等的角都是钝角，因而是“大角”，很有必要。

( ** )这里证明的根据就是“边边大角定理”。

以上的证明是首个给出的直接证法，非常经典。

新的证明方法其价值不仅在于证明本身，而且在于其所展示的知识之间的联系和思维方法的启发。“斯坦纳-雷米欧司定理”的海塞证法就是一个典型。

（责任编辑 付淑霞）

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一、边边大角定理

两组对应边相等，并且其中一组边的对角相等是两个三角形全等的必要条件，但不是两个三角形全等的充分条件。那么是不是对以上条件“加强”一下，可以成为充分条件呢？回答是肯定的。请看这个新的命题。

定理如果两个三角形的两组边对应相等，并且其中较大一组边的对角相等，则这两个三角形全等。

已知：在△ABC与△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。

求证：△ABC ≌△ABC。

证明：按∠B的大小分成三种情况证明

（1）∠B >90°，如图（1）

图（1）

过A作CB延长线的垂线，垂足为D，过A作CB延长线的垂线，垂足为D。

在△ABD 与△ABD 中

∵ ∠B = ∠B

∴ ∠ABD =∠ABD

又AB = AB， ∠D =∠D=90°

∴ △ABD≌△AB D

∴AD = ADDB =DB

在△ACD 与△ACD中，

AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°

∴△ACD ≌△ACD

∴DC = D C

∴BC = B C

在△ABC与△ABC中.

AB = ABAC =A CBC = B C

∴ △ABC ≌△ABC.

命题成立。

（2）∠B = 90°，如图（2）

图（2）

这里AB 、AB为直角边，正符合斜边直角边定理条件，

∴△ABC ≌△ABC

命题成立。

（3）∠B <90°，如图（3）

图（3）

∵ AC >AB

∴∠C<∠B∠C<∠B

即 ∠C<90°∠C <90°

仿（1）同理可证△ABC ≌△ABC。

综上所述，定理成立。

由于∠B、∠B分别是所述两边中较大一组所对的角，因此定理可称为边边大角定理。

二、边边大角定理的应用

下面通过斯坦纳-雷米欧司定理的证明可以看到边边大角定理的应用。

两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。这一命题简单清晰，很容易理解。早在欧几里得《几何原本》中已有论述，但是没有证明。雷米欧司求证无门，求教于斯图姆，但也不得其路，还是斯坦纳率先用反证法给出证明。因此这一定理史称“斯坦纳-雷米欧司定理”。从1840年开始，至今发表的证明不下百种，可见人们的关注程度。这个定理真可谓数学园地中深受人们喜爱的一朵奇葩。

下面请看“斯坦纳-雷米欧司定理”的海塞证法。

图（4）

已知：如图（4）在△ABC中，BD、CE分别平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。

求证：AB =AC 。

证明：（海塞）

作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，连接BF ,

∵ BD = CE

∴△BDF ≌△ECB

∴BF =BE,∠BEC =∠FBD

设∠ABD =∠DBC =α，

∠ACE =∠ECB =β

则∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α

=180°-（2α+β）+α

=180°-（α+β）

∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）

∴∠FBC =∠CDF

∵2α+2β<180°

∴α+β<90°

即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )

连结CF，又有BC =DF，CF =FC，

∴△FBC ≌△CDF( ** )

∴BF =CD

∴BE =CD

∴△EBC ≌△DBC

∴∠B =∠C

∴ AB =AC.

( * )这里说明两个对应相等的角都是钝角，因而是“大角”，很有必要。

( ** )这里证明的根据就是“边边大角定理”。

以上的证明是首个给出的直接证法，非常经典。

新的证明方法其价值不仅在于证明本身，而且在于其所展示的知识之间的联系和思维方法的启发。“斯坦纳-雷米欧司定理”的海塞证法就是一个典型。

（责任编辑 付淑霞）

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