圆筒型永磁直线电机齿槽力解析

黄克峰，李槐树，周羽

(1.解放军理工大学 国防工程学院电力与智能化教研中心，江苏 南京 210007；2.海军工程大学 电气工程学院，湖北 武汉 430033)

新型结构电机性能是相关学者关注的重点，圆筒型永磁直线电机(tubular including interior PM linear motor，TIPMLM )的主要性能是推力和推力脉动,在进行该类电机设计时往往希望得到推力大、推力脉动小的性能。因此找到一种快速有效地齿槽力解析计算方法用于电机优化设计显得尤为重要。

已有文献[1-2]证明，采用有限元法计算TPMLM齿槽力是个有效的方法，但其工作量大，计算时间长，不适合电机优化设计过程使用。因此在电机优化设计时需要采用解析法对齿槽力进行计算。采用解析法计算TPMLM齿槽力国内外学者也做了一定的研究。在国外，Jiabin Wang等基于麦克斯韦磁场方程推导出了气隙磁场强度公式[3-6]；Nicola Bianchi等利用等效磁阻法得出了TPMLM的气隙磁场强度和推力解析计算公式[7-8]，但公式过于复杂、且精确度不够。在国内，陈卫宝等从能量法出发推导出计算推力和齿槽力的公式[9]，但是该文采用的方法适用范围较窄只适合表贴式径向充磁TPMLM；赵镜红从反电动势与推力关系出发计算了TPMLM推力[10]，但齿槽力计算没有阐述。国内外学者的研究有些应用范围偏窄，有些分析的不够全面。因此研究一种准确、有效、快速解析分析轴向充磁TPMLM齿槽力的方法非常具有理论和实际价值。

本文介绍了一种在合理的假设条件下快速有效计算TPMLM齿槽力的方法。利用许-克变换推导出开槽TPMLM气隙磁场强度，根据得到的气隙磁场强度公式得出电机能量，结合电机能量和齿槽力的关系推导出齿槽力解析公式。

1 TPMLM基本气隙磁场计算

基本气隙磁场定义[13]如下：在圆筒型永磁直线电机磁场分布中最小气隙δmin处的磁感应强度密度定义为1 T时的气隙磁场分布，即

式中：Fδmin为最小气隙处的磁势，Bδmin为最小气隙处的磁场强度，μ0为气隙磁导率。

1.1 无槽TPMLM气隙磁场强度

由于TPMLM结构(图1)复杂，进行解析计算分析时先做如下假设：1)忽略导磁材料的磁压降影响；2)永磁体漏磁部分以漏磁系数修正；3)计算区域内永磁体磁导率近似为气隙磁导率。

图1 无槽TPMLM模型示意图

在文献[11]中已经对TPMLM的无槽基本气隙强度进行了计算。可得AB段及BC段的基本气隙磁场强度分别为：

(1)

(2)

1.2 开槽后相对气隙磁场强度

电机开槽后气隙磁场较为复杂，利用许-克变换[12]可以很好地对这类问题进行计算(图2)。把齿部气隙磁场强度值看作单位1(μ0Fm/δ=1)，利用许-克变换计算开槽后槽部相对齿部的相对气隙磁场强度。首先假设：1)定、转子只有一面开槽，另一面光滑；2)铁心的磁导率为无穷大，其表面为等磁位面；3)槽深和槽节距都是无穷大。因此矩形槽在z平面和w平面的情况如图2。

(a) z平面

(b) w平面

图2中z2、z3、z4、z54个顶点，由于图形的对称，取u2=-a,u3=-1,u4=1,u5=a分别与之对应，故可得

两个平面的对应关系得

在电机气隙磁场计算中:

在u轴上时，w=u，z=x则：

(3)

1.3 开槽后TPMLM的基本气隙磁场强度

表1 开槽后的基本气隙磁场强度

2 齿槽力研究

2.1 齿槽力解析研究

2.1.1 齿槽力定性研究

齿槽力的大小只与动子永磁体与定子齿的位置有关，与定子绕组中所通的电流大小无关。定子开槽后气隙分布不均匀，使得电机运行时，各部分储能发生变化。假设电机运动的一个周期就是一个齿距的距离，每块永磁体产生的齿槽力可以用Fourier级数进行描述，对于第i块永磁体，可以写出齿槽力的Fourier级数：

(4)

式中：τs是齿距；xc是TPMLM电机所在的位置；Fk,i是k次谐波的幅值，k的大小取于所选取的初始相角；φk,i为第i块永磁体k次谐波的相角:

(5)

式中：qP是每极下的槽数。

式(5)可根据qP是否为整数得出2种情况： 1)qP是整数，每块永磁体产生的齿槽力的相角φk,i是相同的，这样整个电机产生的齿槽力将是单个永磁体产生的齿槽力的2P倍；2)qP是分数，不同的永磁体产生的齿槽力的相角不相同，这样就可以使得整个电机的齿槽力大为减小。由式(4)、(5)得

(6)

式(6)能够成立的一个很重要的条件就是：TPMLM中每块永磁体相互影响很小，可以忽略永磁体之间边端的相互作用。由式(6)得出利用极槽配合如何削弱齿槽力方法和Fcog的周期为：

式中:2P为电机的极对数，Q为电机的槽数，GND(2P，Q)为2P、Q的最大公约数。

2.1.2 齿槽力定量研究

为了方便分析，假设：1)动、定子铁心磁导率无穷大，μFe=∞；2)永磁体除极性不同外其他性能均相同；3)永磁体磁导率与气隙相同；4)铁心叠压系数为1。

规定x为某一指定齿的中心线和某一指定永磁体中心线之间的距离，即动、定子之间的相对位置，x=0的位置设定在该永磁体的中心线上，如图3。

图3 开槽TPMLM模型

齿槽力的产生原因主要是TPMLM开槽后引起电机中各部分储能变化。电机空载运行时，产生的力就是齿槽力[13]：

(7)

可得TPMLM的齿槽力产生的本质原因是：由于定子侧铁心开槽使得气隙不均匀导致外部磁阻不一致，动子侧的每一块永磁体输出的磁能随着外部磁阻的变化而变化，这样也使得整个电机所受的齿槽力随着动子的位置变化而变化，周期数为Np。把计算齿槽力的问题转化为求解任意时刻每块永磁体工作点的问题。从永磁体的退磁曲线中可得

两边同乘以Am得：

(8)

式中：Am=π(d12-d02)，d0为动子内径，d1为动子外径。

(9)

(10)

式中：Bmax,i为第i块永磁体在气隙最小处的气隙磁密，Fm,i为第i块永磁体在气隙最小处的磁动势。从而可得

(11)

由式(8)、(11)可得：

(12)

将Fm,i和Bm,i代入式(7)可得出齿槽力:

根据样机参数计算出动子和定子任意相对位置的齿槽力如图4。可以看出齿槽力的周期数正好是气隙磁场强度的10倍，验证了文中提出的理论。

图4 齿槽力解析计算

2.2 齿槽力有限元仿真

为验证上述TPMLM解析方法的有效性，采用有限元软件Ansys进行仿真。由于TPMLM结构的轴对称性，只需建立二维轴对称模型，提高了计算精度，减少了仿真时间。样机为10极9槽的TPMLM，其基本参数如表2。

表2 圆筒型永磁直线电机主要结构参数

运用表2中所确定的参数，建立了电机有限元模型，进行了仿真。在定子槽的中心线与永磁体的中心线重合时，对TPMLM磁场强度进行了计算，解析公式法和有限法对比结果如图5。推力解析公式法和有限法对比结果如图6，图6中可得推力解析法的最大值相差是±20 N和图4中的齿槽力的峰值相同，也说明了解析公式的准确性。

图5 气隙磁场解析法和有限元计算结果对比

图6 有槽轴向充磁TPMLM推力解析与有限元计算对比

3 实验分析

样机、控制电路和测试电路组成的实验平台如图7。推力测试采用Honeywell公司生产的M31M推力负载传感器，拉压力额定范围2 222 N,输出mV/V信号经信号调理器SGA/A转换成±10V电压信号。对样机空载齿槽力进行测试，以验证解析计算和有限元分析计算结果的有效性。齿槽力测试工作台结构如图8。在图8中，齿槽力Fcog等于测力传感器的值F。改变轴位置并固定，测得不同位置的齿槽力。推力测量的关键部件推力传感器和调理器如图9。

为了验证解析计算的齿槽力和实际样机的情况，对样机进行了测试。通过测力传感器测量，采用静态位移法测量样机的齿槽力大小，通过逐点测量并记录推力数据，测量结果如图10所示。

图7 实验平台

图8 齿槽力测力原理示意图

图9 推力传感器和调理器

图10 齿槽力测试,FEM和解析计算对比曲线

实验结果表明齿槽力波形近似正弦曲线,其幅值为25 N与图4中的解析计算幅值基本吻合,波动周期为电机齿距20 mm,设计的直线电机样机额定推力为1 160 N,定位力的波动约为2.155%。所测得的曲线与有限元分析计算结果基本吻合。但由于实验时推力传感器的范围较大，测量小推力时还存在一定误差。

4 结束语

从文中解析法中可以知道电机各部分参数影响齿槽力的规律，为下一步如何削弱齿槽力的方法提供了有力的理论依据。齿槽力对TPMLM的性能影响很大,如何采用有效的方法削弱齿槽力使电机达到既有一个较大平稳的推力又推力脉动小,是下一步研究工作的重点。

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