(T, S)-凸直觉模糊集

刘自新，王 森

（大连大学 信息工程学院，辽宁 大连 116622）

0 引言

三角范数是取值于[0,1]上的二元函数，它首先是由Menger于1942年在研究统计问题时提出的[1]，20世纪60年代，Schweizer和Sklar在研究概率度量空间时也涉及到三角范数和三角余范数的概念[2,3]，1998年E.P.Klement和R.Mesiar对三角范数的概念进行了新的阐述，并对其作了较系统的研究[4]。三角范数理论在概率论、决策论、统计学、博弈论、函数方程等领域都有着重要的应用价值[5-6]。

模糊集和凸模糊集的概念是1965年由L A Zadeh首先提出来的[7]，其后一些学者在Zadeh定义的基础上进行了扩展研究，1971年 Rosenfeld[8]提出了模糊群的概念，1979年Anthony和Sherwood[9]用T-范数对模糊群重新进行了定义，此后众多学者又据此得到了模糊子群的若干性质。1977年 Katsaras和 Liu[10]提出了向量空间的模糊子空间的概念。文献[11]中用T-范数推广了凸模糊集和模糊子空间的研究成果。1986年K.Atanassov[12]在模糊集定义的基础上，提出了直觉模糊集的概念，许多学者对直觉模糊集的理论和应用进行了大量的研究，使直觉模糊集理论得到了快速的发展。文献[13,14]中提出了直觉模糊子空间和直觉模糊仿射空间的概念，并对有关性质进行了讨论。本文将文献[13,14]中所用的算子进行了推广，用T -范数和S-范数给出了凸直觉模糊集和直觉模糊子空间、直觉模糊仿射集的定义，并讨论了它们之间的关系，所以本文也是对文献[13-14]的继续深入和推广。

1 预备知识

设 ∀a,b,c,d∈[0,1]， 如 果 映 射T:[0,1]×[0,1]→ [0,1]， 满 足 条 件(1)T(a,b) =T(b,a)；(2)T(T(a,b),c) =T(a,T(b,c))；(3)a≤c,b≤d⇒T(a,b) ≤T(c,d)； (4)T( 1,a) =a，则称T为T-范数。如果映射S:[0,1]×[0,1]→ [0,1]， 满 足 条 件(1)S(a,b) =S(b,a)；(2)S(S(a,b),c) =S(a,S(b,c))；(3)a≤c,b≤d⇒S(a,b) ≤S(c,d)； (4)S(a, 0)=a，则称S为T-余范数,或称为S-范数。显然，min{a,b}为最大的T-范数，而max{a,b}为最小的S -范数。设N: [0,1]→ [0,1]且对任意a∈[0,1]，N(a) = 1 −a，则称N 为[0,1]上的伪补。在伪补的定义下，如果已知一个T-范数，容易证明S(a,b) = 1 −T( 1 −a, 1−b为S-范数，而如果已知一个S-范数，则T(a,b) = 1 −S( 1 −a, 1 −b)为T-范数，称此时的S -范数和T-范数为对偶范数。

集合A= {(x, µA(x) )|x∈X}称为论域X上的一个模糊子集[7]，其中µA( ·):X→[0,1]称为模糊子集A 的隶属函数，在不致误解的情况下，模糊子集A和它的隶属函数µA(x)将不加区分，同时模糊子集也常简称为模糊集。对任意λ∈[0,1]，x,y∈X，如果 µA(λx+ ( 1 − λ )y) ≥ min{µA(x) ,µA(y)}，则称A 为 凸 模 糊 集 ； 如 果µA(λx+ (1 −λ)y) ≤ max{µA(x) ,µA(y)}，则称A 为凹模糊集。设*表示一个T-范数，模糊集µ:Rn→[0,1]称为*-凸模糊集[11]，如果对任意x,y∈Rn，λ∈[0,1]，都有µ(λx+ ( 1 −λ)y) ≥µ(x) *µ(y)，称A=(X,µA,νA)为X 上的一个直觉模糊集[12]，如果µA:X→[0,1]，νA:X→[0,1]为两个映射且µA(x) +νA(x) ≤ 1，∀x∈X。为简便，记直觉模糊集A=(µA,νA)。论域X上的所有直觉模糊集记为IF(X)。设A∈IF(X)，若至少存在一点x∈X，使得µA(x) = 1，νA(x) = 0，则称A为正规的直觉模糊集。设A=(µA,νA)，如果µA为X上的凸模糊集且vA为X 上的凹模糊集，则称A 为X上的凸直觉模糊集[15]。

2 (T, S )-凸直觉模糊集

定义2.1

设A= (µA,νA)∈IF(X)，T,S为对偶范数，若对∀x,y∈Rn，t∈[0,1]，都有

则称A 为(T,S)-凸直觉模糊集。

特别地，如果S=∨，T=∧，则称A 为(∧,∨)-凸直觉模糊集。

显然，(∧,∨)-凸直觉模糊集一定是(T,S)-凸直觉模糊集。

R 上每个正规的(T,S)-凸直觉模糊集都是(∧,∨)-凸直觉模糊集。

定理2.1

对两个(T,S)-凸直觉模糊集A,B，定义(T(µA,µB) ,S(νA,νB))为:

证明：

假设(µi,νi)，1≤i≤n是R 上(T,S)-凸直觉模糊 集 序 列 ，(x1,… ,xn)∈Rn， 定 义(λ,µ) :Rn→ [0 ,1]×[0,1]为

定理2.2

则(λ,µ)为Rn上的(T,S)-凸直觉模糊集。

证明：由定理2.1及数学归纳法可证。

定理2.3

(T,S)-凸直觉模糊集。

证明：

设(x, y) ∈ Rn，t∈[0,1]。对所有i∈ I，都有

即(∧iµi∈I, ∨i∈Iνi)为(T,S)-凸直觉模糊集。

定理2.4

假设A 是一个(T,S)-凸直觉模糊集，为非负实数有限序列且，则

证明：

当r=1和r=2时，结论显然成立。

假设r = k时不等式成立。

即r=k+1时不等式也成立。

3 (T, S )-直觉模糊子空间

定义3.1

Rn上的一个直觉模糊集A 称为(T,S)-直觉模糊子空间，如果对∀x,y∈Rn，∀a,b∈R，有

定理3.1

x∈ Rn

(2)µA(ax) = µA(x) ,νA(ax) = νA(x)，a为非零实数，

(3)A为(T,S)-凸直觉模糊集，

则A 为(T,S)-直觉模糊子空间。

如果A为正规的直觉模糊集，则定理的必要性成立。

如果一个直觉模糊集A满足下面的条件：

证明：

设直觉模糊集A满足条件(1)～(3)。

令x,y∈Rn，a, b ∈ R+，则

因 为 对x∈Rn， 有 µ(−x) = µ(x),

A

A νA(−x) = νA(x)，所以上述不等式在a,b∈R−时也成立。

同样，当a· b＜0时也成立。

如果a=b=0，我们有

因此A 是(T,S)-直觉模糊子空间。

如果A 为正规的直觉模糊集，则存在y' ∈Rn，有µA(y')=1,νA(y') = 0。

条件3是显然的。

在(T,S)-直觉模糊子空间的定义中，令b= 0 ,y=y'，有

显然，对所有x∈Rn，非零实数a有

从而条件2成立。

令a=b= 0 ,y=y'，则对任意x，

由此可得，µA(0)=1,νA( 0) = 0，故条件1成立。

定义3.2

设z∈Rn,z + A表示直觉模糊集A的平移，对任意x∈Rn，定义

定义3.3

设A 为直觉模糊集，如果对∀x,y∈Rn，t∈R,都有

则称A 为一个(T,S)-直觉模糊仿射集。

定理3.2

(1)如果A 为(T,S)-直觉模糊子空间，则其平移是(T,S)-直觉模糊仿射集。

(2)每个正规的(T,S)-直觉模糊仿射集的平移是一个(T,S)-直觉模糊子空间。

证明:

(1)设A 为(T,S)-直觉模糊子空间，则对∀x,y∈Rn，z0∈Rn,t∈R，

由定义3.3知，A为(T,S)-直觉模糊仿射集。

(2)设A 为Rn上的正规的直觉模糊仿射集，则存在y' ∈Rn，使µA(y')=1,νA(y') = 0。

对任意x∈Rn，定义B= −y' +A。设a为非零实数，则

由此可推得µB(ax) = µB(x)，νB(ax) = νB(x)。

由(1)知，B 是(T,S)-凸直觉模糊集。再由定理3.1知，B 是(T,S)-直觉模糊子空间。

4 结论

本文用T -范数和S -范数定义了(T,S)-凸直觉模糊集，(T,S)-直觉模糊子空间和(T,S)-直觉模糊仿射集，并讨论了(T,S)-凸直觉模糊集的一些性质，(T,S)-直觉模糊子空间和(T,S)-直觉模糊仿射集之间的关系。这些结果是对文献[13,14]的继续深入和推广。

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