方案选择问题的应用题教学

方永聪

摘 要： 本文以几道经常出现的方案选择问题的应用题为例阐述了在应用题教学中如何培养学生解决实际问题的能力.

关键词： 方案选择问题 应用题教学 建模能力 信息整理能力

近年来，随着市场经济的迅速发展，社会对数学的需求并不仅仅是会解答数学题的数学家，而是需要大量善于用数学知识和思维方法解决实际问题的各种人才.数学在实际生活中的应用是教材及近年来各地中考中经常出现的问题，对于如何开展这类问题的教学，我谈谈看法。

一、培养学生认真读题的习惯，增强建模能力

要培养学生认真读题，提炼有用条件，抓住关键词，过好阅读关，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量与未知量之间的内在联系.审题时，要准确理解关键语句的数学意义，再创建数学模型，选取基本变量，将文字语言抽象概括成数学语言，依据有关定义、公理和数学知识，建立适当的数学模型.

例1：有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤每分钟只能通过3人，自己前面还有36人等待通过，通过道口后，还要7分钟才可以到达学校.（1）此时，绕道而行，要15分钟到达学校.从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常，结果王老师比拥挤情况下提前6分钟通过道口，问维持秩序的时间为多少？

这道题的背景来自考生经常碰到道口拥挤的问题，这是一道非常简单的方案优化问题.（1）小题需要分别明确两个方案（过道口和绕行）所用的时间，这是一道简单的算术应用题.（2）小题关键是有维持秩序和没有维持秩序“过道口的时间差”，相等关系是：拥挤情况下王老师通过道口所用时间等于维持持续的时间加上维持持续维持好之后前边的人通过所用的时间，还要加上疏通后比原来提前的时间，这只是一道一元一次方程的应用题.

分析：（1）先分别求得通过拥挤的通道和绕道去学校的时间，比较即可选择。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以应该选择绕道去学校.

（2）设维持秩序的时间x分钟，如果不维持秩序，王老师要用36÷3=12分钟才能通过，现在提前6分钟，说明他只用了12-6=6分钟，在这6分钟内，花了x分钟维持秩序，通过3x人，又花了（6-x）分钟按正常秩序等待，通过了9（6-x）人，共通过36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培养学生巧用字母表示未知数的能力

在应用题教学中，培养学生准确地用字母表示未知数的能力是一个重要环节.有些题目的未知的量不止一个，有的学生往往不敢下手，这时必须引导学生大胆设题，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何种方法.

例2：某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话一跳次，再付0.4元；“神州行”：不缴月租费，每通话一跳次，付话费0.6元.请你分析判断选择哪一种付费方式更合算？

这是一道一元一次方程相关的应用题也是一次函数相关的方案选择问题的应用题，题目的答案不是唯一的，而需要不同的通话时间决定.题目没有提供准确的数据，未知量有三个，所以必须教学生合理设未知量，把未知的量先用字母表示.若设一个月通话x次，两种方式的费用分别为y■元和y■元，把题目中的y■与x的关系式、y■与x的关系式正确写出来：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）两种费用相同时，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再对通话时间大于250分或小于250分钟进行讨论.

三、增强学生信息整理能力

通过对应用题文字的理解与疏通，对收集得来的数据进行整理，有些题目提供的信息多且杂乱，教学中应教学生把零碎的数学知识系统化、科学化，形成一个整体思维，可以结合简单的表格、数轴等图示，把复杂的条件分类，从而为分析解决应用题提供了理论依据.

例3：A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器.已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元.

（1）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？

（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

这道题题目提供的数据多不容易与数学模型直接联系，处理这类问题时要对数据进行分类，画出表格进行处理就容易.如图所示：不妨设A市运往C市为x台，先让学生分析由已知条件填出下表：

填完表格后，必须让学生明白此时字母x的取值范围，再让学生建模.本题目是总费用不超过9000元，比较明显是不等式方面的应用题，列出不等关系就不难了，为了第二步的方便，引入函数来解更容易.

解：根据题意得：设总费用为W，则有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因运费不超过9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

则x=8，9，10，所以有三种调运方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W随x的增大而减小，

∴当x=10时，W的值最小，最小值为8600元，此时的调运方案是：B市运至C村0台，运至D村6台，A市运往C市10台，运往D村2台，最低总运费为8600元.

实际上，优化方案应用问题呈现的形式是多种多样的，但一般是以函数形式、方程形式和不等式的形式出现.选择方案应用题与普通应用题相比较，涉及的事物比较多，各事物之间的关系复杂，理清事情的思路显得有些难.这就使得理解题的意义成为解答选择方案应用题的一个难点.突破这个难点的思路有多条，基本的思路是简化事物，使问题变得简单而清晰.可以压缩表述事物的文字，使语言更加精炼.文字少了，自然容易弄清楚事物之间的关系.也可以重新整理描述事物的顺序，使应用题的解题脉络更清晰.

参考文献：

[1]尹必磊.方案设计题的常见类型及解法.初中数学教与学，2008，9.endprint

摘 要： 本文以几道经常出现的方案选择问题的应用题为例阐述了在应用题教学中如何培养学生解决实际问题的能力.

关键词： 方案选择问题 应用题教学 建模能力 信息整理能力

近年来，随着市场经济的迅速发展，社会对数学的需求并不仅仅是会解答数学题的数学家，而是需要大量善于用数学知识和思维方法解决实际问题的各种人才.数学在实际生活中的应用是教材及近年来各地中考中经常出现的问题，对于如何开展这类问题的教学，我谈谈看法。

一、培养学生认真读题的习惯，增强建模能力

要培养学生认真读题，提炼有用条件，抓住关键词，过好阅读关，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量与未知量之间的内在联系.审题时，要准确理解关键语句的数学意义，再创建数学模型，选取基本变量，将文字语言抽象概括成数学语言，依据有关定义、公理和数学知识，建立适当的数学模型.

例1：有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤每分钟只能通过3人，自己前面还有36人等待通过，通过道口后，还要7分钟才可以到达学校.（1）此时，绕道而行，要15分钟到达学校.从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常，结果王老师比拥挤情况下提前6分钟通过道口，问维持秩序的时间为多少？

这道题的背景来自考生经常碰到道口拥挤的问题，这是一道非常简单的方案优化问题.（1）小题需要分别明确两个方案（过道口和绕行）所用的时间，这是一道简单的算术应用题.（2）小题关键是有维持秩序和没有维持秩序“过道口的时间差”，相等关系是：拥挤情况下王老师通过道口所用时间等于维持持续的时间加上维持持续维持好之后前边的人通过所用的时间，还要加上疏通后比原来提前的时间，这只是一道一元一次方程的应用题.

分析：（1）先分别求得通过拥挤的通道和绕道去学校的时间，比较即可选择。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以应该选择绕道去学校.

（2）设维持秩序的时间x分钟，如果不维持秩序，王老师要用36÷3=12分钟才能通过，现在提前6分钟，说明他只用了12-6=6分钟，在这6分钟内，花了x分钟维持秩序，通过3x人，又花了（6-x）分钟按正常秩序等待，通过了9（6-x）人，共通过36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培养学生巧用字母表示未知数的能力

在应用题教学中，培养学生准确地用字母表示未知数的能力是一个重要环节.有些题目的未知的量不止一个，有的学生往往不敢下手，这时必须引导学生大胆设题，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何种方法.

例2：某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话一跳次，再付0.4元；“神州行”：不缴月租费，每通话一跳次，付话费0.6元.请你分析判断选择哪一种付费方式更合算？

这是一道一元一次方程相关的应用题也是一次函数相关的方案选择问题的应用题，题目的答案不是唯一的，而需要不同的通话时间决定.题目没有提供准确的数据，未知量有三个，所以必须教学生合理设未知量，把未知的量先用字母表示.若设一个月通话x次，两种方式的费用分别为y■元和y■元，把题目中的y■与x的关系式、y■与x的关系式正确写出来：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）两种费用相同时，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再对通话时间大于250分或小于250分钟进行讨论.

三、增强学生信息整理能力

通过对应用题文字的理解与疏通，对收集得来的数据进行整理，有些题目提供的信息多且杂乱，教学中应教学生把零碎的数学知识系统化、科学化，形成一个整体思维，可以结合简单的表格、数轴等图示，把复杂的条件分类，从而为分析解决应用题提供了理论依据.

例3：A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器.已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元.

（1）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？

（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

这道题题目提供的数据多不容易与数学模型直接联系，处理这类问题时要对数据进行分类，画出表格进行处理就容易.如图所示：不妨设A市运往C市为x台，先让学生分析由已知条件填出下表：

填完表格后，必须让学生明白此时字母x的取值范围，再让学生建模.本题目是总费用不超过9000元，比较明显是不等式方面的应用题，列出不等关系就不难了，为了第二步的方便，引入函数来解更容易.

解：根据题意得：设总费用为W，则有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因运费不超过9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

则x=8，9，10，所以有三种调运方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W随x的增大而减小，

∴当x=10时，W的值最小，最小值为8600元，此时的调运方案是：B市运至C村0台，运至D村6台，A市运往C市10台，运往D村2台，最低总运费为8600元.

实际上，优化方案应用问题呈现的形式是多种多样的，但一般是以函数形式、方程形式和不等式的形式出现.选择方案应用题与普通应用题相比较，涉及的事物比较多，各事物之间的关系复杂，理清事情的思路显得有些难.这就使得理解题的意义成为解答选择方案应用题的一个难点.突破这个难点的思路有多条，基本的思路是简化事物，使问题变得简单而清晰.可以压缩表述事物的文字，使语言更加精炼.文字少了，自然容易弄清楚事物之间的关系.也可以重新整理描述事物的顺序，使应用题的解题脉络更清晰.

参考文献：

[1]尹必磊.方案设计题的常见类型及解法.初中数学教与学，2008，9.endprint

摘 要： 本文以几道经常出现的方案选择问题的应用题为例阐述了在应用题教学中如何培养学生解决实际问题的能力.

关键词： 方案选择问题 应用题教学 建模能力 信息整理能力

近年来，随着市场经济的迅速发展，社会对数学的需求并不仅仅是会解答数学题的数学家，而是需要大量善于用数学知识和思维方法解决实际问题的各种人才.数学在实际生活中的应用是教材及近年来各地中考中经常出现的问题，对于如何开展这类问题的教学，我谈谈看法。

一、培养学生认真读题的习惯，增强建模能力

要培养学生认真读题，提炼有用条件，抓住关键词，过好阅读关，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量与未知量之间的内在联系.审题时，要准确理解关键语句的数学意义，再创建数学模型，选取基本变量，将文字语言抽象概括成数学语言，依据有关定义、公理和数学知识，建立适当的数学模型.

例1：有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤每分钟只能通过3人，自己前面还有36人等待通过，通过道口后，还要7分钟才可以到达学校.（1）此时，绕道而行，要15分钟到达学校.从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常，结果王老师比拥挤情况下提前6分钟通过道口，问维持秩序的时间为多少？

这道题的背景来自考生经常碰到道口拥挤的问题，这是一道非常简单的方案优化问题.（1）小题需要分别明确两个方案（过道口和绕行）所用的时间，这是一道简单的算术应用题.（2）小题关键是有维持秩序和没有维持秩序“过道口的时间差”，相等关系是：拥挤情况下王老师通过道口所用时间等于维持持续的时间加上维持持续维持好之后前边的人通过所用的时间，还要加上疏通后比原来提前的时间，这只是一道一元一次方程的应用题.

分析：（1）先分别求得通过拥挤的通道和绕道去学校的时间，比较即可选择。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以应该选择绕道去学校.

（2）设维持秩序的时间x分钟，如果不维持秩序，王老师要用36÷3=12分钟才能通过，现在提前6分钟，说明他只用了12-6=6分钟，在这6分钟内，花了x分钟维持秩序，通过3x人，又花了（6-x）分钟按正常秩序等待，通过了9（6-x）人，共通过36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培养学生巧用字母表示未知数的能力

在应用题教学中，培养学生准确地用字母表示未知数的能力是一个重要环节.有些题目的未知的量不止一个，有的学生往往不敢下手，这时必须引导学生大胆设题，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何种方法.

例2：某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话一跳次，再付0.4元；“神州行”：不缴月租费，每通话一跳次，付话费0.6元.请你分析判断选择哪一种付费方式更合算？

这是一道一元一次方程相关的应用题也是一次函数相关的方案选择问题的应用题，题目的答案不是唯一的，而需要不同的通话时间决定.题目没有提供准确的数据，未知量有三个，所以必须教学生合理设未知量，把未知的量先用字母表示.若设一个月通话x次，两种方式的费用分别为y■元和y■元，把题目中的y■与x的关系式、y■与x的关系式正确写出来：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）两种费用相同时，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再对通话时间大于250分或小于250分钟进行讨论.

三、增强学生信息整理能力

通过对应用题文字的理解与疏通，对收集得来的数据进行整理，有些题目提供的信息多且杂乱，教学中应教学生把零碎的数学知识系统化、科学化，形成一个整体思维，可以结合简单的表格、数轴等图示，把复杂的条件分类，从而为分析解决应用题提供了理论依据.

例3：A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器.已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元.

（1）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？

（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

这道题题目提供的数据多不容易与数学模型直接联系，处理这类问题时要对数据进行分类，画出表格进行处理就容易.如图所示：不妨设A市运往C市为x台，先让学生分析由已知条件填出下表：

填完表格后，必须让学生明白此时字母x的取值范围，再让学生建模.本题目是总费用不超过9000元，比较明显是不等式方面的应用题，列出不等关系就不难了，为了第二步的方便，引入函数来解更容易.

解：根据题意得：设总费用为W，则有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因运费不超过9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

则x=8，9，10，所以有三种调运方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W随x的增大而减小，

∴当x=10时，W的值最小，最小值为8600元，此时的调运方案是：B市运至C村0台，运至D村6台，A市运往C市10台，运往D村2台，最低总运费为8600元.

实际上，优化方案应用问题呈现的形式是多种多样的，但一般是以函数形式、方程形式和不等式的形式出现.选择方案应用题与普通应用题相比较，涉及的事物比较多，各事物之间的关系复杂，理清事情的思路显得有些难.这就使得理解题的意义成为解答选择方案应用题的一个难点.突破这个难点的思路有多条，基本的思路是简化事物，使问题变得简单而清晰.可以压缩表述事物的文字，使语言更加精炼.文字少了，自然容易弄清楚事物之间的关系.也可以重新整理描述事物的顺序，使应用题的解题脉络更清晰.

参考文献：

[1]尹必磊.方案设计题的常见类型及解法.初中数学教与学，2008，9.endprint