复合函数极限法则的一个注记

李卫峰

(中国地质大学 数学与物理学院，武汉 430074)

则

上述反例正是不满足“x≠0时g(x)≠0”这一条件所导致的.

定理1的一个重要应用是证明反函数导数定理.文献[2]中定理4.3就是对这进行讨论.

证给x=φ(y)的自变量y一个增量Δy，则Δx=φ(y+Δy)-φ(y)，由反函数的连续性定理可知Δy→0时，必有Δx→0且Δy≠0时，Δx≠0.现在考虑

所以我们应当考虑极限

但注意到x=φ(y),y+Δy=f(x+Δx)，所以Δy=f(x+Δx)-f(x)，所以

上述关键在于上式中用到了复合函数的极限法则，即用到了定理1. 因为Δx→0时Δy→0.且Δx≠0时，Δy≠0.而且其中将Δy看成了Δx的函数.

[参 考 文 献]

[1] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007:48-49.

[2] 赵晶，彭放. 工科数学分析[M]. 武汉：中国地质大学出版社，2010:138-139.