Schwarz引理的推广及其应用

2014-09-17黄华平

大学数学 2014年6期

关键词：师专证法圆盘

黄华平

(湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石 435002)

1 引言

Schwarz引理是解析函数的重要定理，它对共形映射的建立，特别是对著名的Riemann映照定理的论证，起了很大作用. 它揭示出经典解析映照后，由原像区域到像区域之间的有趣变化，给出了由给定区域来确定对象区域的有效估计.

在正文开始之前，先给出如下记号.

记D(z0,r)={z:|z-z0|

下面首先阐述Schwarz引理：

设f(z)∈H(D(0,1)), |f(z)|≤1(z∈D(0,1), 且f(0)=0, 则

(i) |f(z)|≤|z|,z∈D(0,1);

(ii) |f′(0)|≤1;

(iii) 若对某点0≠z0∈D(0,1),(i)或(ii)取等号，则∃λ∈∂D(0,1), 使得f(z)=λz.

Schwarz引理在解析函数论，几何函数论，多元复分析等诸多领域中都应用很广. 例如，用它来证明Liouville定理(即有界整函数必为常数)非常方便. 如下：

设f(z)在z平面上解析，且|f(z)|≤M(M>0是一个常数). ∀r>0, 作辅助函数

则g(w)满足Schwarz引理的条件. 遂由Schwarz引理，|g(w)|≤|w|,w∈D(0,1). 故

上式令r→∞, 即得f(z)=f(0)恒为常数.

上述用Schwarz引理证明Liouville定理避免了通常的采用Cauchy不等式的证法[1]，从而简洁明了. 近些年来，关于Schwarz引理的推广，已经涌现出了许多杰出的工作，并且还出现了大量的应用[2-8].

本文主要给出了Schwarz引理一种最常见的推广形式的新证法，然后给出了两个定理阐述了此推广形式的应用.

2 主要结果

首先引入Schwarz引理一个最常见的推广形式，这种推广形式文献[4-8]都有，并且也有证明，但证明过程或者不详细或者不完整. 本文给出了一种比较完整的新证法. 见如下引理1. 其次给出了一个常用性质，本文也以引理形式给出，见如下引理2，同时给出了证明. 另外，还给出了两个结论说明了其应用.

引理1设f(z)∈H(D(0,r)), |f(z)|≤M(z∈D(0,r)), 且f(0)=0, 则

证令

则g(z)∈H(D(0,r)). 事实上，只需证g(z)在z=0处可导即可. 如下：

利用复变函数的L ′Hospital法则，有

故g(z)在z=0处可导，从而g(z)∈H(D(0,r)).

对g(z)在D(0,r-ε)={z∶|z|

上面引理显然大大的推广了Schwarz引理. 事实上，在引理1中取r=M=1即可. 下面的性质经常用到，本文以引理形式给出.

证(i) 设z=x+iy, 则Rez=x, 从而

(e-ycosx+1)2-(e-ycosx-1)2=4e-ycosx≥0.

进而(e-ycosx+1)2≥(e-ycosx-1)2, 导出

(ii) 由于

(2.1)

故

(2.2)

并且

(2.3)

定理1设f(z)∈H(D(0,r)), 且f(0)=0. 若Ref(z)≤C(z∈D(0,r)),C>0为常数，则

证取M>0, 令

则g(z)∈H(D(0,r)), 且|g(z)|≤M(z∈D(0,r)). 事实上，因u=Ref(z)≤C(C>0), 所以2C-f(z)=(2C-u)-iv≠0. 否则有2C-u=0, 从而由2C=u≤C得到C≤0, 矛盾. 再由f(z)∈H(D(0,r))可得g(z)∈H(D(0,r)). 而由(2C-u)2≥u2得到

即得

定理2设f(z)∈H(D(0,r)), 且f(0)=0. 若|Ref(z)|≤C(z∈D(0,r)),C>0为常数，则

证令f(z)=u(x,y)+iv(x,y). 若|Ref(z)|=C(z∈D(0,r)), 则u=±C. 由于f(z)∈H(D(0,r)), 故由解析函数的Cauchy-Riemann方程易得v为常数，于是f(z)在D(0,r)内恒为常数. 又f(0)=0, 进而f(z)≡0(z∈D(0,r)). 此时定理得证.

下设|Ref(z)|0, 令

则g(z)∈H(D(0,r)), 且|g(z)|≤M(z∈D(0,r)). 事实上，由于

由于g(0)=0, 故由引理1，

(2.4)

(2.5)

又由