一道图形填数题的解法及拓展

赵银梅+杜客君

题目把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和等于18.

（1）给出符合要求的填法；

（2）共有多少种不同填法？证明你的结论.

分析此题的一般性解法是设九个未知数，列6个方程，解决难度大.另一种常用方法就是采用试一试，运气成分很大.这种类型题的解法一般应考虑最大的数或最小的数的摆放位置，问题便迎刃而解.

解（1）设用A，B，C，D，E，F，G，H，M分别代表这九个圈.

数字“1”不能填在A，B，C，D，E，F这六个圈内.由题意可知，三数之和等于18，1只能与8，9组合.因为“1”无论填在这6个圈中的哪一个圈内，数字8，9都会重复，所以“1”只能填在G，H或M中.

不妨把“1”放在G中，则E与D这两个圈中分别只能放8与9，不妨把9放到E中，则A与B分别只能放2，7或3，6或4，5.放2，7或3，6均矛盾，故只能放4，5.当A中放5时，因为D中放的8，所以C中放5，不合题意，故A中只能放4，则B中放5.根据同一边上三个圈内之数的和等于18，便可以推出C中填6，F中填7，H中填2，M中填3.结果见图2.

（2）因“1”可分别放入G，H或M中，由对称性可知，每一种放法都有两种不同的填法，3×2=6（种），所以一共有6种不同填法.

图1图2拓展把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等，则这个和的最大值是多少？最小值是多少？

解把填入A，B，C三圈中的三个数之和记为x；D，E，F三圈中的三个数之和记为y；G，H，M三圈中的三个数之和记为z；同一边上三个圈中的三个数之和记为a.则有：

x+y+z=45，

z+3y+2x=6a，

2x+y=3a，解得：x=15，

y=3a-30，

z=60-3a.

又因为1+2+3≤y≤7+8+9，

1+2+3≤z≤7+8+9，

所以6≤3a-30≤24，

6≤60-3a≤24，解得：12≤a≤18

当a=12时，因为1+2+9=12，所以9只能放到G，H或M中.其中的一种填法如图3所示：

所以和的最大值是18，最小值是12.

图3图4现留给读者三个问题，请思考：

问题1：当a=13，14，15，16，17时，能把1，2，3，…，9，这9个数按上述要求填入图1中吗？

问题2：把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等，一共有多少种不同的填法？

问题3：把数字1，2，3，…，15分别填入图4的15个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上四个圈内数字之和相等，一共有多少种不同的填法？

作者简介赵银梅，女，巴中市第四批中青年数学骨干教师，多次荣获县、市数学赛课一等奖.对新课改教学，数学考试命题，数学解题方法探究等有一定研究，发表论文多篇.endprint

题目把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和等于18.

（1）给出符合要求的填法；

（2）共有多少种不同填法？证明你的结论.

分析此题的一般性解法是设九个未知数，列6个方程，解决难度大.另一种常用方法就是采用试一试，运气成分很大.这种类型题的解法一般应考虑最大的数或最小的数的摆放位置，问题便迎刃而解.

解（1）设用A，B，C，D，E，F，G，H，M分别代表这九个圈.

数字“1”不能填在A，B，C，D，E，F这六个圈内.由题意可知，三数之和等于18，1只能与8，9组合.因为“1”无论填在这6个圈中的哪一个圈内，数字8，9都会重复，所以“1”只能填在G，H或M中.

不妨把“1”放在G中，则E与D这两个圈中分别只能放8与9，不妨把9放到E中，则A与B分别只能放2，7或3，6或4，5.放2，7或3，6均矛盾，故只能放4，5.当A中放5时，因为D中放的8，所以C中放5，不合题意，故A中只能放4，则B中放5.根据同一边上三个圈内之数的和等于18，便可以推出C中填6，F中填7，H中填2，M中填3.结果见图2.

（2）因“1”可分别放入G，H或M中，由对称性可知，每一种放法都有两种不同的填法，3×2=6（种），所以一共有6种不同填法.

图1图2拓展把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等，则这个和的最大值是多少？最小值是多少？

解把填入A，B，C三圈中的三个数之和记为x；D，E，F三圈中的三个数之和记为y；G，H，M三圈中的三个数之和记为z；同一边上三个圈中的三个数之和记为a.则有：

x+y+z=45，

z+3y+2x=6a，

2x+y=3a，解得：x=15，

y=3a-30，

z=60-3a.

又因为1+2+3≤y≤7+8+9，

1+2+3≤z≤7+8+9，

所以6≤3a-30≤24，

6≤60-3a≤24，解得：12≤a≤18

当a=12时，因为1+2+9=12，所以9只能放到G，H或M中.其中的一种填法如图3所示：

所以和的最大值是18，最小值是12.

图3图4现留给读者三个问题，请思考：

问题1：当a=13，14，15，16，17时，能把1，2，3，…，9，这9个数按上述要求填入图1中吗？

问题2：把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等，一共有多少种不同的填法？

问题3：把数字1，2，3，…，15分别填入图4的15个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上四个圈内数字之和相等，一共有多少种不同的填法？

作者简介赵银梅，女，巴中市第四批中青年数学骨干教师，多次荣获县、市数学赛课一等奖.对新课改教学，数学考试命题，数学解题方法探究等有一定研究，发表论文多篇.endprint

题目把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和等于18.

（1）给出符合要求的填法；

（2）共有多少种不同填法？证明你的结论.

分析此题的一般性解法是设九个未知数，列6个方程，解决难度大.另一种常用方法就是采用试一试，运气成分很大.这种类型题的解法一般应考虑最大的数或最小的数的摆放位置，问题便迎刃而解.

解（1）设用A，B，C，D，E，F，G，H，M分别代表这九个圈.

数字“1”不能填在A，B，C，D，E，F这六个圈内.由题意可知，三数之和等于18，1只能与8，9组合.因为“1”无论填在这6个圈中的哪一个圈内，数字8，9都会重复，所以“1”只能填在G，H或M中.

不妨把“1”放在G中，则E与D这两个圈中分别只能放8与9，不妨把9放到E中，则A与B分别只能放2，7或3，6或4，5.放2，7或3，6均矛盾，故只能放4，5.当A中放5时，因为D中放的8，所以C中放5，不合题意，故A中只能放4，则B中放5.根据同一边上三个圈内之数的和等于18，便可以推出C中填6，F中填7，H中填2，M中填3.结果见图2.

（2）因“1”可分别放入G，H或M中，由对称性可知，每一种放法都有两种不同的填法，3×2=6（种），所以一共有6种不同填法.

图1图2拓展把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等，则这个和的最大值是多少？最小值是多少？

解把填入A，B，C三圈中的三个数之和记为x；D，E，F三圈中的三个数之和记为y；G，H，M三圈中的三个数之和记为z；同一边上三个圈中的三个数之和记为a.则有：

x+y+z=45，

z+3y+2x=6a，

2x+y=3a，解得：x=15，

y=3a-30，

z=60-3a.

又因为1+2+3≤y≤7+8+9，

1+2+3≤z≤7+8+9，

所以6≤3a-30≤24，

6≤60-3a≤24，解得：12≤a≤18

当a=12时，因为1+2+9=12，所以9只能放到G，H或M中.其中的一种填法如图3所示：

所以和的最大值是18，最小值是12.

图3图4现留给读者三个问题，请思考：

问题1：当a=13，14，15，16，17时，能把1，2，3，…，9，这9个数按上述要求填入图1中吗？

问题2：把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等，一共有多少种不同的填法？

问题3：把数字1，2，3，…，15分别填入图4的15个圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上四个圈内数字之和相等，一共有多少种不同的填法？

作者简介赵银梅，女，巴中市第四批中青年数学骨干教师，多次荣获县、市数学赛课一等奖.对新课改教学，数学考试命题，数学解题方法探究等有一定研究，发表论文多篇.endprint