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由一道中考试题引出的几个优美性质及其应用

2014-09-16张树芳张宁

中学数学杂志(初中版) 2014年4期
关键词:反比例考试题双曲线

张树芳+张宁

1试题及解答

如图1,反比例函数y=kx(x>0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为().

2由试题引出的几个优美性质

性质1如图2,反比例函数y=kx(x>0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC交于点D、E,连接OD、OE、DE.则

3应用例举

利用以上性质,可简解同类中考试题或竞赛试题.

例1(2013年四川省绵阳市)如图5,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线y=kx(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;

(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.

图5解析(1)略.

(2)证明:因为△DEF是由△BEF沿EF对折得到的,所以∠EDF=∠EBF=90°.因为点D在直线OC上,所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因为∠GDE+∠GED=90°,所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF;设点E的坐标为(a,2),点F的坐标为(4,b).由性质2知,AEAB=CFCB=a4=b2,所以k=2a=4b.所以点E的坐标为(2b,2).所以AE=2b,DE=BE=4-2b,CF=b,DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知,DCDF=EGED,所以21-b2-b=24-2b,解得,b=34.所以点F的坐标为(4,34),所以k=4×34=3.

点评本题主要考查反比例函数的性质、对称变换的性质及相似三角形的判定和性质.作为一道中考试题,学生解题时可根据“点E是AB的中点”求出点E的坐标,然后利用反比例函数的性质得出点F的坐标.对于问题(2),可利用反比例函数的性质得出k=2a=4b,然后借助于相似三角形的性质求出a或b的值.从而确定出点E或点F的坐标,最后根据点E或点F的坐标确定k的值.这里利用性质2和性质3来求解,只想借此说明这几条性质有一定的用处,这两条性质虽然不要求学生能够理解并运用它解决问题,但作为一线教师,应当知道并理解这几条性质的实质.

图6例2(2013年河南省)如图6,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=kx(k>0)的图像经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.

(1)求k的值及点E的坐标;

(2)若点F是边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式.

解析(1)因为双曲线y=kx(k>0)的图像经过BC的中点D,由性质3知,点E是AB的中点.

因为点B的坐标为(2,3),所以点E的坐标为(2,32).因为双曲线y=kx(k>0)的图像经过点E,所以k=2×32=3.

(2)由(1)知,BD=1,BE=32,BC=2.

作者简介张树芳,女,1986年生,宁夏海原人,中学二级教师,主要从事初等数学研究,自参加工作以来一直从事毕业班数学教学工作,有多名学生在全国初中数学竞赛中取得优异的成绩。张宁,男,1979年生,宁夏彭阳人,中学一级教师,主要从事中考数学、竞赛数学和几何不等式研究。endprint

1试题及解答

如图1,反比例函数y=kx(x>0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为().

2由试题引出的几个优美性质

性质1如图2,反比例函数y=kx(x>0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC交于点D、E,连接OD、OE、DE.则

3应用例举

利用以上性质,可简解同类中考试题或竞赛试题.

例1(2013年四川省绵阳市)如图5,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线y=kx(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;

(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.

图5解析(1)略.

(2)证明:因为△DEF是由△BEF沿EF对折得到的,所以∠EDF=∠EBF=90°.因为点D在直线OC上,所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因为∠GDE+∠GED=90°,所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF;设点E的坐标为(a,2),点F的坐标为(4,b).由性质2知,AEAB=CFCB=a4=b2,所以k=2a=4b.所以点E的坐标为(2b,2).所以AE=2b,DE=BE=4-2b,CF=b,DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知,DCDF=EGED,所以21-b2-b=24-2b,解得,b=34.所以点F的坐标为(4,34),所以k=4×34=3.

点评本题主要考查反比例函数的性质、对称变换的性质及相似三角形的判定和性质.作为一道中考试题,学生解题时可根据“点E是AB的中点”求出点E的坐标,然后利用反比例函数的性质得出点F的坐标.对于问题(2),可利用反比例函数的性质得出k=2a=4b,然后借助于相似三角形的性质求出a或b的值.从而确定出点E或点F的坐标,最后根据点E或点F的坐标确定k的值.这里利用性质2和性质3来求解,只想借此说明这几条性质有一定的用处,这两条性质虽然不要求学生能够理解并运用它解决问题,但作为一线教师,应当知道并理解这几条性质的实质.

图6例2(2013年河南省)如图6,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=kx(k>0)的图像经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.

(1)求k的值及点E的坐标;

(2)若点F是边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式.

解析(1)因为双曲线y=kx(k>0)的图像经过BC的中点D,由性质3知,点E是AB的中点.

因为点B的坐标为(2,3),所以点E的坐标为(2,32).因为双曲线y=kx(k>0)的图像经过点E,所以k=2×32=3.

(2)由(1)知,BD=1,BE=32,BC=2.

作者简介张树芳,女,1986年生,宁夏海原人,中学二级教师,主要从事初等数学研究,自参加工作以来一直从事毕业班数学教学工作,有多名学生在全国初中数学竞赛中取得优异的成绩。张宁,男,1979年生,宁夏彭阳人,中学一级教师,主要从事中考数学、竞赛数学和几何不等式研究。endprint

1试题及解答

如图1,反比例函数y=kx(x>0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为().

2由试题引出的几个优美性质

性质1如图2,反比例函数y=kx(x>0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC交于点D、E,连接OD、OE、DE.则

3应用例举

利用以上性质,可简解同类中考试题或竞赛试题.

例1(2013年四川省绵阳市)如图5,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线y=kx(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;

(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.

图5解析(1)略.

(2)证明:因为△DEF是由△BEF沿EF对折得到的,所以∠EDF=∠EBF=90°.因为点D在直线OC上,所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因为∠GDE+∠GED=90°,所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF;设点E的坐标为(a,2),点F的坐标为(4,b).由性质2知,AEAB=CFCB=a4=b2,所以k=2a=4b.所以点E的坐标为(2b,2).所以AE=2b,DE=BE=4-2b,CF=b,DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知,DCDF=EGED,所以21-b2-b=24-2b,解得,b=34.所以点F的坐标为(4,34),所以k=4×34=3.

点评本题主要考查反比例函数的性质、对称变换的性质及相似三角形的判定和性质.作为一道中考试题,学生解题时可根据“点E是AB的中点”求出点E的坐标,然后利用反比例函数的性质得出点F的坐标.对于问题(2),可利用反比例函数的性质得出k=2a=4b,然后借助于相似三角形的性质求出a或b的值.从而确定出点E或点F的坐标,最后根据点E或点F的坐标确定k的值.这里利用性质2和性质3来求解,只想借此说明这几条性质有一定的用处,这两条性质虽然不要求学生能够理解并运用它解决问题,但作为一线教师,应当知道并理解这几条性质的实质.

图6例2(2013年河南省)如图6,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=kx(k>0)的图像经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.

(1)求k的值及点E的坐标;

(2)若点F是边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式.

解析(1)因为双曲线y=kx(k>0)的图像经过BC的中点D,由性质3知,点E是AB的中点.

因为点B的坐标为(2,3),所以点E的坐标为(2,32).因为双曲线y=kx(k>0)的图像经过点E,所以k=2×32=3.

(2)由(1)知,BD=1,BE=32,BC=2.

作者简介张树芳,女,1986年生,宁夏海原人,中学二级教师,主要从事初等数学研究,自参加工作以来一直从事毕业班数学教学工作,有多名学生在全国初中数学竞赛中取得优异的成绩。张宁,男,1979年生,宁夏彭阳人,中学一级教师,主要从事中考数学、竞赛数学和几何不等式研究。endprint

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