两圆外公切线长的一个性质及应用
2014-09-16徐峰
徐峰
知道两个圆的半径及圆心距就可以求出这两个圆的外公切线的长.如图1，圆O1和圆O2的半径分别为r1和r2，圆心距O1O2=d，两圆的一条外公切线为PQ，P、Q为切点，则不难求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.
如图2，PQ为圆O1和圆O2的外公切线，P、Q为切点，过O1和O2的直线分别交圆O1于A、B，交圆O2于C、D，则可以证明如下性质：PQ2=AC·BD.
证明：设两圆半径分别为r1和r2，O1O2=d，则
PQ2=d2-（r2-r1）2
=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]
=（d-r2+r1）（d+r2-r1）
=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）
=AC·BD.
上面的证明在两圆相交或外切时也是成立的.（图3、图4）
如图4，当两圆外切时，上述性质变为：PQ2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.
利用上面的性质可以很方便地解决某些与两圆外公切线长有关的问题，试举几例.
例1如图5，圆O2和圆O1及圆O3都外切，三个圆的圆心在一条直线上，它们的半径分别是r1，r2，r3.若三个圆有一条外公切线，切点为P、Q、R，则有r22=r1r3，或r2=r1r3.
证明由本文所述性质，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=
2（r1+r2）（r2+r3），因为PQ+QR=PR，
从而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），两边平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.
例2如图6，A、B两个半圆外切，C是以A和B的外公切线为直径所作的半圆，D是以A和B的圆心连线为直径所作的半圆，若四个半圆的面积仍记为A、B、C、D，求证：4D=A+B+2C.
证明设A、B的半径分别为r1和r2，由本文性质，C的直径为2r1r2，半径为r1r2，而D的半径为r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，从而结论成立.
例3如图7，半圆O1和半圆O2外切，它们的一条外公切线为为PQ，P、Q为切点，分别以AO2和O1C为直径作两个半圆，这两个半圆的外公切线为MN，M、N为切点，求证：MN=12PQ.
证明设半圆O1和O2的半径分别为r1和r2，由本文性质，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.
例4如图8，半圆B和半圆A及半圆C都外切，它们的圆心都在一条直线上，这三个半圆有一条公切线，分别以切点所连线段为直径再作两个半圆D和E，显然D和E也外切，再以D和E的外公切线为直径作半圆F，求证：F半径等于B的半径.
证明设半圆A、B、C的半径分别为r1，r2，r3，则由例1的结论有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性质，D的直径为2r1r2，半径为r1r2，E的直径为2r2r3，半径为r2r3，从而F的直径为2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.证毕.endprint
知道两个圆的半径及圆心距就可以求出这两个圆的外公切线的长.如图1，圆O1和圆O2的半径分别为r1和r2，圆心距O1O2=d，两圆的一条外公切线为PQ，P、Q为切点，则不难求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.
如图2，PQ为圆O1和圆O2的外公切线，P、Q为切点，过O1和O2的直线分别交圆O1于A、B，交圆O2于C、D，则可以证明如下性质：PQ2=AC·BD.
证明：设两圆半径分别为r1和r2，O1O2=d，则
PQ2=d2-（r2-r1）2
=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]
=（d-r2+r1）（d+r2-r1）
=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）
=AC·BD.
上面的证明在两圆相交或外切时也是成立的.（图3、图4）
如图4，当两圆外切时，上述性质变为：PQ2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.
利用上面的性质可以很方便地解决某些与两圆外公切线长有关的问题，试举几例.
例1如图5，圆O2和圆O1及圆O3都外切，三个圆的圆心在一条直线上，它们的半径分别是r1，r2，r3.若三个圆有一条外公切线，切点为P、Q、R，则有r22=r1r3，或r2=r1r3.
证明由本文所述性质，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=
2（r1+r2）（r2+r3），因为PQ+QR=PR，
从而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），两边平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.
例2如图6，A、B两个半圆外切，C是以A和B的外公切线为直径所作的半圆，D是以A和B的圆心连线为直径所作的半圆，若四个半圆的面积仍记为A、B、C、D，求证：4D=A+B+2C.
证明设A、B的半径分别为r1和r2，由本文性质，C的直径为2r1r2，半径为r1r2，而D的半径为r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，从而结论成立.
例3如图7，半圆O1和半圆O2外切，它们的一条外公切线为为PQ，P、Q为切点，分别以AO2和O1C为直径作两个半圆，这两个半圆的外公切线为MN，M、N为切点，求证：MN=12PQ.
证明设半圆O1和O2的半径分别为r1和r2，由本文性质，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.
例4如图8，半圆B和半圆A及半圆C都外切，它们的圆心都在一条直线上，这三个半圆有一条公切线，分别以切点所连线段为直径再作两个半圆D和E，显然D和E也外切，再以D和E的外公切线为直径作半圆F，求证：F半径等于B的半径.
证明设半圆A、B、C的半径分别为r1，r2，r3，则由例1的结论有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性质，D的直径为2r1r2，半径为r1r2，E的直径为2r2r3，半径为r2r3，从而F的直径为2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.证毕.endprint
知道两个圆的半径及圆心距就可以求出这两个圆的外公切线的长.如图1，圆O1和圆O2的半径分别为r1和r2，圆心距O1O2=d，两圆的一条外公切线为PQ，P、Q为切点，则不难求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.
如图2，PQ为圆O1和圆O2的外公切线，P、Q为切点，过O1和O2的直线分别交圆O1于A、B，交圆O2于C、D，则可以证明如下性质：PQ2=AC·BD.
证明：设两圆半径分别为r1和r2，O1O2=d，则
PQ2=d2-（r2-r1）2
=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]
=（d-r2+r1）（d+r2-r1）
=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）
=AC·BD.
上面的证明在两圆相交或外切时也是成立的.（图3、图4）
如图4，当两圆外切时，上述性质变为：PQ2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.
利用上面的性质可以很方便地解决某些与两圆外公切线长有关的问题，试举几例.
例1如图5，圆O2和圆O1及圆O3都外切，三个圆的圆心在一条直线上，它们的半径分别是r1，r2，r3.若三个圆有一条外公切线，切点为P、Q、R，则有r22=r1r3，或r2=r1r3.
证明由本文所述性质，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=
2（r1+r2）（r2+r3），因为PQ+QR=PR，
从而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），两边平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.
例2如图6，A、B两个半圆外切，C是以A和B的外公切线为直径所作的半圆，D是以A和B的圆心连线为直径所作的半圆，若四个半圆的面积仍记为A、B、C、D，求证：4D=A+B+2C.
证明设A、B的半径分别为r1和r2，由本文性质，C的直径为2r1r2，半径为r1r2，而D的半径为r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，从而结论成立.
例3如图7，半圆O1和半圆O2外切，它们的一条外公切线为为PQ，P、Q为切点，分别以AO2和O1C为直径作两个半圆，这两个半圆的外公切线为MN，M、N为切点，求证：MN=12PQ.
证明设半圆O1和O2的半径分别为r1和r2，由本文性质，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.
例4如图8，半圆B和半圆A及半圆C都外切，它们的圆心都在一条直线上，这三个半圆有一条公切线，分别以切点所连线段为直径再作两个半圆D和E，显然D和E也外切，再以D和E的外公切线为直径作半圆F，求证：F半径等于B的半径.
证明设半圆A、B、C的半径分别为r1，r2，r3，则由例1的结论有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性质，D的直径为2r1r2，半径为r1r2，E的直径为2r2r3，半径为r2r3，从而F的直径为2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.证毕.endprint
