多目标模型在求解投资组合最优解中的应用
2014-09-15湖南大学王淑燕冯昌黎郑灿畅蒋卓征
湖南大学++王淑燕+++冯昌黎+++郑灿畅++++蒋卓征
摘要：建立一个投资组合首先需要求解其中各项资产的最优比例，马科维茨的均值-方差理论已经成为了此类规划问题的经典解法，但是其锁定风险或收益其一求解另一者的方法需要人为设定约束条件的数值，因而可能不是理论上的最优解。本文试图将多目标模型运用到投资组合中求解风险资产的占比，再在考虑居民风险收益偏好的基础上探索在组合中加入无风险资产，从而为家庭资产的投资组合与运用提出建议。
关键词：投资组合 多目标 最优解 规划求解
一、引言
无论是居民家庭还是机构的投资组合，都统筹会考虑风险与收益两者之间的协调。一般来说，风险资产与风险资产的占比反映了投资者的风险偏好，可以通过调查和计算了解到具体数值，作为风险资产和无风险资产的分配依据。进而在风险资产内部，一般是通过规划求解得出风险资产的最优占比，在具体的求解方法上，我们有均值-方差理论、单因素模型以及多因素模型以及多目标即规划投资组合选择理论。但是在实际运用中，马科维茨的均值-方差理论最为常见。
马科维茨（H.Markowitz）（1952）首先运用数学中概率论知识研究在不确定条件下把模型最优化处理的投资行为，即固定期望收益率求风险最小化时的资产，或固定风险损失率，求期望收益率最大化时的资产。随后，Sharpe和Ross等人提出了市场处于均衡状态下的CAMP模型、市场处于不均衡状态下的特征曲线，单因素模型以及多因素模型等用以估计资产收益。对于投资组合工具，Fouad Ben Abdelaziz等人构建了一个机会约束妥协规划模型，研究了多目标即规划投资组合选择。
二、符号说明及模型假设
（一）符号说明
n ：投资组合中证券的个数；
[R=（R1，R2，...，Rn）T]：证券预期收益率的期望值向量；
[σ2]：证券组合投资收益率方差；
[F=（1，1，...，1）T]：n维单位列向量；
[W=（W1，W2，...，Wn）T]：证券投资比例系数向量；
[E=（σi，j）n×n]：[n]种证券收益率的协方差矩阵；
[R0]：证券组合投资的预期收值；
[α]：根据调查数据求出的居民风险厌恶参数；
（二）模型假设
假设一：我们对风险评价的两个指标是投资收益率均值R和收益率的方差[σ2]。
假设二：理性的投资者会在固定的风险水平下，要求更高收益；在固定收益的水平下，要求更小风险。
假设三：证券投资比率系数为正，卖空在中国市场上很难实现。
假设四：证券市场是有效的，信息透明。
三、多目标组合投资模型的建立与求解
（一）模型建立
在经典的马科维茨投资组合模型中，确定资产组合单个资产收益与风险间的相互关系，在此基础上，按照理性投资者的投资理念求解出最小方差的投资组合.马科维茨关于组合投资模型在资产完全不相关的情况下，资产组合的风险会随着资产数量的增加而消失。马科维茨组合投资模型是在单目标情况下考究最优投资组合，而在现实生活中，这样做是不全面的，所以在这里，将建立多目标投资组合模型进行探究。
1、传统的马科维茨组合投资模型
（1）约束收益，使风险最小。模型一是在一定收益水平下使风险最小，即目标函数为风险[σ2]，约束条件为收益[R0]，如下：
[Minσ2=WTEW]
[stWT?R=R0WT?F=1W≥0]
（2）约束风险，使收益最大。模型二是在一定风险水平下使收益最大，即目标函数为收益，约束条件为风险A，如下：
[Maxf=i=1nWiRi]
[stWTEW=AWT?F=1W≥0]
2、多目标投资组合模型
模型三同时考虑风险与收益，使风险最小的同时收益最大，即构建新的目标函数[g=WTEWi=1nWiRi]，如下：
[Ming=WTEWi=1nWiRi]
[stWT?F=1W≥0]
（二）模型求解
1、约束收益，使风险最小
模型一目标函数为线性约束条件下的二次函数，作为二次规划问题，可用拉格朗日函数求解。
首先，构造拉格朗日函数：
[L（W，λ1，λ2）=WTEW+λ1（WT?R-R0）+λ2（WT?F-1）]
根据矩阵代数理论分别对[W，λ1，λ2]求偏导得：
[?L（W，λ1，λ2）?W=2EW-λ1?R-λ2?F]
[?L（W，λ1，λ2）?λ1=WT?R-R0]
[?L（W，λ1，λ2）?λ2=WT?F-1]
令 [?L（W，λ1，λ2）?W]=0，[?L（W，λ1，λ2）?λ1]=0，[?L（W，λ1，λ2）?λ2]=0 ，可求出：
[λ1=2R0RTE-1F-2RTE-1RFTE-1RRTE-1F-FTE-1FRTE-1R]
[λ2=2R0FE-1F-2FTE-1RRTE-1RFRTE-1F-RTE-1FFTE-1R]
[X=R0RTE-1F-RTE-1RFTE-1RRTE-1F-FTE-1FRTE-1R?E-1R+R0FE-1F-FTE-1RRTE-1RFTE-1F-RTE-1FFTE-1R?E-1F]
2、约束风险，使收益最大
模型二是非线性约束条件的规划问题，可使用迭代算法在Matlab中编程求解。
3、风险与收益的比值最小
模型三是线性约束条件下和非线性目标下的规划问题，可使用模型一构造的拉格朗日函数求解。但在实际中一般通过Matlab编程求解。endprint
四、投资组合实例分析
假设有5种证券（或股票）可供投资，已知上一年月收益率如表1：
表1 5种可投资证券（或股票）的上一年月收益率（%）
[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]
由此得出5种证券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]
[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]
令[R0=10.0]，把数据代入模型三，通过Matlab编程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。
再在此基础上，在已知居民风险厌恶参数[α]的条件下，在投资组合中加入无风险资产，将投资比例在风险资产和无风险资产之间进行再分配，最终得到包含无风险资产的投资组合最优解，如表2：
五、结束语
多目标投资组合模型在马克维茨的均值-方差模型的基础上继续添加目标，使模型更加可控。在投资方案的设计中，多目标投资模型同时考虑了客户对收益和风险的要求，更贴近客户家庭的实际需求，从而使得投资组合中股票和债券的比例更加准确，以便合理分配资金，尽可能地实现目标收益率，从而为家庭资产的投资组合建立和求解的方法选择给出有价值的参考。
参考文献：
[1]雷晓燕，周月刚.中国家庭的资产组合选择：健康状况与风险偏好[J].金融研究，2010，（1）：31-45
[2]邹红，喻开志.中国城镇居民家庭资产选择行为研究[J].金融发展研究，2010，（9）：13-17
[3]赵晓英，曾令华.我国城镇居民投资组合选择的动态模拟研究[J].金融研究，2007，（4）：72-86
[4]汪红驹，张慧莲.资产选择，风险偏好与储蓄存款需求[J].经济研究，2006，（6）：48-58
[5]史代敏，宋艳.居民家庭金融资产选择的实证研究[J].统计研究，2005，（10）
[6]Markowitz H. Portfolio selection[J].Journal of finance， 1952， 7：77-91
[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint
四、投资组合实例分析
假设有5种证券（或股票）可供投资，已知上一年月收益率如表1：
表1 5种可投资证券（或股票）的上一年月收益率（%）
[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]
由此得出5种证券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]
[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]
令[R0=10.0]，把数据代入模型三，通过Matlab编程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。
再在此基础上，在已知居民风险厌恶参数[α]的条件下，在投资组合中加入无风险资产，将投资比例在风险资产和无风险资产之间进行再分配，最终得到包含无风险资产的投资组合最优解，如表2：
五、结束语
多目标投资组合模型在马克维茨的均值-方差模型的基础上继续添加目标，使模型更加可控。在投资方案的设计中，多目标投资模型同时考虑了客户对收益和风险的要求，更贴近客户家庭的实际需求，从而使得投资组合中股票和债券的比例更加准确，以便合理分配资金，尽可能地实现目标收益率，从而为家庭资产的投资组合建立和求解的方法选择给出有价值的参考。
参考文献：
[1]雷晓燕，周月刚.中国家庭的资产组合选择：健康状况与风险偏好[J].金融研究，2010，（1）：31-45
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[6]Markowitz H. Portfolio selection[J].Journal of finance， 1952， 7：77-91
[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint
四、投资组合实例分析
假设有5种证券（或股票）可供投资，已知上一年月收益率如表1：
表1 5种可投资证券（或股票）的上一年月收益率（%）
[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]
由此得出5种证券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]
[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]
令[R0=10.0]，把数据代入模型三，通过Matlab编程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。
再在此基础上，在已知居民风险厌恶参数[α]的条件下，在投资组合中加入无风险资产，将投资比例在风险资产和无风险资产之间进行再分配，最终得到包含无风险资产的投资组合最优解，如表2：
五、结束语
多目标投资组合模型在马克维茨的均值-方差模型的基础上继续添加目标，使模型更加可控。在投资方案的设计中，多目标投资模型同时考虑了客户对收益和风险的要求，更贴近客户家庭的实际需求，从而使得投资组合中股票和债券的比例更加准确，以便合理分配资金，尽可能地实现目标收益率，从而为家庭资产的投资组合建立和求解的方法选择给出有价值的参考。
参考文献：
[1]雷晓燕，周月刚.中国家庭的资产组合选择：健康状况与风险偏好[J].金融研究，2010，（1）：31-45
[2]邹红，喻开志.中国城镇居民家庭资产选择行为研究[J].金融发展研究，2010，（9）：13-17
[3]赵晓英，曾令华.我国城镇居民投资组合选择的动态模拟研究[J].金融研究，2007，（4）：72-86
[4]汪红驹，张慧莲.资产选择，风险偏好与储蓄存款需求[J].经济研究，2006，（6）：48-58
[5]史代敏，宋艳.居民家庭金融资产选择的实证研究[J].统计研究，2005，（10）
[6]Markowitz H. Portfolio selection[J].Journal of finance， 1952， 7：77-91
[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint