有关奇完全数的一点注记

张四保，刘启宽

（1.喀什师范学院数学系，新疆 喀什 844008；2.昆明学院数学系，云南 昆明 650214；3.成都信息工程学院数学学院，四川 成都 610225）

1 预备知识

设N是正整数集合，设σ（n）是正整数n所有不同正约数（包括1和其自身）的和函数.如果正整数n满足σ（n）＝2n，则n被称为完全数.此时，若n是偶数，则n被称为偶完全数；若n是奇数，则n称为奇完全数.到目前为止，只发现了48个偶完全数，而尚未找到奇完全数，也未能给出其存在与否的合理性证明.是否存在奇完全数是数论中一个尽人皆知的没有解决的问题.［1］

奇完全数存在性问题虽尚未解决，但其有着众多的研究热点，如相异素因数个数的下界估计与素因数的大小估计，以及奇完全数的下界大小估计等.对于这些有关奇完全数的热点问题的研究情况，可参见文献［3－8］.

对于奇数而言其个位数字必是1，3，5，7，9中之一.而对于奇完全数的各个位次上数字的取值情况，以及取值条件的确定，对奇完全数存在的问题具有一定的促进作用.本文通过对奇完全数的Euler因子以及非Euler因子及其指数的讨论，利用中国剩余定理对n的个位数字进行探讨.

为了叙述的方便，现对一些符号加以说明：

（1）ordp（n）表示一个非负有理数s，使得ps整除n，而ps＋1不整除n；

（2）［x］表示不超过实数x的最大整数；

2 主要结论及证明

引理1 令π为给定奇完全数n的欧拉素因子，则有πordπ（n）≡π（mod 5）.

证明 如果π＝5，则证明是平凡的.现在令π≠5，因为ordp（n）是偶数，所以

由费马小定理及Legendre符号的定义，有

故引理2得证.

定理1 令π为给定奇完全数n的欧拉素因子，则有

［1］盖伊R K.数论中未解决的问题［M］.第二版.张明尧，译.北京：科学出版社，2006：59.

［2］EULER L.Commentationes arithmeticae collectae［J］.Tractayus de Numerorum Doctrina，1849，2：515－517.

［3］HAGIS P.Outline of a proof that every odd perfect number has eight prime factors［J］.Math Comp，1980，35：1027－1032.

［4］NIELSEN P P.Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors［J］.Math Comp，2007，76：2109－2120.

［5］ZHANG SIBAO，DENG YOUNG.Numberω（n）of distinct prime factors for a kind of odd perfect number［J］.中国科学院研究生院学报，2011，28（4）：548－550.

［6］VOIGHT J.On the nonexitence of odd perfect numbers［J］.MASS Selecta，2003：293－300.

［7］GOTO T，OHNO Y.Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108［J］.Math Comp，2008，77：1859－1868.

［8］COHEN G L，SORLI R M.On the number of distinct prime factors of odd perfect number［J］.Journal of Discrete Algorithms，2003（1）：21－35.