基于Adomian分解法的变系数组合KdV方程的近似解

卢殿臣，沈芙蓉，洪宝剑

(江苏大学 非线性科学研究中心，江苏 镇江 212013)

随着非线性科学的蓬勃发展，非线性问题的求解一直是数学物理工作者研究的重要课题．然而，由于非线性问题的复杂性，绝大多数非线性微分方程没有精确解，人们不得不发展各类求近似解的方法.近几年发展起来的Adomian分解法[1-2]就是一种寻求非线性微分方程近似解的有效方法．这种方法可以获得具有较高精度的近似解,已经被广泛应用到许多带有孤立波解、有理函数解及其他形式解的非线性微分方程[3-9]，充分体现了其适普性和高效性．对于常系数组合KdV方程，国内外学者已用各种方法作出了大量的结果[10-14]．文献[15]利用Adomian分解法得到了常系数mKdV方程的近似解，而关于变系数组合KdV方程的研究很少.论文将用Adomian分解法求出变系数组合KdV方程的近似解．由于变系数方程更能准确刻画众多的物理现象，因此对其进行求解意义重大．

1 模型与Adomian分解法

讨论变系数组合KdV方程如下

ut+a(t)uux+b(t)u2ux+c(t)uxxx=0，

(1)

其中：a(t),b(t),c(t)是关于t的任意函数．

u(x,t)=u(x,0)-L-1(a(t)uux+b(t)u2ux+c(t)uxxx)．

(2)

由Adomian分解法，可以令

(3)

(4)

其中：Ak为Adomian多项式[2]，定义如下

于是,有

A0=a(t)u0u0,x+b(t)u0u0,x，

A1=a(t)u0u1,x+a(t)u1u0,x+b(t)u0u1,x+2b(t)u0u1u0,x，

A2=a(t)u0u2,x+a(t)u1u1,x+a(t)u2u0,x+b(t)u0u2,x+

2b(t)u0u1u1,x+2b(t)u0u2u0,x+b(t)u1u0,x.

将(2)式参数化，则有

(5)

比较上式两边关于λ的同次幂系数，可得递推式

u0=u(x,0)，

uk+1=-L-1(Ak+c(t)uk,xxx)．

(6)

利用Mathematic软件，可以逐步求出每一个uk(x,t)，从而由(3)式，有

2 椭圆函数形式的近似解

如果在方程(1)中取a(t)=6t,b(t)=6t,c(t)=t，则方程(1)化为

ut+6tuux+6tu2ux+tuxxx=0,

(7)

考虑其初值条件

其中：k为任意常数，m为模数，0≤m≤1．

下列式子中cn(kx,m)为椭圆函数，满足

于是，有

u0,x=-k2mdn(kx,m)sn(kx,m)，

u0,xxx=k4mdn(kx,m)sn(kx,m)(4mcm2(kx,m)+dn2(kx,m)-msn2(kx,m))，

3m)cn2(kx,m)-2k2dn2(kx,m)+2k2msn2(kx,m)),

4k2(-3+4k2m(-11+12m)cn2(kx,m))dn4(kx,m)-4k4dn6(kx,m)+

m((3+4k2(2-3m)m2(kx,m))2+8k2(21-18m+4k2m(41+

6m(-10+3m))cn2(kx,m))dn2(kx,m)-12k4(-45+

44m)dn4(kx,m))sn2(kx,m)+4k2m2(-3+k2(4m(-11+12m)cn2(kx,m)+

3(-45+44m)dn2(kx,m)))sn4(kx,m)+4k4m36(kx,m))．

u3=-L-1(6tu0u2,x+6tu1u1,x+6tu2u0,x+6tu0u2,x+

12tu0u1u1,x+12tu0u2u0,x+6tu1u0,x+tu2,xxx)=

msn2(kx,m)(-3+2k2msn2(kx,m))3+4k4dn6(kx,m)(9+8k2m(-307+

306m)sn2(kx,m))+64k4m3cn6(kx,m)(9(2-3m)2+k2(1 976-3 996m+

2 538m2-513m3)dn2(kx,m)+k2m(-1 976+3 996m-2 538m2+

513m3)sn2(kx,m))+6k2dn4(kx,m)(9+18k2m(-45+44m)sn2(kx,m)+

8k4m2(913-1 056m+144m2)sn4(kx,m))+dn2(kx,m)(27+108k2m(-7+

6m)sn2(kx,m)-108k4m2(-45+44m)sn4(kx,m)+32k6m3(-307+

306m)sn6(kx,m))+48k2m2cn4(kx,m)(18-27m+2k4(2 564-3 564m+

999m2)dn4(kx,m)-9k2m(76-116m+39m2)sn2(kx,m)+2k4m2(2 564-

3564m+999m2)sn4(kx,m)+k2dn2(kx,m)(9(76-116m+39m2)+

4k2m(-5 180+7 764m-2 853m2+270m3)sn2(kx,m)))+4mcn2(kx,m)(27+

4k6(1 884-1 845m)dn6(kx,m)+27k2m(-22+21m)sn2(kx,m)-3 672k4(-1+

m)m2sn4(kx,m)+4k6m3(-1 844+1 845m)sn6(kx,m)-12k4dn4(kx,m)(306(-1+

m)+k2m(10 820-13 449m+2 628m2)sn2(kx,m))+3k22(kx,m)(198-189m-

144k2m(43-52m+9m2)sn2(kx,m)+4k4m2(10 820-13 449m+2 628m2)sn4(kx,m))))．

…

因此,方程(7)的4级近似解为

φ4=u0(x,t)+u1(x,t)+u2(x,t)+u3(x,t).

(8)

3 数值模拟与误差分析

根据文献[16]，方程ut+6uux+6u2ux+uxxx=0有精确解

由此不难推出方程ut+6tuux+6tu2ux+tuxxx=0有精确解

(9)

且满足

这正是方程(7)当m=1,k=1时的情形.

接下来，用数值模拟的方法给出m=1,k=1时方程(7)的近似解φ4与精确解式(9)的误差分析，如表1所示.

表1 方程的精确解、近似解以及绝对误差、相对误差

当m=1,k=1时,方程(7)的精确解与近似解φ4的3维立体图、等高线和密度图如图1～4所示.

图1 方程的精确解Fig.1 Exact solution

图2 方程的近似解 Fig.2 Approximate solution

图3 方程近似解的等高线图Fig.3 The contour plot of the approximate solution

图4 方程近似解的密度图Fig.4 The density plot of the approximate solution

4 结束语

论文首次利用Adomian分解法求解带有初值条件的变系数组合KdV方程，得到了具有椭圆函数形式的近似解, 并进行了误差估计,给出了近似解的3维立体图、等高线图和密度图. 数值模拟的结果表明所求的4级近似解与其精确解高度相似．研究表明，Adomian分解法可应用于变系数非线性微分方程，而且可以根据需要通过增加计算项数来提高近似解的精确度．但是，如何将此方法应用于高阶高维的系统还有待于进一步研究．

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