形函数时变性对汽车公路梁桥竖向耦合振动影响分析

陈代海，陈 淮，李 整，郭文华

(1.郑州大学 土木工程学院，郑州 450001；2.中南大学 土木工程学院，长沙 410075)

用有限元法分析汽车与梁桥耦合振动时，梁单元内部插值一般用三次Hermite形函数N[1]，若用x表示车轮与梁单元接触点在该单元内的相对位置，因梁单元的形函数为x的函数，则N可表示为N=N(x)。汽车在桥梁上行驶时，x为行车速度v与时间t的函数[2]，即x=x(v,t)，此时N不仅为距离x的函数，亦为时间t的函数，即N=N(x,t)。此由时间变化引起的形函数特性定义为梁单元形函数时变性。公路桥梁车辆耦合振动分析中通常不考虑形函数时变性对车桥耦合系统竖向振动响应影响。用大型通用有限元软件计算时(该类软件目前无法考虑形函数时变性)，关于形函数时变性对车桥竖向振动响应影响及所需考虑其影响情况均值得探讨。

国内外对铁路桥与列车的车桥耦合振动研究较多[3-6]，探讨不同因素对车桥耦合振动影响[7-9]。但对公路桥梁与汽车的车桥耦合振动研究较少。韩万水等[10]对实测路面粗糙度下车桥系统动力响应及频谱特性进行对比分析；殷新锋等[11]研究轮胎接触面对车桥耦合振动影响；王达等[12]计算3种不同桥面平整度下大跨度悬索桥车桥耦合振动响应。现有车桥耦合振动研究中，往往忽略梁单元形函数时变性对车桥动力响应影响。

本文据车桥耦合振动分析理论，引入Hermite插值函数，推导形函数时变性在车桥耦合振动方程中的贡献值。以公路简支T梁桥为例，汽车采用多刚体振动模型，计算汽车以不同车速通过简支T梁桥时的车桥竖向动力响应，探讨梁单元形函数时变性对汽车公路梁桥竖向耦合振动影响。

1 车桥耦合振动方程

以桥梁在自重、无车辆作用下的平衡状态为初始状态，分别以桥梁与车辆静平衡位置为坐标原点建立坐标系，见图1。由于桥梁多采用弹性连续体模拟，故可用常规有限元法首先获得桥梁自身质量矩阵Mb、刚度矩阵Kb及阻尼矩阵Cb；而汽车多采用弹簧、阻尼相连的多刚体模型，易于单独计算作用在桥梁上的车辆惯性力、阻尼力、弹性力及虚功，其动力特性矩阵由“对号入座”法则[3]形成。

图1 车桥接触点示意图

对汽车的多刚体模型，阻尼元件可分为两类，第一类连接两刚体，两端产生的相对速度仅与车辆自由度有关；第二类一端连接刚体，一端位于接触点，两端产生的相对速度不仅与车辆自由度有关，亦与桥梁自由度、路面粗糙度有关。计算第一类阻尼元件阻尼力所作虚功，提取相应阻尼系数，直接形成汽车阻尼子矩阵Cv。计算第二类阻尼元件阻尼力所作虚功，提取相应阻尼系数，直接形成附加的汽车阻尼子矩阵Cv1、车桥耦合阻尼矩阵Cbv，Cvb及附加的桥梁阻尼子矩阵Cbbv；提取相应荷载系数，可直接形成对桥梁的附加荷载列阵Pbvr2及对汽车的附加荷载列阵Pvr2。相应刚度矩阵可用形成阻尼矩阵方法获得。汽车轴重作为外荷载形成对桥梁的附加荷载列阵Pbvg。详见文献[13]。

将汽车与桥梁视为整体系统，据全计算化原理[14]，将单独桥梁振动方程直接扩充为桥梁-汽车耦合系统振动方程：

(1)

汽车行驶在桥梁上时，桥梁-汽车耦合系统运动方程为一组变系数的二阶微分方程。需注意的是，随汽车位置的变化，并非所有子矩阵均随时间变化，如Mb，Mv，Kb，Kv，Kv1，Cb，Cv，Cv1，Pbvg。编制计算程序时，该子矩阵可专门储存以便随时调用。而有些子矩阵如Mbbv，Kbbv，Kbv，Kvb，Cbbv，Cbv，Cvb，Pbrv1，Pbrv2，Prv1，Prv2均为时变的，需据每步不同车辆运行位置重新形成，并叠加到相应位置。因各总体矩阵随时间变化，故此车桥系统亦称时变系统。

采用直接积分法求解式(1)(车辆与桥梁视为整体系统，无需迭代求解)，可同时获得桥梁与汽车的空间动力响应。据上述原理，用Fortran语言编制桥梁-汽车耦合系统动力分析软件BVIP (Bridge Vehicle Interaction Program)。该软件功能较完善，不限定具体桥梁形式，可用于由梁单元、杆单元、质量点单元等模拟的常见桥梁，如简支梁、连续梁、连续刚构桥、斜拉桥等；亦可考虑不同车辆类型、任意车辆数目、多车道及车辆相向行驶等多种工况[13]。

2 形函数时变性在车桥耦合振动方程中的体现

形函数时变性在车桥耦合振动方程中的体现主要通过惯性力、阻尼力对系统阻尼矩阵、刚度矩阵进行修正实现。以阻尼力修正刚度矩阵为例进行说明。选某第二类竖向阻尼元件(一端连接刚体，一端位于接触点处，见图1)，在是否考虑梁单元形函数时变性两种情况下，计算阻尼力所做虚功，比较二者差异，从而体现形函数时变性对车桥耦合振动方程影响。

汽车通过桥梁时，设车轮与路面始终保持接触，车轮与桥梁接触点位移zjcd包含桥梁动态位移zb与路面粗糙度rz两部分，即

zjcd=zb+rz

(2)

式中：zb为桥梁动态位移，可表示为

zb=ND

(3)

式中：

N=[N1N5dyN2N3N6dyN4]

(4)

(5)

D=[ziφiθizjφjθj]T

(6)

式中：zi，φi，θi，zj，φj，θj分别为梁单元i，j端竖向位移、绕X轴转角、绕Y轴转角；dy为接触点与桥梁单元形心在整体坐标系中y坐标差；l为单元长度。

(7)

(8)

阻尼力所做虚功δWc可表示为

(9)

不考虑梁单元形函数时变性时，即N=N(x)，则

(10)

此时阻尼元件两端竖向相对速度为

(11)

阻尼力所做虚功为

N2δθi-N3δzj-N6δφjdy-N4δθj)

(12)

式中：v=∂x/∂t为行车速度，仅考虑匀速行车情况，即v为常量。

考虑梁单元形函数时变性时，即N=N(x,t)，则

(13)

式中：

(14)

此时阻尼元件两端竖向相对速度为

(15)

阻尼力所做虚功为

N2δθi-N3δzj-N6δφjdy-N4δθj)

(16)

3 算例分析

3.1 桥梁模型

为简化计算，以公路简支T梁桥为研究对象，桥长50 m，T梁高1.74 m，翼缘板宽2.4 m、厚0.24 m，腹板厚0.2 m。采用空间梁单元离散桥梁结构，按简支梁支座布置形式设置桥梁边界条件。对常见的多片式公路桥建立有限元模型时，为考虑横隔板影响，可用梁单元模拟横隔板，将多片式公路桥离散成由梁单元组成的梁格体系。

3.2 汽车模型

图2 汽车模型图

汽车采用由弹簧、阻尼器相连的多刚体模型，弹簧均为线性，阻尼按粘性阻尼计算，车轮与桥面竖向密贴，将随机桥面粗糙度作为激励输入。车身具有侧摆、浮沉、侧滚、点头、摇头5个自由度，4个车轮分别具有侧摆、浮沉2个自由度，每辆汽车共有13个自由度，见图2。模型各参数取值见文献[13]。

3.3 路面粗糙度模型

选定功率谱密度函数后，采用三角级数法产生路面粗糙度样本值[13]：

(17)

式中：r(x)为产生的路面粗糙度序列；S(Ωk)为给定功率谱密度函数；Ωk为在给定谱密度间隔内第k个空间频率(k=1,2,…,N)，其中Ω1，ΩN分别为考虑频率的下限、上限；ΔΩ为频率间隔带宽；θk为[0～2π]内均匀分布幅角。

3.4 形函数时变性对车桥耦合振动影响分析

基于桥梁、汽车有限元模型，计入路面粗糙度，采用自编分析程序，在是否考虑梁单元形函数时变性情况下，分别计算汽车以不同车速通过桥梁时车桥动力响应。选厢式货车、一汽佳宝及桑塔纳三种典型汽车分析参数[15]，10辆车组成一个车队，每辆车类型由计算机生成的随机数随机确定，见图3。计算时，车速分别取60 km/h、80 km/h、100 km/h、120 km/h。

图3 车队车辆类型布置示意图

桥梁上选跨中位置、车辆中选车队第1辆汽车分别给出相应竖向振动响应。不同车速下车桥竖向动力响应幅值比较见表1、图4、图5，桥梁中点及车体重心时程响应曲线见图6～图8，其中，“考虑”、“不考虑”分别表示是否考虑梁单元形函数时变性情况。

表1 形函数时变性考虑前后车桥竖向动力响应幅值比较

图4 桥梁中点竖向加速度幅值比较

图7 车速120 km/h时桥梁中点竖向位移时程比较

图8 车速120 km/h下桥梁中点竖向加速度时程比较

由表1、图4、图5看出，梁单元形函数时变性对车桥竖向动力响应幅值存在影响。对桥梁响应而言，该影响有随车速增加而增大趋势，此因考虑形函数时变性后，惯性力及阻尼力增加与速度相关的附加项，增加速度可加大对车桥耦合系统影响。对车体响应，较形函数时变性对加速度幅值影响，其对位移幅值影响明显，该点对桥梁响应恰恰相反。

对比图6、图7发现，速度增大情况下梁单元形函数时变性对桥梁中点竖向位移影响愈加显著。由图7、图8看出，当汽车以高速通过桥梁时，形函数时变性对车桥耦合系统影响明显。

4 结 论

(1) 考虑梁单元形函数时变性后，惯性力、阻尼力表达式中增加与速度相关的附加项，其对车桥耦合系统刚度矩阵、阻尼矩阵进行修正，速度增加加大其对车桥耦合系统竖向振动影响。

(2) 车桥竖向振动分析中，尤其高速行驶车辆车桥耦合振动分析中，需考虑梁单元形函数时变性影响。

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