浅谈含变限积分的未定式求极限问题

邢秀侠

摘要：本文通过三个例子详细分析了含变限积分的未定式求极限的常见方法，并总结了各种方法的特点。

关键词：极限；未定式；变限积分；洛必达法则；牛顿-莱布尼兹公式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）25-0092-02

在高等数学课程中，极限是一个最基本的概念，它贯穿着教材的始终。自然求极限问题也是这门课程中的一类基本而重要的问题。纵观所有求极限问题，代入法是深受工科大学生喜爱的求极限方法。而未定式求极限由于涉及到无穷大、无穷小，四则运算法则不再成立，于是成为学生容易感到困惑并经常犯错的地方，学生常常感觉无从下手，这更是属于高等数学教学中的难点。常见的未定式求极限方法有很多，如消去零因子法、同除以最高次幂、同乘共轭因式、两类重要极限及其推广形式、等价无穷小替换、泰勒公式等，还有最强大的洛必达法则。对学生而言，如果不做一定量的练习，综合运用多种方法求极限通常是很困难的。碰到含积分的未定式求极限问题时，还要先想办法去掉积分号，然后再综合利用求极限的各种方法，所以学生会觉得更难了。本文接下来将通过几个典型例子详细分析如何求含变限积分的未定式的极限，给出常见的几种思路，并总结每种方法的特点和局限性。

常见的去积分号的方法有：牛顿-莱布尼兹公式、积分中值定理、变限积分求导公式等。学生最喜欢的就是牛顿-莱布尼兹公式，这个公式能把积分变成数值，通常这几乎是他们碰到定积分或变限积分的第一反应。但遗憾的是，能积出来的或者说容易积出来的积分实在不多，所以这个思路的局限性很明显。还有一种方法是利用积分中值定理，它能把积分变成简单的函数，从而去掉积分号，但不足之处是表达式中含有中值ζ，而关于ζ可知的信息太少，仅知道它属于积分区间。故当求未定式极限需借助中值ζ的更详细的信息时，这个思路很可能只能去掉积分号，却不一定能求出极限了。洛必达法则是求解未定式极限的强大工具。它把 型未定式求极限转化为分子分母分别求导后再求极限，而恰巧变限积分求导可以去掉积分号，所以将洛必达法则和变限积分求导相结合是求解含变限积分的未定式极限问题的一种非常有效的方法。

1.例1： .法一分析：这属于 型未定式。学生的第一反应是把分子上的积分积出来，恰巧这个例子是可以积出来的。解： = = .此时仍属于 型未定式。可以考虑利用等价无穷小替换sinx～x，sinx2～x2，当x→0时，可得 = =1.这一步也可以利用第一类重要极限 =1及其推广形式 =1得到.故 =1.法二分析：也可以将变限积分求导和洛必达法则相结合去积分号，因被积函数cosx在积分区间[0，x2]上连续，由微积分学基本定理可知，变限积分函数 cost dt在区间[0，x2]上可导，分母上xsinx也可导，所以可以使用洛必达法则。另外，在利用洛必达法则之前，为了求导简单些，可以先用等价无穷小替换：sinx～x，当x→0时，解： = = = cosx2=1.其中第一个等号用的是等价无穷小替换，第二个等号用的是洛必达法则，最后一个等号是用复合函数的连续性和余弦函数的连续性得到的。法三分析：也可以用积分中值定理去积分号。解：由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[0，x2]使得 cost dt=cosζx·x2.因为当x变动时，中值ζ也变动，所以ζ依赖于x，为表示这种依赖关系，这里用ζx表示中值，于是 = = （cosζx ）.注意到x→0时，x2→0，由夹逼定理知此时ζx→0，所以 cosζx= cosζx=1.由等价无穷小sinx～x，当x→0时，知 =1.最后利用乘积的极限法则，有 （ cosζx）= · cosζx=1.故 =1.

2.例2： .分析：这是属于 型未定式。被积函数是属于“积不出来”的类型，牛顿-莱布尼兹公式不能用，可以考虑利用洛必达法则或积分中值定理去积分号。法一：用变限积分求导和洛必达法则去积分号。 = ，由第一类重要极限、复合函数的连续性以及乘积的极限法则，可得 =- e · = .故 = .法二：用积分中值定理去积分号。由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[cosx，1]，使得 e dt=e ·（cosx-1），所以 = ，注意到x→0时，cosx→1，由夹逼定理知此时ζx→1，所以 e = e = .由等价无穷小cosx-1～- x2，当x→0时，知 = =- e = .故 = .

3.例3： .分析：这是属于 型未定式。被积函数也是属于“积不出来”的类型，不能用牛顿-莱布尼兹公式，可以尝试利用洛必达法则或者积分中值定理去积分号。法一：用变限积分求导和洛必达法则去积号。 = = ，再利用等价无穷小sinx～x，当x→0时，可得 =1.故 = .注：如果利用积分中值定理，会发现可以去掉积分号，但是仍然求不出极限。由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[0，x2]，使得 sint2 dt=sinζ2x·x2.因此， = = .注意到x→0时，x2→0，由夹逼定理知此时ζx→0，所以 sinζ2x=0.上式的最右端仍然是 型未定式，但由于不知道ζx对x的依赖关系，也不清楚ζx→0的具体速度，导致极限 求不出来。

通过例1～例3，我们发现对于含变限积分的 型未定式，求解时第一步可以尝试三条路径去掉积分号，利用牛顿-莱布尼兹公式、洛必达法则或积分中值定理，然后再综合运用各种求极限方法求解。对例1来说，三种方法均适用，例2只能用其中两种方法，例3只能用其中一种方法。从例2和例3中，我们很容易看出牛顿-莱布尼兹公式和积分中值基金项目：本文作者受到“北京高等学校青年英才计划项目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No.YETP1593）资助。endprint

摘要：本文通过三个例子详细分析了含变限积分的未定式求极限的常见方法，并总结了各种方法的特点。

关键词：极限；未定式；变限积分；洛必达法则；牛顿-莱布尼兹公式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）25-0092-02

在高等数学课程中，极限是一个最基本的概念，它贯穿着教材的始终。自然求极限问题也是这门课程中的一类基本而重要的问题。纵观所有求极限问题，代入法是深受工科大学生喜爱的求极限方法。而未定式求极限由于涉及到无穷大、无穷小，四则运算法则不再成立，于是成为学生容易感到困惑并经常犯错的地方，学生常常感觉无从下手，这更是属于高等数学教学中的难点。常见的未定式求极限方法有很多，如消去零因子法、同除以最高次幂、同乘共轭因式、两类重要极限及其推广形式、等价无穷小替换、泰勒公式等，还有最强大的洛必达法则。对学生而言，如果不做一定量的练习，综合运用多种方法求极限通常是很困难的。碰到含积分的未定式求极限问题时，还要先想办法去掉积分号，然后再综合利用求极限的各种方法，所以学生会觉得更难了。本文接下来将通过几个典型例子详细分析如何求含变限积分的未定式的极限，给出常见的几种思路，并总结每种方法的特点和局限性。

常见的去积分号的方法有：牛顿-莱布尼兹公式、积分中值定理、变限积分求导公式等。学生最喜欢的就是牛顿-莱布尼兹公式，这个公式能把积分变成数值，通常这几乎是他们碰到定积分或变限积分的第一反应。但遗憾的是，能积出来的或者说容易积出来的积分实在不多，所以这个思路的局限性很明显。还有一种方法是利用积分中值定理，它能把积分变成简单的函数，从而去掉积分号，但不足之处是表达式中含有中值ζ，而关于ζ可知的信息太少，仅知道它属于积分区间。故当求未定式极限需借助中值ζ的更详细的信息时，这个思路很可能只能去掉积分号，却不一定能求出极限了。洛必达法则是求解未定式极限的强大工具。它把 型未定式求极限转化为分子分母分别求导后再求极限，而恰巧变限积分求导可以去掉积分号，所以将洛必达法则和变限积分求导相结合是求解含变限积分的未定式极限问题的一种非常有效的方法。

1.例1： .法一分析：这属于 型未定式。学生的第一反应是把分子上的积分积出来，恰巧这个例子是可以积出来的。解： = = .此时仍属于 型未定式。可以考虑利用等价无穷小替换sinx～x，sinx2～x2，当x→0时，可得 = =1.这一步也可以利用第一类重要极限 =1及其推广形式 =1得到.故 =1.法二分析：也可以将变限积分求导和洛必达法则相结合去积分号，因被积函数cosx在积分区间[0，x2]上连续，由微积分学基本定理可知，变限积分函数 cost dt在区间[0，x2]上可导，分母上xsinx也可导，所以可以使用洛必达法则。另外，在利用洛必达法则之前，为了求导简单些，可以先用等价无穷小替换：sinx～x，当x→0时，解： = = = cosx2=1.其中第一个等号用的是等价无穷小替换，第二个等号用的是洛必达法则，最后一个等号是用复合函数的连续性和余弦函数的连续性得到的。法三分析：也可以用积分中值定理去积分号。解：由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[0，x2]使得 cost dt=cosζx·x2.因为当x变动时，中值ζ也变动，所以ζ依赖于x，为表示这种依赖关系，这里用ζx表示中值，于是 = = （cosζx ）.注意到x→0时，x2→0，由夹逼定理知此时ζx→0，所以 cosζx= cosζx=1.由等价无穷小sinx～x，当x→0时，知 =1.最后利用乘积的极限法则，有 （ cosζx）= · cosζx=1.故 =1.

2.例2： .分析：这是属于 型未定式。被积函数是属于“积不出来”的类型，牛顿-莱布尼兹公式不能用，可以考虑利用洛必达法则或积分中值定理去积分号。法一：用变限积分求导和洛必达法则去积分号。 = ，由第一类重要极限、复合函数的连续性以及乘积的极限法则，可得 =- e · = .故 = .法二：用积分中值定理去积分号。由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[cosx，1]，使得 e dt=e ·（cosx-1），所以 = ，注意到x→0时，cosx→1，由夹逼定理知此时ζx→1，所以 e = e = .由等价无穷小cosx-1～- x2，当x→0时，知 = =- e = .故 = .

3.例3： .分析：这是属于 型未定式。被积函数也是属于“积不出来”的类型，不能用牛顿-莱布尼兹公式，可以尝试利用洛必达法则或者积分中值定理去积分号。法一：用变限积分求导和洛必达法则去积号。 = = ，再利用等价无穷小sinx～x，当x→0时，可得 =1.故 = .注：如果利用积分中值定理，会发现可以去掉积分号，但是仍然求不出极限。由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[0，x2]，使得 sint2 dt=sinζ2x·x2.因此， = = .注意到x→0时，x2→0，由夹逼定理知此时ζx→0，所以 sinζ2x=0.上式的最右端仍然是 型未定式，但由于不知道ζx对x的依赖关系，也不清楚ζx→0的具体速度，导致极限 求不出来。

通过例1～例3，我们发现对于含变限积分的 型未定式，求解时第一步可以尝试三条路径去掉积分号，利用牛顿-莱布尼兹公式、洛必达法则或积分中值定理，然后再综合运用各种求极限方法求解。对例1来说，三种方法均适用，例2只能用其中两种方法，例3只能用其中一种方法。从例2和例3中，我们很容易看出牛顿-莱布尼兹公式和积分中值基金项目：本文作者受到“北京高等学校青年英才计划项目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No.YETP1593）资助。endprint

摘要：本文通过三个例子详细分析了含变限积分的未定式求极限的常见方法，并总结了各种方法的特点。

关键词：极限；未定式；变限积分；洛必达法则；牛顿-莱布尼兹公式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）25-0092-02

在高等数学课程中，极限是一个最基本的概念，它贯穿着教材的始终。自然求极限问题也是这门课程中的一类基本而重要的问题。纵观所有求极限问题，代入法是深受工科大学生喜爱的求极限方法。而未定式求极限由于涉及到无穷大、无穷小，四则运算法则不再成立，于是成为学生容易感到困惑并经常犯错的地方，学生常常感觉无从下手，这更是属于高等数学教学中的难点。常见的未定式求极限方法有很多，如消去零因子法、同除以最高次幂、同乘共轭因式、两类重要极限及其推广形式、等价无穷小替换、泰勒公式等，还有最强大的洛必达法则。对学生而言，如果不做一定量的练习，综合运用多种方法求极限通常是很困难的。碰到含积分的未定式求极限问题时，还要先想办法去掉积分号，然后再综合利用求极限的各种方法，所以学生会觉得更难了。本文接下来将通过几个典型例子详细分析如何求含变限积分的未定式的极限，给出常见的几种思路，并总结每种方法的特点和局限性。

常见的去积分号的方法有：牛顿-莱布尼兹公式、积分中值定理、变限积分求导公式等。学生最喜欢的就是牛顿-莱布尼兹公式，这个公式能把积分变成数值，通常这几乎是他们碰到定积分或变限积分的第一反应。但遗憾的是，能积出来的或者说容易积出来的积分实在不多，所以这个思路的局限性很明显。还有一种方法是利用积分中值定理，它能把积分变成简单的函数，从而去掉积分号，但不足之处是表达式中含有中值ζ，而关于ζ可知的信息太少，仅知道它属于积分区间。故当求未定式极限需借助中值ζ的更详细的信息时，这个思路很可能只能去掉积分号，却不一定能求出极限了。洛必达法则是求解未定式极限的强大工具。它把 型未定式求极限转化为分子分母分别求导后再求极限，而恰巧变限积分求导可以去掉积分号，所以将洛必达法则和变限积分求导相结合是求解含变限积分的未定式极限问题的一种非常有效的方法。

1.例1： .法一分析：这属于 型未定式。学生的第一反应是把分子上的积分积出来，恰巧这个例子是可以积出来的。解： = = .此时仍属于 型未定式。可以考虑利用等价无穷小替换sinx～x，sinx2～x2，当x→0时，可得 = =1.这一步也可以利用第一类重要极限 =1及其推广形式 =1得到.故 =1.法二分析：也可以将变限积分求导和洛必达法则相结合去积分号，因被积函数cosx在积分区间[0，x2]上连续，由微积分学基本定理可知，变限积分函数 cost dt在区间[0，x2]上可导，分母上xsinx也可导，所以可以使用洛必达法则。另外，在利用洛必达法则之前，为了求导简单些，可以先用等价无穷小替换：sinx～x，当x→0时，解： = = = cosx2=1.其中第一个等号用的是等价无穷小替换，第二个等号用的是洛必达法则，最后一个等号是用复合函数的连续性和余弦函数的连续性得到的。法三分析：也可以用积分中值定理去积分号。解：由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[0，x2]使得 cost dt=cosζx·x2.因为当x变动时，中值ζ也变动，所以ζ依赖于x，为表示这种依赖关系，这里用ζx表示中值，于是 = = （cosζx ）.注意到x→0时，x2→0，由夹逼定理知此时ζx→0，所以 cosζx= cosζx=1.由等价无穷小sinx～x，当x→0时，知 =1.最后利用乘积的极限法则，有 （ cosζx）= · cosζx=1.故 =1.

2.例2： .分析：这是属于 型未定式。被积函数是属于“积不出来”的类型，牛顿-莱布尼兹公式不能用，可以考虑利用洛必达法则或积分中值定理去积分号。法一：用变限积分求导和洛必达法则去积分号。 = ，由第一类重要极限、复合函数的连续性以及乘积的极限法则，可得 =- e · = .故 = .法二：用积分中值定理去积分号。由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[cosx，1]，使得 e dt=e ·（cosx-1），所以 = ，注意到x→0时，cosx→1，由夹逼定理知此时ζx→1，所以 e = e = .由等价无穷小cosx-1～- x2，当x→0时，知 = =- e = .故 = .

3.例3： .分析：这是属于 型未定式。被积函数也是属于“积不出来”的类型，不能用牛顿-莱布尼兹公式，可以尝试利用洛必达法则或者积分中值定理去积分号。法一：用变限积分求导和洛必达法则去积号。 = = ，再利用等价无穷小sinx～x，当x→0时，可得 =1.故 = .注：如果利用积分中值定理，会发现可以去掉积分号，但是仍然求不出极限。由积分中值定理，可知至少存在一点ζx∈[0，x2]，使得 sint2 dt=sinζ2x·x2.因此， = = .注意到x→0时，x2→0，由夹逼定理知此时ζx→0，所以 sinζ2x=0.上式的最右端仍然是 型未定式，但由于不知道ζx对x的依赖关系，也不清楚ζx→0的具体速度，导致极限 求不出来。

通过例1～例3，我们发现对于含变限积分的 型未定式，求解时第一步可以尝试三条路径去掉积分号，利用牛顿-莱布尼兹公式、洛必达法则或积分中值定理，然后再综合运用各种求极限方法求解。对例1来说，三种方法均适用，例2只能用其中两种方法，例3只能用其中一种方法。从例2和例3中，我们很容易看出牛顿-莱布尼兹公式和积分中值基金项目：本文作者受到“北京高等学校青年英才计划项目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No.YETP1593）资助。endprint