浮基两刚体模型强迫振动动力响应分析

王 丙， 江召兵,2， 陈徐均， 黄亚新

(1.解放军理工大学 野战工程学院，南京 210007； 2.上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院， 上海 200240)

浮基两刚体系统为最简单的浮基多体系统。而起重船系统与其较相似。在起重船非线性动力学研究中有两类常用模型：①将船体对吊重的作用直接简化为缆索吊头点处简谐激励,即将吊重视为空间摆[1-3]。研究表明,吊点平面运动在一定条件下亦会使吊重产生空间摆动,甚至发生混沌运动[2]；②将船舶运动与吊重摆动耦合分析,建立多体动力学模型[4-6]。由于起重船与其它浮基多体系统的主要工作环境为海洋，因此对起重船等浮基多体系统在波浪作用下动力响应研究具有重要意义。李跃等[7]运用多体动力学休斯敦方法，考虑趸船横摇及吊臂回转，建立波浪中作业起重船的动力学方程，对悬吊载荷摆振进行分析。高崇仁等[8]将起重船吊臂及吊索作为弹性体，基于柔性多体动力学设计参数对吊重摆动轨迹影响进行分析。陈新权等[9]对起重船在不规则波浪中的运动响应进行计算，获得不同回转角度、浪向、吊索长度下的吊索附加动载荷，分析吊索附加动载荷对起重船浮态及稳性影响规律。葛慧晓等[10]通过对各种起重船稳性衡稳准则进行比较、分析，提出起重船稳性衡准建议。本文将浮基多体系统简化为两刚体模型，利用传递矩阵法对浮基多体系统在波浪作用下动力响应进行研究。

1 传递方程

动力学方程推导与动力学方程数值解法为多体系统动力学研究的主要内容。随工程技术的发展及需求，已有诸多研究及改进多体系统动力学方法，且：①均需建立系统总体动力学方程；②系统总体动力学方程涉及的矩阵阶次高，易造成数值计算困难。为提高多体动力学计算效率，芮筱亭等[11-15]提出多体系统离散时间传递矩阵法,该法建立元件动力学方程后将方程按时间逐步离散线性化，保持传递矩阵法格式，拼装多体系统传递方程、传递矩阵，逐步积分获得系统运动响应。

图1为平面运动刚体，I为输入端，O为输出端，C为质心。Oxy为惯性坐标系，O1x1y1为平动坐标系，O2x2y2为连体坐标系，刚体输入端I固定于连体坐标系原点，在连体坐标系中，刚体输出端坐标为(b1,b2)，质心坐标为(c1,c2)。连体坐标系与惯性坐标系夹角为θ，刚体质量为m，JI为刚体相对I的转动惯量，fx,C、fy,C、mC分别为作用于刚体质心的外力、力矩。在惯性坐标系下有：

θO=θI=θ

(1)

xC=xI+c1cos(θI)-c2sin(θI)=xI+xIC

(2)

yC=yI+c1sin(θI)+c2cos(θI)=yI+yIC

(3)

xO=xI+b1cos(θI)-b2sin(θI)=xI+xIO

(4)

yO=yI+b1sin(θI)+b2cos(θI)=yI+yIO

(5)

(6)

(7)

其中：

(8)

(9)

图1 平面运动刚体

(10)

(11)

式中：A、Bx、C、Dx为在第i个时间点是第i-1个时间点的已知函数，其中Bx，Dx为x的函数。

一端输入一端输出的平面运动刚体传递矩阵可表示为[12]：

(12)

式中：

u41=mA(yIO-yIC)，u42=mA(xIO-xIC)

u45=-yIO，u46=xIC

u43=-mAxIC(ti-1)xIO-mAyIC(ti-1)yIO+JIA

u47=-mC+u67xIO-u57yIO+JIB+

(mByI-fy,C)xIC+(fx,C-mBxI)yIC

u57=fx,C-mA(c1G1-c2G2)-mBxC

u67=fy,C-mA(c1G2+c2G1)-mByC

xIC(ti-1)=(c1cosθI-c2sinθI)|ti-1

yIC(ti-1)=(c1sinθI+c2cosθI)|ti-1

xIO(ti-1)=(b1cosθI-b2sinθI)|ti-1

yIO(ti-1)=(b1sinθI+b2cosθI)|ti-1

刚体间通过光滑铰连接，光滑铰两端坐标、力相等，内力矩恒为零，即：

xO=xI,yO=yI

(13)

qx,O=qx,I,qy,O=qy,I

(14)

mO=mI=0

(15)

当外接刚体输出端内力矩为零时，刚体另一端也为光滑铰或自由边界。由光滑铰外接刚体传递方程得：

0=u41xO+u42yO+u43θO+u45qx,O+u46qy,O+u47(16)

式中：u41、u42、u43、u45、u46、u47为外接刚体传递矩阵元素。联立式(13)～式(16)，得光滑铰外接刚体输出端内力矩为零的光滑铰传递矩阵[12]为：

(17)

式中：z=[x,y,θ,m,qx,qy,1]T为状态矢量，x,y,θ为刚体位置坐标及转角；m,qx,qy为刚体所受力矩及内力。

文献[11]利用多体系统离散时间传递矩阵法求解光滑铰连接的3刚体组成的平面运动三摆在重力作用下运动。并与用分析力学方法所得计算结果对比，两种方法计算结果一致性较好，说明可用多体系统离散时间传递矩阵法解决多刚体动力学问题。本文将该方法用于浮基多体系统在规则波作用下动力响应求解，并考虑附加质量、阻尼对浮基起重系统动力响应影响。

2 波浪作用

浮基多体系统在海上作业时受波浪作用而发生摇摆运动。与船舶在波浪中摇摆相同，浮基多体系统的浮基在波浪中的摇摆运动由波浪运动与浮基自由摇摆运动合成，浮基摇摆运动取决于两运动周期比值[16]：

(18)

式中：α0为波浪最大波面角；Tθ为船舶摇摆周期；Tω为波浪周期；ω为波浪频率。浮基在摇摆过程中所受静水作用可用回复力矩表示[17]，即：

Mh=Volh

(19)

式中：Vol为船舶排水量；h为船舶重心G至浮心作用线垂直距离。

将浮基多体系统简化为平面两刚体模型，见图2。浮基、配重、吊臂简化为第一节刚体；绳索与重物简化为第二节刚体，两节刚体间用光滑铰连接，其中θ1，θ2分别为刚体1、2转角(图中转角方向为正),浮基多体系统正浮状态下θ1=0°,θ2=-90°。浮基多体系统各部件参数见表1。在对浮基多体系统进行数值计算时，长度比尺为1∶10，波浪波长L=3.0m，波高H=0.04m，浮基模型在波浪中附加质量系数及阻尼系数见表2。本文对浮基在横摇角强迫振动与波浪力作用下的动力响应进行计算，考察在强迫外力作用下两刚体的角运动规律，本文结果均为系统在波浪中运动达稳定状态结果。

表1 浮基多体系统各部件参数

表2 附加质量系数和阻尼系数

图2 浮基两刚体模型

由于本文模拟浮基多体系统在微幅波作用下动力响应，故不考虑波浪辐射。据Froude-Krylov假设，波浪对浮基多体系统作用[17]的波浪水平力、垂直力、力矩分别为：

Ldsin[(kb/2)sinφ]sin(ωt)

(20)

(21)

(22)

其中：ρ为水的密度；g为重力加速度；k为波数；a,b为浮基长、宽；L为波长；φ为波向角；ω为波浪频率；d为水深。

图3为分别用传递矩阵法与式(18)对浮基两刚体系统在波浪中横摇运动的计算结果及与试验结果比较。试验用水池长100 m，宽6 m，池水深2 m；用电液伺服驱动控制的推板式造波机造波，造波频率0.2～2 Hz，最大波高0.35 m；用光学运动测量仪测量浮基运动参数及重物运动轨迹，光学运动测量仪为K600型，误差0.05 mm。由图3可知，三种方法所得浮基横摇运动周期吻合较好，但横摇幅值相差较大。由于式(18)只考虑波浪与浮基的周期比，未考虑浮基配重、附加质量及阻尼等因素影响，故所得横摇角幅值与其它两种结果相差较大；用传递矩阵法计算所得结果与试验较接近，说明传递矩阵法对波浪中浮基多体系统动力响应计算的正确性。

3 数值计算及分析

图4、图5分别为浮基两刚体系统在不同幅值横摇角强迫振动作用下第二节刚体摆动幅值及放大系数(即第二节刚体摆动幅值与第一节刚体摆动幅值比值)随角强迫振动频率的变化。由二图可知，当第一节刚体所受横摇角强迫振动频率增加时，第二节刚体摆动幅值、摆动放大系数逐渐增大。第一节刚体所受横摇角强迫振动幅值增加时，第二节刚体摆动幅值逐渐增大，但摆动放大系数基本不变。可推断，第一节刚体所受角强迫振动幅值及频率继续增加时，第二节刚体摆动会更剧烈，甚至发生旋转，出现较明显放大现象。

表3为浮基两刚体系统在幅值A=5°、不同频率ω(s-1)的横摇角强迫振动作用下，第二节刚体摆动幅值(°)随刚体长度l(m)的变化。由表3可知，第二节刚体长度增加时，其摆动幅值基本不变。

图3 横摇历程对比图

表3 第二节刚体摆动幅值

图6、图7分别为浮基两刚体系统(第二节刚体长度l=0.3 m，吊臂仰角ψ=45°)在波浪作用下第一节刚体横摇历程与第二节刚体摆动历程随系统起吊重物质量变化比较图。由二图可知，起吊重物的质量m=20 kg时，第一节刚体横摇幅值与第二节刚体摆动幅值达最大值，可能由于此时系统固有频率较其它几种工况更接近波浪频率。随起吊重物质量的增加，浮基静平衡倾角增大。两节刚体均在自身平衡位置两侧对称、规则摆动。

图6 第一节刚体横摇历程

图8、图9分别为浮基两刚体系统(起吊重物质量m=10 kg，吊臂仰角ψ=45°)在波浪作用下第一节刚体横摇历程与第二节刚体摆动历程随第二节刚体长度变化比较图。由二图可知，第一节刚体横摇幅值与第二节刚体摆动幅值随第二节刚体长度的增加而增大，且第二节刚体摆动幅值的增加较第一节刚体横摇幅值的增加大得多；l=0.4时第二节刚体摆动幅值为l=0.2时4倍，重物摆动更剧烈。

图10、图11分别为浮基两刚体系统(第二节刚体长度l=0.3，起吊重物质量m=20 kg)在波浪作用下第一节刚体横摇角历程与第二节刚体摆动历程随吊臂夹角变化比较图，表4为对应的第一节刚体横摇幅值与第二节刚体摆动幅值(°)。由二图及表4知，吊臂仰角ψ=30°时，第一节刚体横摇幅值与第二节刚体摆动幅值较小，但过小的吊臂仰角会占用较多浮基甲板低层空间；吊臂仰角ψ=50°或ψ=60°时，第一节刚体横摇幅值与第二节刚体摆动幅值较大，而过大的吊臂仰角须增加吊臂长度方能进行起吊。

图9 第二节刚体摆动历程

表4 刚体运动幅值

4 结 论

通过对浮基两刚体系统在横摇角强迫振动及波浪作用下动力响应数值模拟，结论如下：

(1)浮基两刚体系统第二节刚体摆动幅值随第一节刚体所受横摇角强迫振动幅值及频率的增加而增大，但第二节刚体长度变化对摆动幅值影响不大。

(2)在规则横向波浪作用下，浮基两刚体系统第一节刚体横摇幅值及第二节刚体摆动幅值随起吊重物质量的增加先增大后减小，随第二节刚体长度的增加而增大，随吊臂仰角的增加而增大。

因此，当浮基多体系统在海上进行起吊作业时，在满足起吊要求和操作方便的条件下，应当尽量减小绳索的长度和吊臂的仰角，同时应避免浮基多体系统固有频率与波浪频率接近，以减小浮基及起吊重物的变动。

参 考 文 献

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