基于最优化理论的梁受弯承载能力可靠度分析

赵 茜,李宏儒,吴军虎

(西安理工大学,陕西西安710048)

结构可靠度是指结构在规定的时间和条件下，完成预定功能的概率。目前, 可靠度的计算方法主要有一次二阶矩法、验算点法(JC法)、蒙特卡罗法等[1]。JC 法是国际上推荐的可靠度计算方法。JC 法在计算可靠度指标β的过程中，对于确定的极限状态方程表达式g(x)，求偏导∂g/∂xi的值, 计算出均值μ和标准差σ，采取数值迭代法重复上述过程,直至计算过程收敛, 并得出可靠度指标β和验算点的坐标。此法计算概念明确，但对于功能函数为非线性方程且变量较多时进行微分计算则较为麻烦。蒙特卡罗法，即统计试验法，在目前结构可靠度分析计算中, 它被认为是一种相对精确的方法。蒙特卡罗法求解结构失效概率的基本思路是: 先对影响其可靠度的随机变量进行大量随机抽样, 然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式, 确定结构失效与否, 最后求得结构的失效概率, 失效概率即结构失效次数占总抽样数的频率。蒙特卡罗法的优点在于其精度随着N的次数增加而渐次提高。若N值选取足够大时, 则可得到失效概率的相对精确值。但当遇到小破坏概率时, 用蒙特卡罗法直接计算的次数往往多达几万甚至几十万次，计算时间过长。

钢筋混凝土梁受弯承载力极限状态功能函数是非线性的，如果采用求导数的可靠度计算方法,极限状态功能函数难以处理。目前有一些近似计算不涉及求功能函数的导数, 如某些数值方法、蒙特卡罗(Monte·calo)法等。 但前者推导复杂, 编制的计算机程序通用性差, 后者需进行大量的模拟计算, 效率较低, 且难于掌握。本文利用钢筋混凝土结构中的随机变量一般都服从正态分布这一特点, 采用几何优化法, 从可靠度指标的几何涵义出发, 运用最优化计算方法, 不需进行功能函数的求导计算来求解可靠度指标β和验算点坐标。利用Matlab 语言求解数学最优化问题，程序简便、通用性强，可以方便地应用到土木工程领域[2-3]。

1 结构可靠度指标的定义

在结构的可靠度分析中[4]，结构的极限状态一般由功能函数来加以描述，功能函数可表示为:

Z=g(X1,X2,...,Xn)

(1)

上式中Xi(i=1,2,...,n)为影响结构某一功能的基本变量。

当Z>0时，结构处于可靠状态；Z=0时，结构达到极限状态；Z<0时，结构处于失效状态，方程

Z=g(X1,X2,...,Xn)=0

(2)

称为结构的极限状态方程，它是结构可靠度分析的重要依据。结构功能函数Z>0的概率称为结构的可靠概率(Pr)；功能函数Z<0的概率称为该结构的失效概率(Pf)。二者原则上可通过多维积分式计算求得:

(3)

(4)

上式中f(x1,x2,...,xn,)是Z的分布密度函数，二者之间满足关系:

Pr+Pf=l

(5)

当功能函数中有多个随机变量或功能函数为非线性时，上述积分计算会十分复杂甚至难于求解，因此一般不用这种直接积分求解可靠概率。工程上常通过可靠指标β的求解来衡量结构的可靠程度。假设随机变量X1,X2,...,Xn均服从正态分布,且相互独立，如果功能函数Z=g(X1,X2,...,Xn)为线性函数,那么Z也是服从正态分布。β的定义可表示为:

(6)

μz、σz分别表示Z的均值、均方差。在变量相互独立的假设下有:

(7)

μxi、σxi分别表示第i个随机变量的均值、均方差。

β与Pr、Pf之间的关系为：

Pr=1-Pf=1-Φ(-β)=Φ(β)

(8)

2 最优化方法求解可靠度的数学模型

对独立、正态随机变量Xi进行标准化变换:

(9)

极限状态方程在标准正态坐标系中的表达式为:

(10)

图1 可靠指标与极限状态曲面关系

它代表了n维标准正态空间中的一个曲面。该曲面将基本变量空间分成了可靠区和失效区两部分，图1给出了三个变量的情况。在结构可靠度分析中，结构可靠指标β的几何意义是：在标准正态坐标系中，从原点到极限状态曲面Z=0的最短距离。β的计算可转化为求这个最短距离的问题，即 ：

(11)

于是结构可靠指标计算的优化模型可表示为:

(12)

3 非线性随机变量的转化

在实际工程中, 绝大部分结构常包含非正态分布的基本随机变量，对于这种极限状态方程的可靠度分析，一般先要把非正态随机变量标准正态化后再进行求解，对各个随机变量Xi(i=1,2,...n)做等概率映射变换：

F(Xi)=Φ(Yi)(i=1,2,...n)

(13)

(14)

常用的几种分布计算公式[5]:

(1)正态分布

(15)

(2)对数正态分布

(16)

(3) 极值I型分布

Fxi(xi)=exp(-exp(-α(xi-u)))

(17)

4 工程计算实例

例1： 已知极限状态方程z=fw-1140=0;随机变量f、w均服从正态分布,μf=38，δf=0.1；μw=54，δw=0.05，求可靠指标及验算点计算结果见表1。

表1 计算结果对比

例2：某矩形截面梁，b×h=250 mm×500 mm，as=35 mm，混凝土强度等级C30,钢筋选用HRB400级，As=625 mm2, 永久荷载、可变荷载效应为SG、SQ(α1=1.0，fc=14.3 N/ mm2，fy=360 N/ mm2，ζb=0.52 ,ρmin=0.5 %)，各参数随机变量均值与标准值见表2[6],求梁受弯极限承载力的可靠度。

(1)梁抗弯极限状态方程为：

上式中Bm是指结构构件计算模式的不确定性，主要是指抗力计算中采用的基本假定的近似性和计算公式的不确定性。

(2)进行正态当量变换。

按等概率映射变换后所得结果见表2。

表2 各参数随机变量均值与标准值

(3)将随机变量x1～x8代入极限方程得

(0.04×y1+1.05)×{[(0.02×y7+465)×exp(0.0742×y2+5.95)×(0.014×y8+625)]-

(4)Matlab 程序如下

function f= example(y) %定义目标函数

f= sqrt(y(1) ^2+ y(2) ^2+ y(3) ^2+ y(4) ^2+ y(5) ^2+y(6) ^2+ y(7) ^2+ y(8)^2) ;

function [c,ceq] = example1(y)

%定义约束条件函数

c=(0.04*y(1)+1.05)*(((0.02*y(7)+465)*exp(0.0742*y(2)+5.95)*(0.014*y(8)+625))-0.5*((exp(0.0742*y(2)+5.95)*(0.014*y(8)+625))^2/((4.437*y(3)+26.1)*(0.01*y(6)+250)))-3.3*y(4)-30 000 000-40 000 000+(log(-log(normcdf(y(5),0,1))))/0.2136)

ceq= [];

%主程序为:

y0= [0,0,0,0,0,0,0,0]； %初始迭代点,可取均值。

A=[];

b=[];

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[];

vub=[];

[y,fval]=fmincon(@example,y0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,@example1) %调用优化工具箱求解

计算结果：y = (-0.0015 -5.9017 -0.4242 0.0005 0.0005 0.0004 -0.0031 -0.0013)

β=5.9169

5 结论

本文首先从可靠度指标的几何涵义出发，导出其求解可靠度指标的优化数学模型, 用最优化法求可靠度指标, 整个求算过程只用到目标函数值, 没有将极限状态方程作线性化展开，不用进行迭代次计算，可以避免线性化带来的近似性。由算例1可知所得的结果与按JC 法和Monte·Carlo 法是一致的。同时, 此法求解简单, 意义明确, 程序通用性高, 它既克服了JC法迭代计算的繁琐过程, 又克服了Monte· Carlo 法计算效率低下的缺点。

由算例2证明，梁受弯承载能力为非线性极限状态方程，有许多非正态分布的随机变量，且不易求导，与其他方法相比,使用最优化理论对结构进行可靠度分析方法实用，计算结果合理，计算工作量小. 这为进一步研究复杂结构的可靠性提供了参考。

Matlab具有非常丰富和强大的功能,可以非常方便地编写出简洁高效的可靠度计算程序, 大大提高可靠性分析计算的工作效率。基于Matlab的可靠性快速算法的研究与开发具有良好的应用前景和工程实用价值。

[1] 赵国藩.结构可靠度理论[M].北京:中国建筑工业出版社,2000

[2] 许波.Matlab 工程数学应用[M].北京:清华大学出版社, 2000

[3] 陈怀琛.Matlab及其在理工课程中的应用指南[M].西安:西安电子科技大学出版社,2004

[4] GB 50068-2001建筑结构可靠度设计统一标准[S]

[5] 薄士威.基于Matlab7.0的梁板结构可靠度指标求解[J].水利与建筑工程学报,2009,(12)

[6] 马宏旺.钢筋混凝土梁抗震可靠度校核以及强剪弱弯设计可靠性分析[J].建筑结构,2000,(10)