基于格林函数法的常功率热源有限厚平板表面温度计算

郑澍奎

(1.西华大学绿色建筑重点实验室，四川 成都 610039；2.西华大学建筑与土木工程学院，四川 成都 610039)

测量材料的导热系数方法一般可分为稳态法和动态法2类。稳态法是建立在傅里叶平壁单向稳态导热原理基础上的，其优点是原理简单，计算方便，检测精度高，易于实现导热系数的数字计算与显示。对于几何形状简单的物体，采用稳态法的导热系数的表达式常常可以用显函数表示，因而得到广泛的应用[1-3]；但稳态法的试验装置比较复杂，试验时间相对较长，测试时容易引起材料内部水分的迁移，难于用于测定含湿材料的导热系数[4]。

动态法常用的主要有线热源法和面热源法。常用的线热源法是平行热线法，其基本原理是测试埋在试样中的线状热源的温升时间序列。通过计算热线及材料的温度分布得到材料导热系数。平行热线法的缺点是热线和热电偶的埋设对结果影响大，技术难度高，计算复杂。面热源法有常功率面热源法和常温度面热源法，常温度面热源法因非稳态温升过程的控制延迟容易造成待测材料表面温度波动[5]。常功率平面热源法的原理是在待测板状材料一表面加上一个合适的平面恒定功率热源，对材料进行一定时间的加热，通过测定板状材料表面的温度响应辨识出材料的导热系数。目前检测中常用的常功率平面热源法一般假定材料为半无限大[6]，得到的表面温升过余函数不适用于有限厚度的平板材料(尤其是厚度较薄材料)。本文拟基于格林函数法，推导动态常功率法的有限厚度材料表面温度解析表达式，可用于含湿板状材料导热系数的反演计算，并简要分析解析表达式近似计算的误差。

1 实验测试模型

动态常功率面热源导热系数测试系统(见图1)，计量部位加热器为面热源，面积为A，单位时间产热量为2q0·A，在其两侧对称布置相同的待测平板状试样，厚度为d，并假设待测试样的长和宽远大于厚度d，在加热器和待测试样4侧紧贴保温板作热保护，可认为待测平板状试样计量部位为一维非稳态传热。待测板状材料计量部位2表面采用测温热电偶记录时间温度序列。

待测材料内部及表面温度分布是内热源、边界热作用以及初始温度分布作用叠加的结果，这些热作用都可以看作广义上的热源。当热源作用的时间足够短，热源作用的空间尺度足够小，热源可以抽象为“瞬时”的“点热源”。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的“瞬时点热源”引起的温度场的叠加得到[7]。

图 1 常功率面热源导热系数测试系统示意图

2 热传导方程及解析解

考虑通过待测试样计量区的导热过程为一维动态线性导热问题，试样表面及内部温度为t，外部环境温度为tf，令待测试样的过余温度为θ=t-tf(见图2)。

平板状试样内部动态导热的数学描述可表示为

(1)

图 2 待测试样计量区的导热模型示意图

式(1)属于非齐次导热方程。考虑由瞬时点热源ρcδ(x-x')(τ-τ')在相应齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布，相应的该系统的格林函数满足以下方程和条件：

(2)

对应待测试样表面及内部温度依据式(2)的格林函数可表示为

(3)

进一步分析式(2)，由于热源是瞬时热源，τ′时刻之前待测试样内部没有热源的作用(瞬时热源均为零)，故由瞬时点热源δ(x-x′)(τ-τ′)产生的温度分布也应维持为0，而τ′时刻的瞬时点热源的作用就完全等同于τ′时刻的初始温度分布，即式(2)可化为

(4)

显然，式(4)为齐次函数，采用分离变量方法易求得这个系统的格林函数

(5)

(6)

(7)

式(3)右边第3项为

(8)

综合(6)、(7)、(8)式，得到

(9)

对式(9)分别取x=0与x=d，即得到待测试样2表面温度对时间的解析解。2表面温度分别表示为：

(10)

(11)

3 解析解的数值分析及应用

对式(10)和式(11)的数值计算只能采取取前面有限项来近似。显然求和项数m的取值对数值计算的精度有很大的影响。以密度为700 kg/m3，导热系数为0.22 W/(m·K)，比热容为1 050 J/(kg·K)的加气混凝土为例[8]，进行加热面的表面温度数值计算，其中加气混凝土的厚度取30 mm，加热功率密度q0取200 W/m2，求和项数m分别取5、10、20、40和60，数值计算结果表现出较强的收敛稳定性，见图3。

图 3 不同求和项数对数值计算结果的影响

由于无穷级数求和是一个十分困难的问题，下面以求和项数m取1 000的计算值作为式(10)的近

似结果，得到m分别取5、10、20、40和60的不同加热时间计算相对误差(见表1)。结果显示加热时间与求和项数m均对计算误差有影响，增大加热时间与求和项目均可以提高数值计算的精度。当m取值≥40时，计算相对误差才可能小于1%。

表1 表面温度响应函数计算误差

4 结束语

通过建立导热系数测试中常功率面热源有限厚度平板的导热模型，采用格林函数法，推导出平板材料的2个表面温度响应函数，结合简单的数值计算，可应用于动态常功率法测试导热系数的计算。对于一般的建筑保温材料，板状材料表面温度函数采用数值近似计算，具有较明显的收敛特征。以加气混凝土为例，解析解作数值求和时，求和项数取到40才可能使计算相对误差小于1%。对于不同导热系数材料，求和项数及加热时间的取值对计算误差区间的影响有待进一步研究。

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[6]中国建筑科学研究院. JGJ 51—2002 轻集料混凝土技术规程[S].北京：中国建筑工业出版社，2002.

[7]贾力，方肇洪，钱兴华.高等传热学[M].北京：高等教育出版社，2003：65-66.

[8]GB 50176—1993民用建筑热工设计规范[S].北京：中华人民共和国建设部，1993.