小学数学教学中渗透“变与不变”思想方法的点滴思考

张朝明

《义务教育数学课程标准（2011版）》关于课程的总目标中指出，要让学生“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映。人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。在变化中寻找不变的量是数学的一个重要思想方法 ，它广泛存在于小学数学之中。下面具体谈谈我在小学数学教学中是怎样渗透“变与不变”这一思想方法的。

一、在“变与不变”中揭示概念、寻找规律、归纳性质

在小学数学教学中，简单枚举推理（也叫做不完全归纳推理）是运用得较多的一种推理方法。即从一些个别或者特殊事物出发，概括出一般性概念、规律或性质。很多数学结论，都是先通过归纳推理得到结果，再辅以演绎推理加以证明。比如，费马达定理、庞加莱猜想等，几百年前就发现了“结论”，直到20世纪末21世纪初才被数学界证明。所以很多数学家都认为，数学结论是看出来的，而不是证出来的，看出来的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向；而且看的过程表现出很大的创造性，这正是数学不断创造新成果的一种重要方式。但问题是，到底该怎么去“看”呢？是否能更快更容易地“看出数学结论”呢？

在教学中，我将“变与不变”这一隐含的思想外显，让学生在“看”这一活动中变得有的放矢。

在变与不变中揭示概念，可以让学生更好地抓住概念的本质特征。例如： “梯形的认识”这一内容，不管四条边的长度怎么变化，四个角的大小怎么变化，只要抓住“只有一组对边平行的四边形”这个不变的本质，就能正确地认识“梯形”了。

至于小学数学教学中的一些规律或性质，几乎都可以让“变与不变”来指导我们进行归纳概括。例如：在四年级“商不变的性质”这一节课中，学生在观察完一系列的算式后发现：被除数和除数变化了，但商不变，那么这里面隐藏了什么性质呢？学生在发现规律，归纳出性质以后，教师可以适当将这种隐性的方法凸显出来，明确指出以后可以用“什么变了，什么不变，变化的量是按照怎样的规律进行变化的”模式来进行归纳总结。那么在以后的学习中，学生就会有意识地按照“变与不变”的方法来观察和总结，做到不再盲目，有章可循，使数学中隐含的规律、性质更加容易被发现和应用。

二、在“变与不变”中探讨各种公式的由来

平面图形是小学数学“空间与图形”这一领域的主要内容，在这一内容的教学过程中，我们较多地提到了“转化”这一数学思想方法，但很少有老师提出：将图形转化以后，学生怎么去“发现”计算方法呢？例如：平行四边形的面积计算的教学，学生将平行四边形转化成长方形以后，怎样去观察发现呢？我认为，抓住“什么变了” 和“什么不变”来探究，就很容易“发现”平行四边形的面积计算公式了。如上所述，如果我们在教学中有意识地将这种内隐的思想方法显现出来，学生在推导三角形、梯形、圆的面积计算公式以及圆柱的体积计算方法时，就会自觉地运用这一方法去发现，去探究。

即便是圆的周长的探讨，我认为也可以如此。在学生提出圆的周长与其直径的长短相关以后，学生就会通过研究几个大小不同的圆的周长与直径来探索圆周率。为了找到其中不变的或者规律性的东西，学生会用这两组数据中相对应的两个数去相加、相减或相乘、相除，通过这一系列的计算后才会发现，只有周长和直径相除才可以得到一个相对不变的商（考虑测量误差），才能发现隐藏的规律。

三、在“变与不变”中解决较复杂问题

世界上的事物总是在变化着的，而“变化”中又总蕴含着“联系”和“不变”的因素，从错综复杂的“变化”中发现这种“联系”和“不变”，往往是我们解决问题的突破口。

如：盈亏问题、立体图形中等积变化问题、牛吃草问题以及其他较复杂的计算问题等，都是学生感觉比较困难的问题，但是如果学生学会了在变化中寻找不变量，在变化中寻找不变的规律，就可能会将问题变得相对简单。

在高等数学中，这样的例子更多。如拓扑学（以七桥问题为例）正是研究拓扑不变量的学科。小学数学教学中注意渗透“什么是变的，什么是不变的”这一思想方法，是非常重要的。而且，不仅在数学教学中蕴藏着“变与不变”的思想， 这种变化中的不变问题也普遍存在于生活之中：比如物理学中的能量守恒定律；比如人脸随年龄变化，但其基本特征不变的规律。可以说，“变与不变” 思想不仅仅是一种数学思想方法，也是我们在日常生活中分析问题、解决问题的一种常用的思想方法。

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