为学生获取知识搭好踏脚石

岳冬平

摘 要： 在新一轮课程改革的背景下，高中数学教学迫切需要改革，如何体现“学生主体，教师主导”是每个数学教师都应该关注的热点。本文以人教版高中数学必修三《几何概型》一课的实施为例，充分展示“将课堂还给学生”的教学理念，在学习过程中，教师不断搭建“踏脚石”，将学生思维引入“最近发展区”，使学生面对知识难点时各个击破，在教师提供的“台阶”的帮助下“踮踮脚”就获取知识，真正实现了“每个学生都能得到最优化发展”。

关键词： 教学目标 重难点 教学方法 教学手段 教学过程

一、教学目标与重难点分析

1.教学目标

（1）知识与技能：使学生能够类比一维几何概型的处理模式解决二维几何概型问题；学会如何充分建构知识结构。

（2）过程与方法：通过小组讨论，合作学习，体会二维几何概型问题在具体情境中的呈现方式，类比、联想建立数学模型，将未知量问题转化为几何概型问题，使问题得到解决。

（3）情感态度与价值观：通过“设置问题—解决问题—学以致用”几个环节，将教学内容紧凑地贯穿在一起，让学生体验到数学的“源与流”，培养学生类比、联想、化归的数学思想方法。

2.重、难点透视

（1）重点：如何将实际问题建立为二维几何概型的数学模型。

（2）难点：把求未知量问题转化为几何概型求概率问题。

二、教学方法与教学手段

1.教学方法

本节课将采用“问题—探究”式教法和“小组合作研究”式教法。在解决如何把求未知量问题转化为几何概型求概率问题时主要采用“问题—探究”式教法。

2.教学手段

除了使用常规的教学手段外，还采用计算机或计算器辅助教学。

三、教学过程与设计

1.复习回顾

提问：（1）几何概型的特点；（2）几何概型三种常见的问题是什么？（3）几何概型的概率如何计算？

设计意图：本节课是一节能力提升课，我们要引导学生研究几何概型的二维问题。解决概率问题的基础，首先要确定概率模型，这就要求学生对古典概型和几何概型的特点在知识上做好储备。几何概型三种常见的问题长度、面积、体积，是几何概型中一维问题到二维问题再到三维问题的一个体现，为后续解决二维问题最终扣在几何概型面积问题上，做好理论铺垫。

2.故布疑云

引例：某人去车站等车，整点发车，请问他等车的时间不多于20分钟的概率？

教学预设：本题是书上例题的翻版，通过第一课时的学习和刚刚的复习回顾，学生有能力得出概率值。然后，可以以一种轻松的方式，抛出以下几个问题供学生动脑、动手。

（1）题中的随机变量有几个？（2）本题是哪种类型的几何概型问题？（3）动手，试建立数轴说明这一问题。

例题：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00-8：00之间，问你父亲在离开家前得到报纸（事件A）的概率是多少？

设计意图：本节课要研究二维几何概型，直接切入例题，不符合学生思维的建构过程，设计一个引例，是在学生的思维上做好过渡，同时也为学生的思考提供比较、区分。而几个问题的提出，也是让学生体会到变量的个数与维数之间的关系，使学生在解决例题时的讨论与研究更有方向感。例题的解决是本节课的难点，如何把求未知量问题转化为几何概型求概率问题，同时这也是本节课的探究点。如果采用教师主导式教学，牵着学生的鼻子走，则容易造成学生知其然不知其所以然。不妨尝试采用“问题—探究”式教法。

3.共同探究

教学预设：我们用“问题—探究”式教法处理例题时，将采用如下流程：抛出问题—小组讨论—达成共识，将班级分为每四人一组进行讨论。

问题一：根据生活经验，父亲在什么情况才会得到报纸？

问题预设：学生可能有以下几种结论：①送报人在7：00前把报送到。②父亲在7：30分以后再上班。这两种观点过于片面，没有很好地理解送报时间与离家时间的随机性。此时，我们不妨把问题抛给学生，“是否同意这些观点，不同意请举例说明理由”，举例过后，经学生总结，全班达成共识。③只要父亲上班的时间晚于送报到家的时间就可得到报纸。

问题二：事件A发生即送报时间早于父亲离开家的时间包含几个随机变量？

问题预设：一部分学生的思路会执著于某时刻是否得到报纸，因此会认为随机变量只有一个，也会有学生认为送报时间和父亲离家时间是两个随机变量，但原因不是很清晰。此时我们可以设计几个问题帮助学生理清思路：

（1）送报时间与离家时间有关系吗？

（2）送报时间与离家时间范围分别是什么？

（3）如何用一个变量表示送报时间和离家时间？

待问题逐一讨论清晰后，学生会形成送报时间与上班时间没有必然联系，而且两个量的范围不一样，用一个量表示不现实这一想法，继而顺理成章地设出两个变量x，y。之后，我们可以趁热打铁再抛给学生一个问题：“请你列出在事件A情况下x，y之间的关系式？”当我们充分探讨问题一和问题二后，学生就此问题相互补充，不难给出y≥x且6.5≤x≤7.5，7≤y≤8。

问题三：比较引例与例题之间的区别，如何计算例题概率？

教学预设：这是本节课的难点，也是高潮，学生要通过合作性探究，给出问题的处理意见。根据教育学家维果斯基的“最近发展区理论”，如果前两个问题进行得比较顺利且学生接受程度比较好，这个问题我们就完全可以放手给学生，由学生类比、总结、拿出可行性方案、给出结论；如果前两个问题进行得不够顺利或者学生接受程度一般，我们就可以帮助学生将问题拆分，首先给出引例的解题模式：“一个随机变量—长度问题—一维问题—建立数轴”，请学生加以类比，给出例题解题模式：“两个随机变量——？问题——？维问题——建立？”待问题一一解决后，引导学生尝试性计算概率。

问题预设：学生给出的方案可能包括：

（1）由一维问题联想到二维问题，由数轴联想到坐标系，由长度联想到面积，转化成几何概型问题，之后利用公式求解概率。

（2）由事件A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，联想到线性规划问题，而事件A的发生是图中阴影部分面积，转化成几何概型问题，之后利用公式求解概率。

当然，授课过程中我们会遇到各种不同的方案，无论学生给出哪种方案，都要引导学生解决一个首要问题：“是几何概型问题吗？”事件A发生的概率只与构成该事件的区域面积成比例，并且事件发生在任何一点处的可能性均相等，且基本事件的个数是无限的，确定为几何概型问题，才能利用公式求解概率。然后引导学生小结：（1）思考本题的流程，即两个随机变量—面积问题—二维问题—建立坐标系；（2）面积问题的概率计算P（A）=■，帮助学生理清解题思路。

四、归纳总结

课堂小结：鼓励学生对本课进行总结，其他同学补充。

设计意图：总结环节是本节课核心内容的提炼，热闹的一节课下来，学生要清楚地知道本节课自己应该获得哪些知识，哪些方面的能力应该得到提高，同时培养归纳总结的能力及合作探究精神。

五、教学设计说明

1.前苏联心理学家维果茨基用“最近发展区”理论描述学习，特别强调教师的支持和同学的交流在引发学生“最近发展区”的形成，最终实现潜在的发展水平方面所起到的重要作用。本节课对知识进行层层建构，将学生的思维引入“最近发展区”，通过小组合作、交流、探究，最终解决问题。

2.如何在课堂上实施有效教学是教学研究中恒久的话题，本节课的教学通过“设置问题—解决问题—学以致用”几个环节，将教学内容紧凑地贯穿在一起，强调过程、注重结果，为学生今后的学习提供一个参考平台，同时也使课堂教学更有效。

3.计算机的应用体现了现代数学的实用性和广泛性。

参考文献：

[1]刘绍学.数学必修三[M].北京：人民教育出版社，2010.endprint

摘 要： 在新一轮课程改革的背景下，高中数学教学迫切需要改革，如何体现“学生主体，教师主导”是每个数学教师都应该关注的热点。本文以人教版高中数学必修三《几何概型》一课的实施为例，充分展示“将课堂还给学生”的教学理念，在学习过程中，教师不断搭建“踏脚石”，将学生思维引入“最近发展区”，使学生面对知识难点时各个击破，在教师提供的“台阶”的帮助下“踮踮脚”就获取知识，真正实现了“每个学生都能得到最优化发展”。

关键词： 教学目标 重难点 教学方法 教学手段 教学过程

一、教学目标与重难点分析

1.教学目标

（1）知识与技能：使学生能够类比一维几何概型的处理模式解决二维几何概型问题；学会如何充分建构知识结构。

（2）过程与方法：通过小组讨论，合作学习，体会二维几何概型问题在具体情境中的呈现方式，类比、联想建立数学模型，将未知量问题转化为几何概型问题，使问题得到解决。

（3）情感态度与价值观：通过“设置问题—解决问题—学以致用”几个环节，将教学内容紧凑地贯穿在一起，让学生体验到数学的“源与流”，培养学生类比、联想、化归的数学思想方法。

2.重、难点透视

（1）重点：如何将实际问题建立为二维几何概型的数学模型。

（2）难点：把求未知量问题转化为几何概型求概率问题。

二、教学方法与教学手段

1.教学方法

本节课将采用“问题—探究”式教法和“小组合作研究”式教法。在解决如何把求未知量问题转化为几何概型求概率问题时主要采用“问题—探究”式教法。

2.教学手段

除了使用常规的教学手段外，还采用计算机或计算器辅助教学。

三、教学过程与设计

1.复习回顾

提问：（1）几何概型的特点；（2）几何概型三种常见的问题是什么？（3）几何概型的概率如何计算？

设计意图：本节课是一节能力提升课，我们要引导学生研究几何概型的二维问题。解决概率问题的基础，首先要确定概率模型，这就要求学生对古典概型和几何概型的特点在知识上做好储备。几何概型三种常见的问题长度、面积、体积，是几何概型中一维问题到二维问题再到三维问题的一个体现，为后续解决二维问题最终扣在几何概型面积问题上，做好理论铺垫。

2.故布疑云

引例：某人去车站等车，整点发车，请问他等车的时间不多于20分钟的概率？

教学预设：本题是书上例题的翻版，通过第一课时的学习和刚刚的复习回顾，学生有能力得出概率值。然后，可以以一种轻松的方式，抛出以下几个问题供学生动脑、动手。

（1）题中的随机变量有几个？（2）本题是哪种类型的几何概型问题？（3）动手，试建立数轴说明这一问题。

例题：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00-8：00之间，问你父亲在离开家前得到报纸（事件A）的概率是多少？

设计意图：本节课要研究二维几何概型，直接切入例题，不符合学生思维的建构过程，设计一个引例，是在学生的思维上做好过渡，同时也为学生的思考提供比较、区分。而几个问题的提出，也是让学生体会到变量的个数与维数之间的关系，使学生在解决例题时的讨论与研究更有方向感。例题的解决是本节课的难点，如何把求未知量问题转化为几何概型求概率问题，同时这也是本节课的探究点。如果采用教师主导式教学，牵着学生的鼻子走，则容易造成学生知其然不知其所以然。不妨尝试采用“问题—探究”式教法。

3.共同探究

教学预设：我们用“问题—探究”式教法处理例题时，将采用如下流程：抛出问题—小组讨论—达成共识，将班级分为每四人一组进行讨论。

问题一：根据生活经验，父亲在什么情况才会得到报纸？

问题预设：学生可能有以下几种结论：①送报人在7：00前把报送到。②父亲在7：30分以后再上班。这两种观点过于片面，没有很好地理解送报时间与离家时间的随机性。此时，我们不妨把问题抛给学生，“是否同意这些观点，不同意请举例说明理由”，举例过后，经学生总结，全班达成共识。③只要父亲上班的时间晚于送报到家的时间就可得到报纸。

问题二：事件A发生即送报时间早于父亲离开家的时间包含几个随机变量？

问题预设：一部分学生的思路会执著于某时刻是否得到报纸，因此会认为随机变量只有一个，也会有学生认为送报时间和父亲离家时间是两个随机变量，但原因不是很清晰。此时我们可以设计几个问题帮助学生理清思路：

（1）送报时间与离家时间有关系吗？

（2）送报时间与离家时间范围分别是什么？

（3）如何用一个变量表示送报时间和离家时间？

待问题逐一讨论清晰后，学生会形成送报时间与上班时间没有必然联系，而且两个量的范围不一样，用一个量表示不现实这一想法，继而顺理成章地设出两个变量x，y。之后，我们可以趁热打铁再抛给学生一个问题：“请你列出在事件A情况下x，y之间的关系式？”当我们充分探讨问题一和问题二后，学生就此问题相互补充，不难给出y≥x且6.5≤x≤7.5，7≤y≤8。

问题三：比较引例与例题之间的区别，如何计算例题概率？

教学预设：这是本节课的难点，也是高潮，学生要通过合作性探究，给出问题的处理意见。根据教育学家维果斯基的“最近发展区理论”，如果前两个问题进行得比较顺利且学生接受程度比较好，这个问题我们就完全可以放手给学生，由学生类比、总结、拿出可行性方案、给出结论；如果前两个问题进行得不够顺利或者学生接受程度一般，我们就可以帮助学生将问题拆分，首先给出引例的解题模式：“一个随机变量—长度问题—一维问题—建立数轴”，请学生加以类比，给出例题解题模式：“两个随机变量——？问题——？维问题——建立？”待问题一一解决后，引导学生尝试性计算概率。

问题预设：学生给出的方案可能包括：

（1）由一维问题联想到二维问题，由数轴联想到坐标系，由长度联想到面积，转化成几何概型问题，之后利用公式求解概率。

（2）由事件A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，联想到线性规划问题，而事件A的发生是图中阴影部分面积，转化成几何概型问题，之后利用公式求解概率。

当然，授课过程中我们会遇到各种不同的方案，无论学生给出哪种方案，都要引导学生解决一个首要问题：“是几何概型问题吗？”事件A发生的概率只与构成该事件的区域面积成比例，并且事件发生在任何一点处的可能性均相等，且基本事件的个数是无限的，确定为几何概型问题，才能利用公式求解概率。然后引导学生小结：（1）思考本题的流程，即两个随机变量—面积问题—二维问题—建立坐标系；（2）面积问题的概率计算P（A）=■，帮助学生理清解题思路。

四、归纳总结

课堂小结：鼓励学生对本课进行总结，其他同学补充。

设计意图：总结环节是本节课核心内容的提炼，热闹的一节课下来，学生要清楚地知道本节课自己应该获得哪些知识，哪些方面的能力应该得到提高，同时培养归纳总结的能力及合作探究精神。

五、教学设计说明

1.前苏联心理学家维果茨基用“最近发展区”理论描述学习，特别强调教师的支持和同学的交流在引发学生“最近发展区”的形成，最终实现潜在的发展水平方面所起到的重要作用。本节课对知识进行层层建构，将学生的思维引入“最近发展区”，通过小组合作、交流、探究，最终解决问题。

2.如何在课堂上实施有效教学是教学研究中恒久的话题，本节课的教学通过“设置问题—解决问题—学以致用”几个环节，将教学内容紧凑地贯穿在一起，强调过程、注重结果，为学生今后的学习提供一个参考平台，同时也使课堂教学更有效。

3.计算机的应用体现了现代数学的实用性和广泛性。

参考文献：

[1]刘绍学.数学必修三[M].北京：人民教育出版社，2010.endprint

摘 要： 在新一轮课程改革的背景下，高中数学教学迫切需要改革，如何体现“学生主体，教师主导”是每个数学教师都应该关注的热点。本文以人教版高中数学必修三《几何概型》一课的实施为例，充分展示“将课堂还给学生”的教学理念，在学习过程中，教师不断搭建“踏脚石”，将学生思维引入“最近发展区”，使学生面对知识难点时各个击破，在教师提供的“台阶”的帮助下“踮踮脚”就获取知识，真正实现了“每个学生都能得到最优化发展”。

关键词： 教学目标 重难点 教学方法 教学手段 教学过程

一、教学目标与重难点分析

1.教学目标

（1）知识与技能：使学生能够类比一维几何概型的处理模式解决二维几何概型问题；学会如何充分建构知识结构。

（2）过程与方法：通过小组讨论，合作学习，体会二维几何概型问题在具体情境中的呈现方式，类比、联想建立数学模型，将未知量问题转化为几何概型问题，使问题得到解决。

（3）情感态度与价值观：通过“设置问题—解决问题—学以致用”几个环节，将教学内容紧凑地贯穿在一起，让学生体验到数学的“源与流”，培养学生类比、联想、化归的数学思想方法。

2.重、难点透视

（1）重点：如何将实际问题建立为二维几何概型的数学模型。

（2）难点：把求未知量问题转化为几何概型求概率问题。

二、教学方法与教学手段

1.教学方法

本节课将采用“问题—探究”式教法和“小组合作研究”式教法。在解决如何把求未知量问题转化为几何概型求概率问题时主要采用“问题—探究”式教法。

2.教学手段

除了使用常规的教学手段外，还采用计算机或计算器辅助教学。

三、教学过程与设计

1.复习回顾

提问：（1）几何概型的特点；（2）几何概型三种常见的问题是什么？（3）几何概型的概率如何计算？

设计意图：本节课是一节能力提升课，我们要引导学生研究几何概型的二维问题。解决概率问题的基础，首先要确定概率模型，这就要求学生对古典概型和几何概型的特点在知识上做好储备。几何概型三种常见的问题长度、面积、体积，是几何概型中一维问题到二维问题再到三维问题的一个体现，为后续解决二维问题最终扣在几何概型面积问题上，做好理论铺垫。

2.故布疑云

引例：某人去车站等车，整点发车，请问他等车的时间不多于20分钟的概率？

教学预设：本题是书上例题的翻版，通过第一课时的学习和刚刚的复习回顾，学生有能力得出概率值。然后，可以以一种轻松的方式，抛出以下几个问题供学生动脑、动手。

（1）题中的随机变量有几个？（2）本题是哪种类型的几何概型问题？（3）动手，试建立数轴说明这一问题。

例题：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00-8：00之间，问你父亲在离开家前得到报纸（事件A）的概率是多少？

设计意图：本节课要研究二维几何概型，直接切入例题，不符合学生思维的建构过程，设计一个引例，是在学生的思维上做好过渡，同时也为学生的思考提供比较、区分。而几个问题的提出，也是让学生体会到变量的个数与维数之间的关系，使学生在解决例题时的讨论与研究更有方向感。例题的解决是本节课的难点，如何把求未知量问题转化为几何概型求概率问题，同时这也是本节课的探究点。如果采用教师主导式教学，牵着学生的鼻子走，则容易造成学生知其然不知其所以然。不妨尝试采用“问题—探究”式教法。

3.共同探究

教学预设：我们用“问题—探究”式教法处理例题时，将采用如下流程：抛出问题—小组讨论—达成共识，将班级分为每四人一组进行讨论。

问题一：根据生活经验，父亲在什么情况才会得到报纸？

问题预设：学生可能有以下几种结论：①送报人在7：00前把报送到。②父亲在7：30分以后再上班。这两种观点过于片面，没有很好地理解送报时间与离家时间的随机性。此时，我们不妨把问题抛给学生，“是否同意这些观点，不同意请举例说明理由”，举例过后，经学生总结，全班达成共识。③只要父亲上班的时间晚于送报到家的时间就可得到报纸。

问题二：事件A发生即送报时间早于父亲离开家的时间包含几个随机变量？

问题预设：一部分学生的思路会执著于某时刻是否得到报纸，因此会认为随机变量只有一个，也会有学生认为送报时间和父亲离家时间是两个随机变量，但原因不是很清晰。此时我们可以设计几个问题帮助学生理清思路：

（1）送报时间与离家时间有关系吗？

（2）送报时间与离家时间范围分别是什么？

（3）如何用一个变量表示送报时间和离家时间？

待问题逐一讨论清晰后，学生会形成送报时间与上班时间没有必然联系，而且两个量的范围不一样，用一个量表示不现实这一想法，继而顺理成章地设出两个变量x，y。之后，我们可以趁热打铁再抛给学生一个问题：“请你列出在事件A情况下x，y之间的关系式？”当我们充分探讨问题一和问题二后，学生就此问题相互补充，不难给出y≥x且6.5≤x≤7.5，7≤y≤8。

问题三：比较引例与例题之间的区别，如何计算例题概率？

教学预设：这是本节课的难点，也是高潮，学生要通过合作性探究，给出问题的处理意见。根据教育学家维果斯基的“最近发展区理论”，如果前两个问题进行得比较顺利且学生接受程度比较好，这个问题我们就完全可以放手给学生，由学生类比、总结、拿出可行性方案、给出结论；如果前两个问题进行得不够顺利或者学生接受程度一般，我们就可以帮助学生将问题拆分，首先给出引例的解题模式：“一个随机变量—长度问题—一维问题—建立数轴”，请学生加以类比，给出例题解题模式：“两个随机变量——？问题——？维问题——建立？”待问题一一解决后，引导学生尝试性计算概率。

问题预设：学生给出的方案可能包括：

（1）由一维问题联想到二维问题，由数轴联想到坐标系，由长度联想到面积，转化成几何概型问题，之后利用公式求解概率。

（2）由事件A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，联想到线性规划问题，而事件A的发生是图中阴影部分面积，转化成几何概型问题，之后利用公式求解概率。

当然，授课过程中我们会遇到各种不同的方案，无论学生给出哪种方案，都要引导学生解决一个首要问题：“是几何概型问题吗？”事件A发生的概率只与构成该事件的区域面积成比例，并且事件发生在任何一点处的可能性均相等，且基本事件的个数是无限的，确定为几何概型问题，才能利用公式求解概率。然后引导学生小结：（1）思考本题的流程，即两个随机变量—面积问题—二维问题—建立坐标系；（2）面积问题的概率计算P（A）=■，帮助学生理清解题思路。

四、归纳总结

课堂小结：鼓励学生对本课进行总结，其他同学补充。

设计意图：总结环节是本节课核心内容的提炼，热闹的一节课下来，学生要清楚地知道本节课自己应该获得哪些知识，哪些方面的能力应该得到提高，同时培养归纳总结的能力及合作探究精神。

五、教学设计说明

1.前苏联心理学家维果茨基用“最近发展区”理论描述学习，特别强调教师的支持和同学的交流在引发学生“最近发展区”的形成，最终实现潜在的发展水平方面所起到的重要作用。本节课对知识进行层层建构，将学生的思维引入“最近发展区”，通过小组合作、交流、探究，最终解决问题。

2.如何在课堂上实施有效教学是教学研究中恒久的话题，本节课的教学通过“设置问题—解决问题—学以致用”几个环节，将教学内容紧凑地贯穿在一起，强调过程、注重结果，为学生今后的学习提供一个参考平台，同时也使课堂教学更有效。

3.计算机的应用体现了现代数学的实用性和广泛性。

参考文献：

[1]刘绍学.数学必修三[M].北京：人民教育出版社，2010.endprint