(3+1)维三次-五次Gross-Pitaevskii方程在非对称势阱下的精确解

纪庆群， 陈 浩

(华南师范大学物理与电信工程学院，广州 510006)

Gross-Pitaevskii方程(GPE)是玻色爱因斯坦凝聚中的一个重要模型，用来描述凝聚物物质波的函数[1]. 另外，在光纤、等离子物理、流体力学中也具有重要作用. 研究GPE得出了一些可行的解法[2-3]. 例如：广田法、雅克比椭圆函数法、自相似变换和F展开法. (1+1)维GPE的稳定孤子解已经得出，并已在实验中得到验证[4].

近年来，当势阱为抛物线形，散射系数为常数时，得到一系列的周期解和行波解.如考虑两体和三体相互作用时各向同性下GPE的自相似解[6]、通过数据值计算[7]或自相似变换[8]得到雪茄型势阱下(3+1)维GPE的精确解.但仅考虑易轴或易平面对称，很少考虑3个方向的各向异性.

本文采用F展开法和齐次平衡法[9]求解3个方向各向异性的GPE，得出雅克比椭圆函数解.讨论了一些解的动力学性质和各向异性对孤子的影响.

1 Gross-Pitaevskii方程及其解法

考虑如下的(3+1)维三次-五次GPE：

V(x,y,z,t)u=iγ(t)u，

(1)

式(1)可以写成振幅和相位的形式

u(x,y,z,t)=A(x,y,z,t)exp[iB(x,y,z,t)]，

(2)

把式(2)带入式(1)中，可以得到耦合方程：

(3)

(4)

根据齐次平衡法，做如下变换:

(5)

把式(5)带入式(3)、(4)可得

ρt+β[ρxBx+ρyBy+ρzBz+ρΔB]=2γρ，

(6)

(7)

用F展开法把解展开为：

ρ=f1(t)+f2(t)F(θ)，

(8)

θ=k1(t)x+k2(t)y+k3(t)z+w(t)，

(9)

B=a1(t)x2+a2(t)y2+a3(t)z2+b1(t)x+

b2(t)y+b3(t)z+e(t).

(10)

其中，fj、ki、w、ai、bi和e(i=1,2,3;j=1,2)均为时间的函数，F是第一类雅克比椭圆函数，F′2=c0+c2F2+c4F4.

fjt+2(a1+a2+a3)βfj-2γfj=0，

(11)

kit+2βaiki=0，bit+2βaibi=0，

(12)

(13)

wt+β(k1b1+k2b2+k3b3)=0，

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

在一些约束条件基础上，解式(11)～(19)，得到：

(20)

(21)

(22)

(23)

其中，i=1,2,3，j=1,2.ki0、bi0、w0和e0是t=0时刻各函数的初始值. 当f10=0时δ=0，否则δ=1. 需要注意的是非线性系数1、2必须满足以下2个约束条件：

a1-a2-a3)dt]，

(24)

a1-a2-a3)dt].

(25)

这些式可以理解为式(1)的2个可积条件. 另外，需要注意的是c0、c2和c4必须满足

(26)

若要得到孤子解，则雅克比椭圆函数满足：c0+c2+c4=0. 结合式(26)，可得

f20=±f10.

(27)

从式(5)、(6)可以看出f10是正常数，推出1.2是负数. 意味着两体相互作用和三体相互作用是相互竞争关系. 从式(20)～(25)可以看出系数和参数均依赖于ai，可以从式(13)中求出ai，然而对于一般的α和β，式(13)没有具体的解. 为了解这个方程，α和β必须满足特定的关系. 本文假设α/β=α0/β0，α0和β0是同号常数.

2 结果与分析

通过假设α/β=α0/β0，得到精确解:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(b1x+b2y+b3z)+e]}，

(33)

式中，

θ=w0+k1x+k2y+k3z-

(34)

3 讨论

图1 呼吸子解(A)、衰减的孤子解(B)、亮孤子解(C)、暗孤子解(D)、扭结子解(E)、反扭结子解(F)

值得注意的是，若考虑β=β0e-εt情况，孤子的振幅和宽度均随时间变小，并趋于某一固定值，孤子的传播方向也逐渐稳定. 一段时间后，孤子传播稳定，尽管此时没有增益. 如选择β=e-1.5t，可得亮孤子解和暗孤子解. 此时图1C中f20=1，图1D中f20=-1. 其它参数和系数与图1A、B相同.

图1E、F为相互对称的扭结子和反扭结子. 参数和系数除了F(θ)=tanh(θ)外与图1C、D相同.

考虑势阱各向异性的情况，假设w⊥=w1=w2，当势阱为盘面形(w3>>w⊥)时，式(1)转变为准二维GPE. 当势阱为雪茄型(w3<

图2A～D显示了在w3逐渐增大时孤子形状的变化. 振幅逐渐减小，朝逆时针方向转动，并趋于水平. 由图2E～H可知，孤子的宽度逐渐增加，说明凝聚物的密度在减小. 当w⊥逐渐增大时，也得到类似情况. 需要注意的是，此时孤子沿顺时针转动并趋于垂直.

图2 孤子波形的变化

4 结论

本文解出了广义的(3+1)维GPE，得出了一系列雅克比椭圆函数解.选择不同的β时，可得到不同类型的孤子解. 当β选择指数形式时，孤子趋于稳定的值. 讨论了各向异性对孤子动力学的影响，发现在各向异性时，孤子的形状和稳定性存在显著变化.

参考文献：

[1] Dalfovo F, Giorgini S, Pitaevskii L P, et al. Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases[J]. Reviews of Modern Physics, 1999, 71(3):463-512.

[2] Kobayashi M, Tsubota M. Kolmogorov Spectrum of superfluid turbulence: Numerical analysis of the Gross-Pitaevskii equation with a small-scale dissipation[J]. Physical Review Letters, 2005, 94(6): 5302-5306.

[3] Zhong W P, Belicé M R, Lu Y Q, et al. Traveling and solitary wave solutions to the one-dimensional Gross-Pitaevskii equation[J]. Physical Review E, 2010, 81(1):6605-6609.

[4] Atre R, Panigrahi P K, Agarwal G S. Class of solitary wave solutions of the one-dimensional Gross-Pitaevskii equation[J]. Physical Review E, 2006, 73(5):6611-6615.

[5] Petrovic N Z, Belic M, Zhong W P. Spatiotemporal wave and soliton solutions to the generalized (3+1)-dimensional Gross-Pitaevskii equation[J]. Physical Review E, 2010, 83(1):6610-6614.

[6] Dai C Q, Chen R P, Wang Y Y. Spatiotemporal self-similar solutions for the nonautonomous (3+1)-dimensional cubic-quintic Gross-Pitaevskii equation[J]. Chinese Physics B, 2012, 21(3):508-513.

[7] Perez V M, Michinel H, Herrero H. Bose-Einstein solitons in highly asymmetric traps[J]. Physical Review A, 1998, 57(5):3837-3842.

[8] Wang D S, Li X G. Localized nonlinear matter waves in a Bose-Einstein condensate with spatially inhomogeneous two- and three-body interactions[J]. Journal of Physics B, 2012, 45(10):5301-5308.

[9] Chen Y X, Lu X H. Spatiotemporal similaritons in (3+1)-Dimensional inhomogeneous nonlinear medium with cubic-quintic nonlinearity[J]. Communications in Theoretical Physics, 2011, 55(5):871-877.

[10] Abdullaev F K, Gammal A, Tomio L, et al. Stability of trapped Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review A, 2001, 63(4):3604-3617.

[11] Zhang A X, Xue J K. Band structure and stability of Bose-Einstein condensates in optical lattices with two- and three-atom interactions[J]. Physical Review A, 2007, 75(1):3624-3629.