连续型周期Sylvester方程的解

杨 刚， 陈小山

(华南师范大学数学科学学院,广州 510631)

考虑如下周期为p的连续Sylvester方程

(1)

计算sign(Z)的最简单的方法是将牛顿迭代运用到(sign(Z))2=I，得到如下迭代算法[2]

(2)

当Z没有特征值在虚轴上，上述迭代产生的序列{Zk}二阶收敛到sign(Z).矩阵符号函数是求解矩阵的不变子空间、代数Riccati方程以及Sylvester方程的一个主要工具[2-10].

接下来研究广义周期连续型Sylvester方程解的存在唯一性,研究用矩阵符号函数求解方程(1),并给出一个数值例子说明本文的数值方法.

1 周期连续型Sylvester方程解的存在唯一性

本节研究方程(1)解的存在唯一性.下面先给出如下形式的周期Sylvester方程

(3)

解的存在性与唯一性的充要条件, 其中Xp+1=X1.

(4)

证明定义线性算子:(Cm×n)p(Cm×n)p如下：

:

那么只要证明线性算子非奇异的充要条件是条件(4)成立.

βkAkxk=αkBkxk+1(k=1,…,p),

(5)

其中

(6)

δkCkyk=γkDkyk+1(k=1,…,p),

(7)

其中

(8)

由式(6)和式(8)可知存在不全为零的数ξ1,…,ξp和非零的数η1,…,ηp使得[11]

ξkαk=ξk+1δk,ηkγk=ηk+1βk(k=1,…,p).

(9)

由于βkγk≠0(k=1,…,p), 因此

充分性:假设条件(4)成立，首先考虑所有系数矩阵均为一阶的情形，即

(10)

(11)

(12)

利用式(12)的递推关系, 可得

(13)

由式(11)、(13)可得x1=0.再由式(12)知xk=0(k=1,…,p).

由定理1可得方程(1)有解的充要条件.

(14)

2 用矩阵符号函数求解周期连续型Sylvester方程

本节将给出用矩阵符号函数求解方程(1)的数值解法，需要下面的引理.

引理1[8]假设A和B的特征值分别位于单位圆周内和单位圆周外， 那么Sylvester方程AX-XB=E的解满足

(15)

(k=1,…,p),

(16)

其中Xp+1=X1,Zp+1=Z1和

(17)

证明设Xk(k=1,…,p)是方程(1)的解. 令

由式(17)可得

(18)

由于

那么有

sign(Zk…Z1Zp…Zk+1)=

证毕.

(19)

其中

和

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式(23)和式(24)两边相加得

(25)

(26)

(27)

(28)

式(27)和式(28)两边相加得

(29)

(30)

3 算法与数值例子

算法1：

输出:方程(1)的解Xk(k=1,…,p);

(3)利用牛顿迭代计算

S=

例1 设周期为p=3的方程(1)的系数矩阵如下

表1的cond(Z)表示矩阵Z的普条件数，即cond(Z)=‖Z‖2‖Z-1‖2.reo和rem分别表示算法1和使用Matlab函数Z求解时获得近似解的相对残量.数据显示使用算法1解此周期Sylvester方程和使用Matlab函数Z是同样可靠的.

表1 计算解的相对残量

参考文献：

[1] 胡端平.矩阵方程X+AXB=C与线性流形上的矩阵最佳逼近[J].数学物理学报,1999,19(4):467-471.

Hu D P.Matrix equationX+AXB=Cand best approximation of a matrix on the lineat mainfold[J].Acta Mathematiea Scientia,1999,19(4):467-471.

[2] Kenney C S, Laub A J. The matrix sign function[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1995,40(8):1330-1348.

[3] Roberts J D. Linear model reduction and solution of the algebraic Riccati equation by use of the sign function[J].International Journal of Control,1980,32(4):677-687.

[4] 徐树方.控制论中的矩阵计算[M].北京：高等教育出版社,2011.

[5] Bai Z H, Demmel J. Using the matrix sign function to compute invariant subspaces[J].SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,1998,19(1):205-225.

[6] Benner P,Quintana-Orti E S.Solving stable generalized Lyapunov equations with the matrix sign function[J].Numerical Algorithms,1999,20:75-100.

[7] Byers R. Solving the algebraic Riccati equation with the matrix sign fuction[J].Linear Algebra and its Applications,1987,85:267-279.

[8] Chen X S. Solving the (generalized) Periodic Sylvester equation with the sign function[J].Mathematical Numerica Sinica,2012,34:153-162.

[9] Denman E D,Beavers A N. The matrix sign function and computation in systems[J]. Applied Mathematics and Computation,1976,2(1):63-94.

[10] Sun X, Quintana-Orti E S. The generalized Newton iteration, matrix sign function[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2002,24(2):669-683.

[11] Granat R,Kagstrom B.Direct eigenvalue reordering in a product of matrices in periodic Schur form[J].SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,2006,28(1):285-300.