某些华罗庚域的Bergman核函数的显式表达

尹 明, 刘名生

(华南师范大学数学科学学院,广州 510631)

1921年, Bergman引入一种核函数, 即现在所说的Bergman核函数，它在多复变函数论发展初期扮演了一个非常重要的角色.众所周知,n中的有界域都存在Bergman核函数. 但哪些域上的Bergman核函数能显示表达呢？这是一个有意义的问题，而且一些重要问题的解决也依赖于Bergman核函数的显示表达.Bergman核函数的显式表达是多复变的一个热门研究课题[1-14].

如果一个有界齐性域的全纯自同构群是已知的,则可算出它的Begman核函数的显示表达式,华罗庚[1]曾用这种方法算出了4类Cartan域的Bergman核函数的显示表达式. 并算出Bergman核函数显示表达式的域还有蛋型域(或复椭球域)[2]. 一般地, 蛋型域具有下面形式：

其中p1,…,pn为正实数,zj(j=1,…,n)为复数. 更为一般的情况是:

Francsics与Hanges[2]得到了上述域当p1,…,pn为正整数时的Bergman核函数. 殷慰萍与Roos[15]共同引入了4类超Cartan域或Cartan-Hartogs域,殷慰萍[9-14]得到了这4类域上的Bergman核函数显示表达式；引入了4类Cantan-egg域,分别算出这4类域上的Bergman核函数的显示表达式；将Cartar-Egg域进一步推广为更一般的形式:

文献[7]得到下面这种新域上的Bergman核函数的显示表达式

|W1|2+|W2|2k

其中Ω是指任意不可约有界圆型齐性域,N(Z,Z)是Ω的一般范数, 它是det(I-ZZT)的推广. 本文考虑新域E(p,q,Ω;k)推广到更多个变量的情况：

E(k,q2,…,qm,Ω;p2,…,pm)=

W12+W22p2+…+Wm2pm

并求出它的Bergman核函数显示表达式. 这里Ω是指任意不可约有界圆型齐性域,k,m,q2,…,qm都是正整数,p2,…,pm都是正实数,N(Z,Z)是Ω的一般范数. 易见, 当Ω是4大类的不可约的对称典型域时, 上述域就是华罗庚域.

1 准备知识

定义1[7]m+n中的有界域D称为semi-Reinhardt域, 如果0D, 且对所有(z,w)D,θ1,…,θm,θ都为实数,则有(eiθ1w1,…,eiθmwm,eiθz1,…,eiθzn)D.

由定义1知,D相对于Ω是Reinhardt域,相对于z是圆型域的. 显然semi-Reinhardt域是圆型域, 但反之不成立. 熟知, 若D1是m中包含原点的Reinhardt域,则是D1上的完备正交系;若D2是n中包含原点的圆型域, 则

定义3[2]超几何函数FA定义为

Gauss超几何函数:

定义如下全纯函数:

除去一个模为1的复数,JΦ(Z)为A(Z,Z0)的g次方幂.

其中N(Z,Z)是Ω的一般范数,

这里a=dimVij(0

引理2[7]假定D是m+n中的semi-Reinhardt域, 则

为D的完备正交系.

引理3[8]膨胀原理: 设Ω是n+1中有界完全Hartogs域,

这里Φ是n中有界域D上的有界、取正值且连续的函数. 关于一维变量的圆对称性质,Ω上的Bergman核函数可以表示为KΩ(z,ζ)=L(z,|ζ|2). 将Ω膨胀到域⊂D,Zm,Z2<Φ(z)},则有上Bergman核函数与Ω上的Bergman核函数关系:

定义的映射Ψ:E(Ω;p2,…,pm)E(Ω;p2,…,pm)是E(Ω;p2,…,pm)的全纯自同构, 其中Z0=Φ-1(0),且有

用文献[7]中引理3.1的方法，类似可证明本引理.

2 E(k,q2,q3,…,qm,Ω;p2,p3,…,pm)的Bergman核函数

根据Bergman核的变换法则和

有

KE(W1,…,Wm,Z)=

显然E(Ω;p2,…,pm)是m+n中的semi-Reinhardt域,由引理2知, 其上有完备正交系:

ωm(Wm)ω(Z)=1,

于是E(Ω;p2,…,pm)在(W1,…,Wm,0)的Bergman核为

下面先给出一个引理.

ω(W1)…

证明应用多元极坐标变换可得

(sinθ1)m-2(sinθ2)m-1…sinθm-2dθ1…dθm-1=

□

其次给出域E(Ω;p2,…,pm)的Bergman核函数:

定理1E(Ω;p2,…,pm)的Bergman核函数为

其中

Hjk(2,3,…,m)=

bj为满足下面等式的常数:

(1)

这里h=j1+1+(j2+1)/p2+…+(jm+1)/pm.

ω(W1)…ω(Wm)ω(Z)).

令h=j1+1+(j2+1)/p2+…+(jm+1)/pm,N(Z,Z)=R2. 则根据引理5和引理1可得

令bj为由式(1)定义的常数,则

于是

KE(W1,W2,…,Wm,0)=

又因为

和

以及Gauss超几何函数定义

所以

因此

KE(W1,W2,…,Wm,0)=

对0≤k≤j,考虑如下函数Hjk:

Hjk(2,3,…,m)=

由于

是关于j2,…,jm的多项式,则Hjk是i的有理函数.

令

H(t1,2,…,m)=

则

KE(W1,…,Wm,0)=

根据定理1,由膨胀原理可得如下推论:

推论1 域E(k,q2,…,qm,Ω;p2,…,pm)的Bergman核函数为:

KE(k,q2,…,qm,Ω;p2,…,pm)=

其中t1=W12,t2=W22, …,tm=Wm2.

注1 在定理1中,令m=2,p2=k,便得文献[10]的定理3.2. 在推论1中,令m=2,便得文献[10]的推论3.3.

参考文献：

[1] 华罗庚. 多复变函数论中的典型域的调和分析[M].北京:科学出版社, 1959.

[2] Francsics G,Hanges N.The Bergman kernel of complex ovals and multivariable hypergeometric functions[J].Journal of Functional Analysis, 1996,142(2):494-510.

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[11] Yin W P.The Bergman kernels on Super-Cartan domain of the first type[J].Science in China:Series A,2000,43(1):13-21.

[12] 殷慰萍.第二类超Cartan域的Bergman核函数[J].数学年刊:A辑,2000,21(3):331-340.

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[13] 殷慰萍.第三类超Cartan域的Bergman核函数[J].数学进展,2000,29(5): 425-434.

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[14] 殷慰萍.第四类超Cartan域的Bergman核函数[J].数学学报,1999,42(5):951-960.

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