浅谈数学方法在物理解题中的应用

2014-08-28

物理之友 2014年11期

(安徽省马鞍山市新市初级中学，安徽马鞍山 243141)

数学是解决物理问题的重要工具，安徽省物理《考试大纲》要求考生具有“应用数学处理物理问题”的能力.运用数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测.常用的数学方法有极值法、几何法、图像法、数学归纳推理法等.

1 比例法

比例法就是用比例式来解物理题的方法，依据物理定律用比例式建立起未知量和已知量之间的关系，进而求出未知量.

例1(2012年安徽)：某同学家的电子式电能表上个月月初、月末的表盘如图1所示．表盘上“1600imp/kW·h”表示每用电1kW·h指示灯闪烁1600次．根据表盘上的信息，回答下列问题：

图1

(1)该同学家上个月共用电多少kw·h？

(2)该同学家同时使用的用电器总功率不得超过多少？

(3)若只让一个标有“220V 484W”的电热器工作3min，观察到电能表的指示灯闪烁了32次，则该同学家的实际电压是多大？(设电热器的电阻不变)

例2(2012年安徽)：在如图2所示的电路中，电阻R1和R2串联接在AB两端，电压表并连接在R1两端．已知R1=10Ω，R2=20Ω，电压表示数为2.5V，则AB两端的电压U为多大？

图2

解析：已知两电阻串联，用电压表测R1两端的电压，根据欧姆定律求出电路中的电流，根据电阻的串联和欧姆定律求出电源的电压．

2 三角函数法

三角函数在初中物理学中用得不多，高中用得就比较普遍了.其解答流程大致是：审读题意→列出三角函数式→进行三角变换→解决实际问题.

图3

例3(2013年安徽)：如图3所示，AB两地相距4km，MN是与AB连线平行的一条小河的河岸，AB到河岸的垂直距离为3km，小军要从A处走到河岸取水然后送到B处，他先沿垂直于河岸的方向到D点取水然后再沿DB到B处.若小军的速度大小恒为5km/h，不考虑取水停留的时间.

(1)求小军完成这次取水和送水任务所需要的总时间.

(2)为了找到一条最短路线(即从A到河岸和从河岸到B的总路程最短)，可以将MN看成一个平面镜，从A点作出一条光线经MN反射后恰能通过B点，请你证明入射点O即为最短路线的取水点.

解析：利用平面镜成像的特点：像与物关于平面镜对称，作出发光点A的像点A′，根据反射光线反向延长通过像点，可以由像点和B点确定反射光线所在的直线，两点之间直线距离最短.本题利用平面镜成像的特点，并结合数学知识，解决实际问题(取水路线最短)，综合性较强.

本文仅就(2)问作答，如图4所示，作出发光点A关于平面镜的对称点，即为像点A′，连接A′、B点交平面镜于点O，沿OB画出反射光线，连接AO画出入射光线，图中O就是入射点.

由图4可知，两点之间线段最短，即此时A′B之间的距离(A′O+OB)最短.根据平面镜成像的特点可知，此时AD=A′D，且Rt△ADO与Rt△A′DO有一条公共边DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，即AO=A′O，故AO+OB=A′O+OB，即此时O点是最短路线的取水点.

图4

3 图像法

在物理中常采用图像把物理量之间的关系表示出来，如“物态变化”一章中采用温度-时间图像表达物态变化中晶体的熔化、液体的沸腾的特点.图像法具有直观、形象、简捷和概括力强的独特优点，它能将物理情景、物理过程、物理状态以直观的方式呈现在我们面前.

用图像法解题的一般步骤是：

(1)看清图像中横坐标、纵坐标所表示的物理量；

(2)弄清坐标上的分度值；

(3)明确图像所表达的物理意义，利用图像的交点坐标、斜率、截距交点和图像与坐标所包围的面积等，进行分析、推理、判断和计算；

(4)根据图像进行数据计算或者做判断性结论.

图5

例4(2008年安徽)：小灯泡L的额定电压为6V，小明通过实验测得其电流随电压变化的曲线如图5，由图5可知当L正常发光时，通过其灯丝的电流是A，通过调节滑动变阻器，使小灯泡两端的电压为3V，则此时小灯泡消耗的实际功率为W.

解析：我们按上述步骤先观察横坐标、纵坐标分别表示电压和电流，第二步是观察分度值看清题目的要求.要看到电压的分度值是一大格表示1V，电流的分度值是一格表示0.1A.从图5可以看出，当小灯泡两端电压为6V时，纵坐标为通过它的电流，是0.6A；电压为3V时，纵坐标表示电流为0.5A，所以小灯泡的实际功率为P=UI=3V×0.5A=1.5W.