饮似长鲸快吸川， 思如渴骥勇奔泉

董生麟

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.人教版《普通高中数学课程标准（实验）》选修2-2中讲到，推理的模式分为合情推理和演绎推理两大类.与后者相比，前者主要考察学生的非逻辑思维，即对反应客观事实的理性认识，不以固定的逻辑程序进行，不受固定的逻辑规律约束，需要对思考对象的属性与关系作出判定的思维方式，主要表现在直觉思维和灵感上，当然它的这种灵动性是难以捉摸的.笔者通过对于新教材的学习，结合在新课改中的教学实践，探讨直觉思维在中学数学中的运用.

1.直觉思维概述

数学中，直觉思维是指个体在以往存储的知识经验的基础上，充分调动一切和所求问题相关联的意识，发挥形象和联想，对数学对象（结构及关系）进行直接领悟和洞察的思维活动，是数学思维的重要内容之一.直觉思维本身具有简约性、创造性、偶然性、不可靠性等特点，这些特点决定了我们需要直觉这个可珍贵的“珍珠”的帮助，引导我们解决问题，但在运用过程中更应注意直觉思维的不利因素，切实根据直觉思维的特点合理利用，才能真正地让直觉思维发挥出巨大作用.

2.直觉思维的运用

莱布尼茨曾说：“人们依靠直觉洞察力往往一眼看出我们靠理论的力量在花了许多精力以后才能找出的东西.”许多数学问题的发现与解决来源于直觉思维，如：著名的哥德巴赫猜想、四色猜想、黎曼几何的创立等都是直觉思维的典范.

解数学题是数学教学的一个重要组成部分.数学解题过程是一个创造性的思维活动过程，通过解题可以把学生所学到的知识进行巩固和深化，培养学生的思维品质.直觉思维以高度省略、简化、浓缩的方式洞悉问题的实质，对于提高学生的思维素质，培养数学创新能力极为重要.许多杰出的科学家都曾因此给予高度的评价.爱因斯坦直截了当地说：“真正可贵的因素是直觉.”因为当我们面临一个数学问题时，应该先对结果或解题途径做一大致的估测，而不是先动手计算和论证.直觉作为一种解题方法将是一种非常有效的武器.

2.1直觉思维在中学数学中的运用举例.

2.1.1直觉洞察，联想发现，抓住核心，直入本质.

分析：本题是一道关于不等式的问题，若从代数上直接进行逻辑演绎，则得到结论相当困难.但是若先对问题中的不等式进行直观的洞察，再与中学所学过的知识进行联想，会发现不等式中的结构与余弦定理很类似，再联想到“三角形两边之和大于第三边”可得（如图1）.

在平面中任意取一点O，设OA=a，OB=b，OC=c，且两两夹角为120°，连接AB，AC，BC，构成△ABC，由余弦定理，可得

分析：本题为三角函数问题，由直观洞察可以发现题中要证明的等式的结构与常见的数列求和问题

2.1.3直觉猜想，逻辑证明.

故f（x）是一个以4t为周期的周期函数.

2.2直觉思维的误用.

前面列举了直觉思维有许多可以应用的地方，但也有一些数学问题看起来是显然的，通过直觉感知可以得到结果.可是有些题目如果你再经过仔细深入地思考，就会发现有些因素被直觉掩盖在了下面，不利于对其进行深入科学的研究.因此在利用直觉思维时要谨慎，对待直觉思维得到的结论时要多问几个为什么，深挖背后的原因，找到逻辑的支持和证明，从而更深层次地考虑和解决问题.

下面举一个直觉思维误用的例子：

A.1？摇 ？摇B.2？摇 ？摇C.3？摇 ？摇D.4

3.中学生直觉思维的培养

前面我们了解了中学数学中直觉思维的基本特征和它的运用.在中学生数学学习过程中，直觉思维与逻辑思维同样起到不容忽视的作用，拥有良好的直觉思维能力是提高学生各种综合能力的必备条件.根据中学生思维的不成熟性等特点，可发现中学生的直觉思维能力不强，但是我们可以借助中学生思维的敏锐性、可塑性等优点，进行合理、恰当的培养和训练，引导学生用直觉思维发现问题和解决问题.

3.1充足的知识准备是直觉产生的前提.

良好的直觉是建立在充足的知识储备之上的.有了大量已知的知识，经验，方法做基石，再加上正确的逻辑思维习惯，才能在某些特定的情景中，联想已有知识，激发出直觉感悟.但是这种知识储备并不是大量机械的知识简单累积在一起，而是一种有机、合理、有效地组织在一起的知识体系，是在理解各个知识板块之间内在联系的基础上的有机结合.因此，教师在向学生传授基础知识的过程中，不能仅仅以学生了解，掌握现有知识为目的，要在讲授时，总是知识内在的联系，讲清楚知识的由来与核心思想，让学生可以举一反三、融会贯通.注重各种思想方法地总结和类型的归纳，而这些总结与归纳应由教师引导学生完成，并教会学生如何思考，发现问题.

3.2善于观察，鼓励猜想.

敏锐的观察力是产生直觉的必不可少的能力.直觉思维往往从问题的全局出发，省去了繁杂的逻辑推理，从整体上把握解决问题的方向和方法.有了充足的知识储备作为基础，再加上敏锐的观察力，便能发现要解决问题与已有知识和经验的联系及共通之处，教师在平时教学过程中可以有意识地选择一些题目，让学生通过观察尽可能多地找出于其相关的已学知识和经验.不论是否切合题意，都应对学生提出的新的创意和思路给予肯定和鼓励，让其充分体会思考与创造的乐趣，对与问题不是十分符合的思路进行分析与解释.实施开放性问题教学，引导学生从多角度入手，大胆提出猜想.比如，例3中充分利用了猜想，得到了结论.在猜想出结论之后，还需要对结论进行逻辑证明.endprint

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.人教版《普通高中数学课程标准（实验）》选修2-2中讲到，推理的模式分为合情推理和演绎推理两大类.与后者相比，前者主要考察学生的非逻辑思维，即对反应客观事实的理性认识，不以固定的逻辑程序进行，不受固定的逻辑规律约束，需要对思考对象的属性与关系作出判定的思维方式，主要表现在直觉思维和灵感上，当然它的这种灵动性是难以捉摸的.笔者通过对于新教材的学习，结合在新课改中的教学实践，探讨直觉思维在中学数学中的运用.

1.直觉思维概述

数学中，直觉思维是指个体在以往存储的知识经验的基础上，充分调动一切和所求问题相关联的意识，发挥形象和联想，对数学对象（结构及关系）进行直接领悟和洞察的思维活动，是数学思维的重要内容之一.直觉思维本身具有简约性、创造性、偶然性、不可靠性等特点，这些特点决定了我们需要直觉这个可珍贵的“珍珠”的帮助，引导我们解决问题，但在运用过程中更应注意直觉思维的不利因素，切实根据直觉思维的特点合理利用，才能真正地让直觉思维发挥出巨大作用.

2.直觉思维的运用

莱布尼茨曾说：“人们依靠直觉洞察力往往一眼看出我们靠理论的力量在花了许多精力以后才能找出的东西.”许多数学问题的发现与解决来源于直觉思维，如：著名的哥德巴赫猜想、四色猜想、黎曼几何的创立等都是直觉思维的典范.

解数学题是数学教学的一个重要组成部分.数学解题过程是一个创造性的思维活动过程，通过解题可以把学生所学到的知识进行巩固和深化，培养学生的思维品质.直觉思维以高度省略、简化、浓缩的方式洞悉问题的实质，对于提高学生的思维素质，培养数学创新能力极为重要.许多杰出的科学家都曾因此给予高度的评价.爱因斯坦直截了当地说：“真正可贵的因素是直觉.”因为当我们面临一个数学问题时，应该先对结果或解题途径做一大致的估测，而不是先动手计算和论证.直觉作为一种解题方法将是一种非常有效的武器.

2.1直觉思维在中学数学中的运用举例.

2.1.1直觉洞察，联想发现，抓住核心，直入本质.

分析：本题是一道关于不等式的问题，若从代数上直接进行逻辑演绎，则得到结论相当困难.但是若先对问题中的不等式进行直观的洞察，再与中学所学过的知识进行联想，会发现不等式中的结构与余弦定理很类似，再联想到“三角形两边之和大于第三边”可得（如图1）.

在平面中任意取一点O，设OA=a，OB=b，OC=c，且两两夹角为120°，连接AB，AC，BC，构成△ABC，由余弦定理，可得

分析：本题为三角函数问题，由直观洞察可以发现题中要证明的等式的结构与常见的数列求和问题

2.1.3直觉猜想，逻辑证明.

故f（x）是一个以4t为周期的周期函数.

2.2直觉思维的误用.

前面列举了直觉思维有许多可以应用的地方，但也有一些数学问题看起来是显然的，通过直觉感知可以得到结果.可是有些题目如果你再经过仔细深入地思考，就会发现有些因素被直觉掩盖在了下面，不利于对其进行深入科学的研究.因此在利用直觉思维时要谨慎，对待直觉思维得到的结论时要多问几个为什么，深挖背后的原因，找到逻辑的支持和证明，从而更深层次地考虑和解决问题.

下面举一个直觉思维误用的例子：

A.1？摇 ？摇B.2？摇 ？摇C.3？摇 ？摇D.4

3.中学生直觉思维的培养

前面我们了解了中学数学中直觉思维的基本特征和它的运用.在中学生数学学习过程中，直觉思维与逻辑思维同样起到不容忽视的作用，拥有良好的直觉思维能力是提高学生各种综合能力的必备条件.根据中学生思维的不成熟性等特点，可发现中学生的直觉思维能力不强，但是我们可以借助中学生思维的敏锐性、可塑性等优点，进行合理、恰当的培养和训练，引导学生用直觉思维发现问题和解决问题.

3.1充足的知识准备是直觉产生的前提.

良好的直觉是建立在充足的知识储备之上的.有了大量已知的知识，经验，方法做基石，再加上正确的逻辑思维习惯，才能在某些特定的情景中，联想已有知识，激发出直觉感悟.但是这种知识储备并不是大量机械的知识简单累积在一起，而是一种有机、合理、有效地组织在一起的知识体系，是在理解各个知识板块之间内在联系的基础上的有机结合.因此，教师在向学生传授基础知识的过程中，不能仅仅以学生了解，掌握现有知识为目的，要在讲授时，总是知识内在的联系，讲清楚知识的由来与核心思想，让学生可以举一反三、融会贯通.注重各种思想方法地总结和类型的归纳，而这些总结与归纳应由教师引导学生完成，并教会学生如何思考，发现问题.

3.2善于观察，鼓励猜想.

敏锐的观察力是产生直觉的必不可少的能力.直觉思维往往从问题的全局出发，省去了繁杂的逻辑推理，从整体上把握解决问题的方向和方法.有了充足的知识储备作为基础，再加上敏锐的观察力，便能发现要解决问题与已有知识和经验的联系及共通之处，教师在平时教学过程中可以有意识地选择一些题目，让学生通过观察尽可能多地找出于其相关的已学知识和经验.不论是否切合题意，都应对学生提出的新的创意和思路给予肯定和鼓励，让其充分体会思考与创造的乐趣，对与问题不是十分符合的思路进行分析与解释.实施开放性问题教学，引导学生从多角度入手，大胆提出猜想.比如，例3中充分利用了猜想，得到了结论.在猜想出结论之后，还需要对结论进行逻辑证明.endprint

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.人教版《普通高中数学课程标准（实验）》选修2-2中讲到，推理的模式分为合情推理和演绎推理两大类.与后者相比，前者主要考察学生的非逻辑思维，即对反应客观事实的理性认识，不以固定的逻辑程序进行，不受固定的逻辑规律约束，需要对思考对象的属性与关系作出判定的思维方式，主要表现在直觉思维和灵感上，当然它的这种灵动性是难以捉摸的.笔者通过对于新教材的学习，结合在新课改中的教学实践，探讨直觉思维在中学数学中的运用.

1.直觉思维概述

数学中，直觉思维是指个体在以往存储的知识经验的基础上，充分调动一切和所求问题相关联的意识，发挥形象和联想，对数学对象（结构及关系）进行直接领悟和洞察的思维活动，是数学思维的重要内容之一.直觉思维本身具有简约性、创造性、偶然性、不可靠性等特点，这些特点决定了我们需要直觉这个可珍贵的“珍珠”的帮助，引导我们解决问题，但在运用过程中更应注意直觉思维的不利因素，切实根据直觉思维的特点合理利用，才能真正地让直觉思维发挥出巨大作用.

2.直觉思维的运用

莱布尼茨曾说：“人们依靠直觉洞察力往往一眼看出我们靠理论的力量在花了许多精力以后才能找出的东西.”许多数学问题的发现与解决来源于直觉思维，如：著名的哥德巴赫猜想、四色猜想、黎曼几何的创立等都是直觉思维的典范.

解数学题是数学教学的一个重要组成部分.数学解题过程是一个创造性的思维活动过程，通过解题可以把学生所学到的知识进行巩固和深化，培养学生的思维品质.直觉思维以高度省略、简化、浓缩的方式洞悉问题的实质，对于提高学生的思维素质，培养数学创新能力极为重要.许多杰出的科学家都曾因此给予高度的评价.爱因斯坦直截了当地说：“真正可贵的因素是直觉.”因为当我们面临一个数学问题时，应该先对结果或解题途径做一大致的估测，而不是先动手计算和论证.直觉作为一种解题方法将是一种非常有效的武器.

2.1直觉思维在中学数学中的运用举例.

2.1.1直觉洞察，联想发现，抓住核心，直入本质.

分析：本题是一道关于不等式的问题，若从代数上直接进行逻辑演绎，则得到结论相当困难.但是若先对问题中的不等式进行直观的洞察，再与中学所学过的知识进行联想，会发现不等式中的结构与余弦定理很类似，再联想到“三角形两边之和大于第三边”可得（如图1）.

在平面中任意取一点O，设OA=a，OB=b，OC=c，且两两夹角为120°，连接AB，AC，BC，构成△ABC，由余弦定理，可得

分析：本题为三角函数问题，由直观洞察可以发现题中要证明的等式的结构与常见的数列求和问题

2.1.3直觉猜想，逻辑证明.

故f（x）是一个以4t为周期的周期函数.

2.2直觉思维的误用.

前面列举了直觉思维有许多可以应用的地方，但也有一些数学问题看起来是显然的，通过直觉感知可以得到结果.可是有些题目如果你再经过仔细深入地思考，就会发现有些因素被直觉掩盖在了下面，不利于对其进行深入科学的研究.因此在利用直觉思维时要谨慎，对待直觉思维得到的结论时要多问几个为什么，深挖背后的原因，找到逻辑的支持和证明，从而更深层次地考虑和解决问题.

下面举一个直觉思维误用的例子：

A.1？摇 ？摇B.2？摇 ？摇C.3？摇 ？摇D.4

3.中学生直觉思维的培养

前面我们了解了中学数学中直觉思维的基本特征和它的运用.在中学生数学学习过程中，直觉思维与逻辑思维同样起到不容忽视的作用，拥有良好的直觉思维能力是提高学生各种综合能力的必备条件.根据中学生思维的不成熟性等特点，可发现中学生的直觉思维能力不强，但是我们可以借助中学生思维的敏锐性、可塑性等优点，进行合理、恰当的培养和训练，引导学生用直觉思维发现问题和解决问题.

3.1充足的知识准备是直觉产生的前提.

良好的直觉是建立在充足的知识储备之上的.有了大量已知的知识，经验，方法做基石，再加上正确的逻辑思维习惯，才能在某些特定的情景中，联想已有知识，激发出直觉感悟.但是这种知识储备并不是大量机械的知识简单累积在一起，而是一种有机、合理、有效地组织在一起的知识体系，是在理解各个知识板块之间内在联系的基础上的有机结合.因此，教师在向学生传授基础知识的过程中，不能仅仅以学生了解，掌握现有知识为目的，要在讲授时，总是知识内在的联系，讲清楚知识的由来与核心思想，让学生可以举一反三、融会贯通.注重各种思想方法地总结和类型的归纳，而这些总结与归纳应由教师引导学生完成，并教会学生如何思考，发现问题.

3.2善于观察，鼓励猜想.

敏锐的观察力是产生直觉的必不可少的能力.直觉思维往往从问题的全局出发，省去了繁杂的逻辑推理，从整体上把握解决问题的方向和方法.有了充足的知识储备作为基础，再加上敏锐的观察力，便能发现要解决问题与已有知识和经验的联系及共通之处，教师在平时教学过程中可以有意识地选择一些题目，让学生通过观察尽可能多地找出于其相关的已学知识和经验.不论是否切合题意，都应对学生提出的新的创意和思路给予肯定和鼓励，让其充分体会思考与创造的乐趣，对与问题不是十分符合的思路进行分析与解释.实施开放性问题教学，引导学生从多角度入手，大胆提出猜想.比如，例3中充分利用了猜想，得到了结论.在猜想出结论之后，还需要对结论进行逻辑证明.endprint