中学物理控制变量方法中的多变量组合问题探讨

(1．北京师范大学物理系，北京 100875；2．人民教育出版社，北京 100081；3．上海市闵行中学，上海 200240)

新课程注重科学探究，让学生通过经历探究的过程得出结论，从中体会科学研究的思想方法.在研究问题时，经常会遇到多个自变量的情况，有时这些变量之间还存在着相互影响，要研究它们对因变量的影响并得出变化规律，是一件比较困难的事.因此，控制变量作为一种重要的科学研究方法，需要学生能够熟练的掌握.

控制变量的方法广泛应用于中学物理探究实验中，比较典型的例子包括初中物理中探究欧姆定律、探究动能的大小与什么因素有关等，高中物理中探究牛顿第二定律、探究影响导体电阻大小的因素等.然而经过细致的分析会发现，这些探究活动中虽然都利用了控制变量的方法，但是其对学生的要求和内在的步骤是不同的.

初中的探究多为定性探究，其结论也主要是讨论某两个物理量之间的定性关系.例如，对于初中“探究动能的大小与什么因素有关”的实验，最终学生得到的结论是：“质量相同的物体，运动的速度越大，它的动能越大；运动速度相同的物体，质量越大，它的动能越大”[1].这个结论正是根据学生科学探究的结果直接得到的推论，描述的是当一个变量保持不变时，动能和速度、动能和质量之间的定性关系.在其他实验中，控制变量也主要表现为，保持其他因素不变，而改变某一个因素，探究其结果的不同，例如“探究摩擦力的大小与什么因素有关”的实验，是通过分别改变受力面的粗糙程度和压力的大小来分析摩擦力变化的.

然而，高中的科学探究中涉及控制变量时，则多为定量探究.通过定量探究得到每一个变量的变化规律后，还需要将几个单变量函数组合成一个多变量函数，这个过程称为“多变量的组合”[2].

1 多变量组合问题

如果一个物理过程中有若干个物理量发生变化，它们的相互关系可以由y=f(x1,x2,...,xn)来表示.按照控制变量的思想，可以通过控制物理过程，使得x2,x3,...,xn保持不变，只研究y与x1之间的关系得到y=f1(x1)，同样的，可以得到y=f2(x2)，y=f3(x3)，…，y=fn(xn).这样依次研究y与各个变量之间关系的方法，就是控制变量.这种方法可以把研究的问题大大简化，将原来比较复杂的多变量问题，转化成相对简单的单变量问题.

2 多变量组合函数关系的证明

实际上，还可以提供一种更普遍的证明方法：

已知：z=f(x,y)=f1(x)y=f2(y)x，x>0,y>0,z>0.

求证：z=Cxy，其中C为常数.

证明：由z=f(x,y)=f1(x)y=f2(y)x,有z2=f1(x)y×f2(y)x.

所以有z=Cxy.

通过上面的证明我们可以看出，在应用控制变量方法的研究中，由于要确定定量关系，就会遇到多变量组合的问题，这个问题增加了学生数理逻辑能力的难度.但是，上面的证明过程表明，对于中学的大部分实验来说，可以直接认为控制变量后得到的两个函数可以叠加.

3 多变量组合问题在教学中的处理办法

对于一般学生来说，在学习新知识的过程中，一般并不会注意到多变量组合问题的存在.所以在教学中，就可以用“显而易见”忽略过去.但是教师应该清楚其中并不是可以简单忽略的，特别是对于一些数理功底较强、热爱思考的学生来说，“显而易见”就应该变为“可以证明”了.在赵凯华、张维善编写的《新概念高中物理读本第一册》中，就通过严密的逻辑从实验推导出了牛顿第二定律.

值得注意的是，对于初中生来说，由于他们的数理水平不高，这个问题也会增加与控制变量有关的定量实验的难度.例如，欧姆定律作为初中物理的一个难点，涉及三个物理量之间的定量关系，学生在学习的过程中往往存在困难.特别是在探究的过程，很难得出结论.在教学中，教师往往先让学生认识电阻一定时，导体中的电流跟电压成正比；再让学生认识电压一定时，导体中的电流跟电阻成反比；最后，“综合”得出欧姆定律.这个“综合”就涉及了多变量组合的问题.因此，在人民教育出版社2013年出版的《义务教育教科书物理九年级》[5]中，则采用了下面的展开方式：首先，明确探究的规律是电流与电阻、电压之间的关系；之后让学生在保持电阻不变的情况下，探究通过电阻的电流和电阻两端电压的关系；然后让学生在保持电压不变的情况下，探究通过电阻的电流和电阻的关系；最后安排了一个“想想议议”栏目，引导学生利用前面的实验数据计算U/I，并与电阻比较，看看电阻R与U/I有什么关系，从而最后得到欧姆定律R=U/I.这样的探究过程，由于最后是直接研究R与U/I的关系，跳过了多变量组合的过程，因此降低了学生的学习难度，有利于学生对知识和技能的学习和理解.

虽然多变量组合的过程在中学物理采用控制变量的研究方法中一般并没有明示，也可以证明其合理性.但是，明确这个过程，有助于分析学生学习控制变量方法的思维障碍，从而做出有针对性的教学设计.对于学有余力的学生来说，也可以通过深入讨论这个证明过程，培养科学研究的能力，体会科学的严谨与自洽.

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书物理八年级下册[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]张大同，曹得群.注重方法 自我发展[M].上海：上海教育出版社，1998：107.

[3]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书物理必修1[M].北京：人民教育出版社，2006：74.

[4]赵凯华,张维善.新概念高中物理读本(第一册)[M].北京:人民教育出版社,2006:52-56.

[5]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.义务教育教科书物理九年级[M].北京：人民教育出版社，2013.