用虚位移原理处理复杂的平衡问题

(南京师范大学附属中学江宁分校，江苏 南京 211102)

虚位移原理最早由瑞士著名数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)在1717年提出,又叫做虚功原理(principle of virtual work),是力学中的一条重要原理.虚位移原理的有意思之处在于其给出了求解静力学平衡问题的动力学方法.让我们来看一个具体的问题.

图1

如图1所示为升降机的结构示意图,已知杆长为l,杆与杆间用铰链连结,物块的重力为mg.与A相连的物块可在轨道中滑动,与E相连的物块可在与其接触的面上滑动,不计杆的质量和一切摩擦.求使系统平衡的外力F.

图2

因为沿杆的速度相等，所以有:

(1)

又因为B点的位移中y方向上的分量为:δyB=δsB·cosθ

(2)

再考虑到方向,由(1)(2)两式可得:

(3)

不难发现，C点相对B点的位移为2δyB，D点相对于C点的位移也为2δyB、E点相对于D点的位移为δyB，所以，E点相对于地面的位移为6δyB，由虚位移原理，有：

δW=FδxA+mg·6δyB

(4)

由(3)(4)两式可得F=3mgcotθ

从以上解答过程可以看出,应用虚位移原理时,首先要假设一个虚运动,然后再找出相关虚位移之间的关系,最后利用虚位移原理列方程求解.当然,上述问题也可以用力的平衡和力矩的平衡知识来解,但是会比较繁琐.

实际上,对于受理想约束(即没有摩擦且约束力做功等于零的约束)的复杂系统的平衡问题,因为虚位移原理直接给出了各主动力之间的关系,从而使公式中避免出现约束力,这就避免了解联立方程,使得计算过程大为简化.

在处理复杂的平衡问题时,虚位移原理会显得特别有力.另外,虚位移原理不仅可以用来求主动力,还可以功妙地求出系统的内力.下面让我们来看一个复杂的求内力的问题.

如图所示,一桁架尺寸和所受荷载如图所示.已知:l=5m,h=3m,F=100N,假设各杆之间用铰链相连,G点用一个可以左右滑动的架子支撑.试求CD杆中的内力(不计杆的质量和一切摩擦).

图3

对于这个问题,如果单纯用力的平衡和力矩的平衡来处理,确实不太容易理出思路,而如果采用虚位移原理,则会简明许多.

我们可以将桁架的CD杆截断，如图所示，以F1和F1′代之，这样桁架就分成了由杆AB、BC、CK、AK、BK组成的刚体Ⅰ和由杆DO、OE、EG、GH、HK、KD、DH、HO、HE组成的刚体Ⅱ.

图4

假设K点向下有一个虚位移,设d为G点到F1′的作用线的垂直距离,此时刚体Ⅰ绕A点转过的角度为δφ,刚体Ⅱ绕G点转过的角度为δθ,此时F1与其作用点的位移垂直,不做功,F1′的功F1′dδθ,由虚位移原理,可得:

(1)

桁架下方的三根杆的弹力与虚位移方向垂直,所以不考虑其做功,所以

(2)

又显然有:lδφ=2lδθ

(3)

由(1),(2),(3)式可得:

负号表示和图示方向相反,杆CD中的弹力为压力.

刚体是不可以发生形变的，题中原来的各个构件之间是不可以有相对运动的,这里我们巧妙地截断了CD杆,假设了一个运动,这样虚位移原理得以运用.

综上所述,虚位移原理对于复杂的静力学问题,是一个特别简明有力的方法,另外,虽然虚位移原理给出的是质点或系统外力(主动力)之间的关系,但也可以通过巧妙的处理,来求出系统的内力.